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20 janvier 2010 3 20 /01 /janvier /2010 21:15
 

Les origines, la découverte du calcul vectoriel, sa diffusion du calcul vectoriel, le développement de l'analyse vectorielle moderne,avec une bibliographie.

LES ORIGINES

Le parallélogramme des forces

L'utilisation du parallélogramme des vitesses peut être trouvée chez les Grecs (Archimède, Héron d'Alexandrie) et celle du parallélogramme des forces apparaît souvent au seizième siècle et au dix-septième siècle. Ce parallélogramme est un diagramme qui permet de calculer les composantes d'une résultante, mais n'est pas vu comme définissant la somme de deux objets géométriques (les vecteurs).

La géométrie de situation de Leibniz

Une tentative de Leibniz (1646-1716) d'élaborer un calcul sur des entités géométriques reste isolée ; les idées de Leibniz sont développées dans une lettre à Huygens de 1679. Son système repose sur la notion de congruences de points, de figures. Il suggère une nouvelle algèbre où les symboles représentent des entités géométriques. Son "Essai sur la géométrie de situation" ne fut publié qu'en 1833, et un prix offert au mathématicien qui développerait les idées de Leibniz fut remporté par Grassmann.

La représentation des nombres complexes

Utilisés depuis Cardan en 1545 dans "Ars Magna", les nombres complexes étaient vus avec méfiance par un grand nombre de mathématiciens. La première tentative de représentation géométrique des nombres complexes fut faite par Wallis au dix-septième siècle. Un Norvégien, Wessel, publie en 1799 une interprétation des nombres complexes par des lignes du plan avec une tentative d'extension à l'espace. Son travail est resté longtemps inconnu ! D'autres mathématiciens travaillent et publient indépendamment : Buée en 1805 "Mémoire sur les quantités imaginaires", Argand en 1806 "Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométrique", Warren en 1828 "Traité sur la représentation géométrique des racines carrées des quantités négatives", Mourey en 1828 "La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendument imaginaires". Gauss publie en 1831 l'exposé qui fut le plus connu du fait de la célébrité de son auteur.

Les tentatives d'extension des vecteurs à l'espace

La plupart de ces mathématiciens essaient d'étendre leur calcul à l'espace mais échouent: la difficulté étant l'expression de rotations autour d'axes quelconques pour le produit. Ces mathématiciens ont travaillé indépendamment les uns des autres, ce qui montre l'importance de ce sujet à cette époque. C'est la découverte de la représentation géométrique des nombres complexes qui a convaincu beaucoup de mathématiciens de la légitimité du calcul avec les nombres complexes. Mais il est à remarquer que Gauss ne considérait pas l'interprétation géométrique des nombres complexes comme une justification probablement parce qu'il commençait à avoir des doutes sur la géométrie.

LA DÉCOUVERTE DU CALCUL VECTORIEL

Deux mathématiciens ont découvert l'extension à l'espace du calcul vectoriel : Hamilton (1843) et Grassmann (1844), mais d'autres cherchaient à la même époque des systèmes de caractère plus ou moins vectoriel : Möbius, Bellavitis, Barré (Comte de Saint Venant), Cauchy, M. 0. Brien. L'oeuvre de Hamilton connut une célébrité immédiate, celle de Grassmann fut redécouverte vers la fin du siècle.

Hamilton et les quaternions

Au siècle dernier, beaucoup, y compris Hamilton lui-même qui y a consacré vingt ans de sa vie, ont vu dans les quaternions l'avenir des mathématiques et l'équivalent pour l'algèbre des "Éléments" d'Euclide. Aujourd'hui, on y voit plutôt une étape vers le calcul vectoriel actuel.

Né en 1805, Hamilton fut un étudiant brillant à Dublin. Polyglotte, connaissant treize langues, il commence à publier à dix-sept ans un article d'optique. Il devient professeur à l'Université de Dublin. En 1832, il prévoit par la théorie un phénomène de diffraction en optique, ce qui est ensuite confirmé par l'expérience et lui vaut une grande célébrité. Hamilton fut un des savants les plus renommés de l'Angleterre, et membre de nombreuses académies scientifiques. Les conceptions philosophiques de Hamilton sont celles de Kant qu'il étudie durant ces années-là, et pour qui les mathématiques sont basées sur l'intuition de l'Espace et du Temps.

Les couples algébriques : En 1837, il publie "Théorie des fonctions conjuguées ou des couples algébriques". La première partie expose le but de Hamilton : fonder l'algèbre comme une science à l'image de la géométrie. Cette algèbre est fondée sur l'intuition de temps : les nombres négatifs sont des écarts de temps, les nombres complexes sont des couples de nombres réels. Hamilton conçoit une extension possible à des n-uples. Cet article de Hamilton reprit son importance après la découverte des géométries non euclidiennes car la justification des nombres complexes par la géométrie ne suffisait plus. Il marque le début des recherches de Hamilton sur les triplets.
Les triplets :En 1843, Hamilton fait dans un article l'inventaire de toutes les propriétés que doivent vérifier selon lui les triplets : associativité de l'addition et de la multiplication, commutativité de ces deux lois, distributivité du produit vis-à-vis de l'addition, existence d'un quotient, d'une loi de module qu'il écrit de la façon suivante : si (a1 + b1 i + c1 j) (a2 + b2 i + c2 j) = a3 + b3 i + c3 j , on doit avoir : (a1 + b1 + c1 ) (a2 + b2 + c2) = a32 + b32 + c32 et d'une interprétation dans l'espace à trois dimensions.
Les quaternions :En octobre 1843, Hamilton tient la solution de son problème avec la découverte des quaternions, où il utilise non pas des triplets mais des quadruplets. Un quaternion est un nombre w + x i + y j + z k, où x, y, z, w sont des réels ; les vecteurs i, j, k, formant un trièdre orthonormé direct ; le produit vérifie les lois habituelles des nombres sauf la commutativité. On a les relations

i2 = - 1 = j2 = k2      i j = k,  j k = i ,   k i = j ,      j i = -k,   k j = -i,    i k = -j

Cette découverte est fondamentale et fait sensation ; c'est le premier système de nombres non contradictoire qui ne vérifie pas toutes les lois de l'arithmétique. Hamilton distingue dans le quaternion le scalaire w du mot scale qui signifie "échelle de valeur" et le vecteur x i + y j + z k. Dans le produit de deux vecteurs

V . V' = (x i + y j + z k) (x' i + y' j + z' k)

V .
V' = - (x x' + y y' + z z') + (y z' - z y') i + (z x' - x z') j + (x y' - y x') k

 

Hamilton distingue S (V V'), partie scalaire de V V', l'opposé de notre produit scalaire V.V' et la partie vectorielle de V V', notre produit vectoriel actuel.

L'opérateur

En 1846, Hamilton introduit l'opérateur

Ñ = i

d


 

d x

+ j

d


 

d y

+ k

d


 

d z

dont il voit l'importance en physique.

La défense des quaternions

Hamilton découvre les quaternions en 1843 et se consacre ensuite à cette théorie. Hamilton publie de nombreux articles et fait des conférences ; en 1853, il publie un livre: "Lectures on quaternions". En 1856, il commence à rédiger les "Elements of quaternions" qui seront publiés un an après sa mort en 1866. Ce livre est très touffu et peu lisible ; il est basé sur une présentation géométrique des quaternions et vise à présenter les fondements de l'algèbre ; on y trouve toutes sortes d'opérations sur les quaternions, y compris logarithmes, puissances.

 

Développement d'autres systèmes vectoriels

D'autres mathématiciens commencent à publier des articles sur les quaternions vers 1860 : Cayley, Allégret, Bellavitis, Bolzano. Un disciple de Hamilton, Tait, professeur de physique publiera en 1867 un "Traité élémentaire sur les quaternions", où sont développés beaucoup d'applications physiques, et qui, moins touffu que les "Eléments" est le livre qui a fait connaître à un large public de mathématiciens et de physiciens le calcul des quaternions ; Maxwell, en particulier s'est servi de ce livre.

Le calcul barycentrique de Möbius

Möbius (1790-1868), professeur à l'université de Leipzig, à partir de 1815, n'a pas construit un calcul vectoriel, mais un calcul sur les points : il publie son calcul barycentrique en 1827. Il fut en correspondance avec Bellavitis et Grassmann. Son travail fut bien accueilli par les milieux mathématiques de son temps.

Le calcul sur les équipollences de Bellevitis

Bellavitis (1803-1880), professeur à l'université de Padoue en Italie, publie en 1835 son calcul sur les équipollences, où il désigne par lignes équipollentes nos vecteurs actuels. Il définit la somme dans l'espace, et dans le plan un produit. L'oeuvre de Bellavitis est importante pour toutes les applications qu'il a données de son calcul en mathématiques et en physique.

Grassmann et son calcul d'extension

Après des études de théologie et de philologie à Berlin, Grassmann (1809-1877) retourne dans sa ville de Stettin et étudie seul les mathématiques, la physique et les sciences naturelles. Il devient professeur dans une école technique, et en dépit de ses efforts il n'obtiendra jamais de poste universitaire.

Le calcul vectoriel de Grassman :En 1839, Grassmann écrit une thèse "Théorie des flots et des marées", où il utilise des méthodes vectorielles. Cette thèse ne fut jamais lue par son examinateur ; elle ne fut publiée qu'en 1911. Dans cette thèse, il définit la somme de deux vecteurs dans l'espace et leur produit: la surface orientée du parallélogramme qu'ils définissent ; deux telles surfaces sont égales si elles sont dans des plans parallèles et ont la même aire orientée. Le produit de trois vecteurs de l'espace est un solide orienté. Grassmann étudie les propriétés de ces opérations et fait un calcul différentiel sur les vecteurs. Il définit un produit linéaire de deux vecteurs (notre produit scalaire), montre ses propriétés et donne son expression en fonction des composantes des vecteurs. Le calcul vectoriel que Grassmann utilise est donc proche du notre. Il constate que son calcul lui permet de simplifier les calculs que Lagrange avait fait dans la "Mécanique analytique".

Le calcul d'extension de Grassmann :En 1814, Grassmann publie "Ausdehnungslehre". Ce livre est destiné à exposer complètement son système. C'est une géométrie à n dimensions. Selon les conceptions de Grassmann, la géométrie donnée par la nature n'est pas une branche des mathématiques. Grassmann cherche une théorie abstraite dont les lois sont semblables à celles de la géométrie. Le livre débute par une longue introduction historique et philosophique qui fut un obstacle majeur pour la plupart des mathématiciens de son temps.

Le système de Grassmann :Son système porte sur des formes de différents ordres: nombres, points, vecteurs, aires orientées, ... Il définit des connections (addition et soustraction) entre formes du même ordre qui donnent une forme du même ordre. Il définit un produit entre formes du premier ordre qui est une forme du deuxième ordre. Les produits entre formes d'ordre deux et un donnent une forme du troisième ordre, etc. Grassmann étudie les propriétés de ces lois. Il montre comment ses idées peuvent être utilisées pour assurer les fondements de la géométrie, représenter les forces et les vitesses, étudier les centres de gravité. Il redécouvre le calcul barycentrique et le calcul des vecteurs (formes du premier ordre).

Méconnaissance de l'oeuvre de Grassmann :Il est à remarquer que les idées de Grassmann publiées en 1844 sont plus riches et générales que celles exposées par Hamilton. Pourtant il se passera plus de vingt ans avant qu'on ne lise et apprécie le livre de Grassmann. Grassmann réécrit l'Ausdehnungslehre en 1862 en diminuant la partie philosophique et en ajoutant des développements (solution du problème de Pfaff). Après 1862 Grassmann se consacre à des travaux de philologie et à l'étude du Sanscrit. Il meurt en septembre 1877.

Redécouverte tardive de son oeuvre :Les premiers mathématiciens à s'intéresser vraiment à l'oeuvre de Grassmann sont les Italiens : Cremona (1860), Bellavitis, Peano puis des compatriotes de Grassmann Hankel (1867) un élève de Riemann, Clebsch (1872), Victor Schlegel (1869), Klein. Schlegel diffuse l'oeuvre de Grassmann à ses élèves, écrit un livre pour exposer ses idées et une bibliographie de Grassmann. Gibbs (USA) et Klein collecteront ses oeuvres et les publieront de 1894 à 1911.

LA DIFFUSION DU CALCUL VECTORIEL

Tait

Professeur de physique, disciple de Hamilton et ami de Maxwell, Tait, 1831-1901 publie en 1867 "Le Traité élémentaire sur les quaternions", et écrit de nombreux articles pour défendre l'oeuvre de Hamilton. Il s'opposera au développement du calcul vectoriel moderne au nom de l'orthodoxie "quaternioniste".

Pierce

Dès 1848, Pierce fait un cours sur les quaternions à Harvard. Il publie peu sur ce sujet mais a beaucoup contribué à faire connaître la théorie des quaternions aux USA.

Maxwell

Maxwell (1831-1879) publie en 1860 son traité d'électricité et de magnétisme où tout est écrit en coordonnées. Lors d'une réédition en 1873 de ce traité, il introduit en parallèle à l'écriture en coordonnées une écriture en vecteurs: les vecteurs et l'opérateur V sont là comme une simplification d'écriture mais toutes les démonstrations sont faites en coordonnées. Il utilise le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans sa préface, il expose ses conceptions. Cette préface est remarquable et il est instructif de la relire aujourd'hui.

La préface du traité de Maxwell

"Relation entre les quantités physiques et les directions de l'espace
Pour distinguer les différentes espèces de quantités physiques, il est très important de connaître quelle est leur relation avec la direction des axes de coordonnées dont on se sert d'habitude pour définir la position des objets. L'introduction des axes de coordonnées en géométrie, due à Descartes, a été un des plus grands progrès faits dans les mathématiques, car elle a ramené les méthodes de la géométrie à des calculs portant sur des quantités numériques. On fait dépendre la position d'un point de la longueur de trois lignes toujours tracées dans des directions déterminées, et, de même, on considère la ligne qui joint deux points comme la résultante de trois autres lignes."

On reconnaît là la description d'un repère orthonormé, des coordonnées d'un point et des composantes d'une "ligne" joignant deux points.

"Mais souvent en physique, pour raisonner, et non plus pour calculer, il est désirable d'éviter l'introduction explicite des coordonnées cartésiennes, et il est avantageux de fixer son attention sur un point de l'espace pris en lui-même, et non plus sur ses trois coordonnées, sur la grandeur et la direction d'une force, non sur ses trois composantes. Cette manière d'envisager les quantités géométriques et physiques est plus naturelle que l'autre, et se présente d'abord à l'esprit ; néanmoins les idées qui en découlent ne reçurent pas leur entier développement, jusqu'au jour où Hamilton fit un deuxième grand pas dans l'étude de l'espace, par l'invention de son calcul des Quaternions."

L'opposition entre raisonner en physique et non plus calculer est d'une brûlante actualité dans l'enseignement où le refuge des étudiants est de se précipiter sur l'application de formules ! On pense aussi au texte de Galois, (reproduit dans le livre de N. Mahammed "sauter à pieds joints sur les calculs...")

"Comme aujourd'hui les méthodes de Descartes sont encore les plus familières à ceux qui étudient les sciences et qu'elles sont en réalité les plus avantageuses pour le calcul, nous exprimerons tous nos résultats sous la forme cartésienne ; mais je suis convaincu que l'introduction des idées de Hamilton, prises en dehors des opérations et des méthodes des quaternions, nous seront d'une grande utilité pour l'étude de toutes les parties de notre sujet, et en particulier de l'Électrodynamique, où nous avons à considérer un certain nombre de quantités physiques dont les relations peuvent s'exprimer bien plus simplement par quelques mots du langage de Hamilton que par les équations ordinaires."

Les idées de Hamilton prises en dehors des opérations et des méthodes des quaternions ! Formule remarquable que Maxwell explicite dans le paragraphe suivant. Quelles sont ces idées qui lui paraissent si importantes ?

"Un des traits les plus importants de la méthode de Hamilton est la division des quantités en scalaires et vecteurs.
Une quantité scalaire est susceptible d'être entièrement définie par une seule donnée numérique. Sa valeur numérique ne dépend en aucune façon de la direction attribuée aux axes de coordonnées.
Un vecteur ou quantité ayant une direction exige, pour être défini, trois coordonnées numériques, ce dont on peut se rendre compte le plus aisément en les considérant comme se rapportant à la direction des axes de coordonnées."

Importance du rôle de Maxwell

L'oeuvre de Maxwell fut essentielle pour le développement du calcul vectoriel : tous les physiciens devront désormais se familiariser avec ce calcul pour lire les articles d'électricité. C'est par Maxwell que Gibbs et Heaviside se sont intéressés à Hamilton et Tait.

Nombres ou vecteurs ?

Dans la préface de son traité, Maxwell présente l'ensemble des méthodes mathématiques de la physique. On comprend au travers de ce texte, l'échec de ce que Hamilton avait considéré comme la grande oeuvre de sa vie, écrire ces "Éléments" d'Algèbre qui joueraient pour la science au dix-neuvième siècle le rôle que les "Éléments" d'Euclide avaient joué depuis l'antiquité. Hamilton a milité activement pour l'usage des quaternions et en a montré les multiples applications en physique. Tait a poursuivi cette oeuvre. Les quaternions sont des nombres et on peut définir le travail de Hamilton comme une tentative pour algébriser la physique.

Clifford

Clifford (1845-1879), professeur de mathématiques appliquées et de mécanique à Londres, en 1871, fut l'un des premiers mathématiciens à connaître à la fois Grassmann et Hamilton. En 1878, il publie "Applications de l'algèbre de l'extension de Grassmann". En 1877, il donne une série de conférences sur les quaternions. Il commence à écrire "Éléments de dynamique" avant sa mort à trente quatre ans. Dans ces "Éléments" il utilise séparément le produit scalaire et le produit vectoriel et ouvre la voie à l'analyse vectorielle moderne.

L'école italienne

Peano écrit en 1887 "Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale" qui débute par un chapitre sur les opérations sur les vecteurs puis par la différenciation des vecteurs et l'application à la géométrie. En 1888, il publie "Calcolo geometrico secundo - l'Ausdelungslehre de H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva ". Ce sont ces livres et les cours de Peano qui ont diffusé le calcul vectoriel en Italie et de là en France. Ils donnent une interprétation géométrique concrète des formes et opérations de l'Ausdehnungslehre. Ses élèves Burali-Forti et Marcolongo diffusent ses idées en France et en Italie. En 1897, Burali-Forti écrit son livre "Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode H. Grassmann" qui fut publié à Paris.

DÉVELOPPEMENT DE L'ANALYSE VECTORIELLE MODERNE

Aux États Unis

Gibbs (1839-1903) ingénieur aux USA voyage en Europe trois ans entre 1866 et 1869. Il prend connaissance des oeuvres de Môbius, Grassmann et Hamilton avant son retour aux USA, à Yale où il devient professeur de physique à l'Université. En 1879, il fait un cours d'analyse vectorielle ; entre 1881 et 1884, il publie sous forme de polycopié ses "Éléments d'analyse vectorielle" et en envoie des copies aux savants les plus connus. Ce livre a une grande importance; il s'agit plutôt d'une formulation et de notations simplifiées que d'une théorie nouvelle. À partir de 1890, dans une polémique autour du calcul vectoriel il écrit de nombreux articles et analyse les oeuvres de Môbius, Grassmann, Saint- Venant, Cauchy, Cayley, Peirce, Hankel, Sylvester. Il utilise le calcul vectoriel pour sa théorie électromagnétique de la lumière ainsi que pour l'astronomie. Il aide le fils de Grassmann à publier les oeuvres complètes de son père. En 1901, Wilson publie le cours de Gibbs.

En Angleterre

Né à Londres en 1850 dans une famille pauvre, Heaviside (1850-1925) prend un emploi d'opérateur de télégraphe et en 1872 publie un premier article sur l'électricité. En 1874, il se consacre entièrement à l'étude et la recherche. Il publie de nombreux articles dans la revue "L'Électricien", où il introduit progressivement les notations et les opérateurs de notre calcul. Il sépare produits scalaire et vectoriel, le rotationnel et la divergence d'un vecteur. Il opte pour le signe + devant le carré scalaire d'un vecteur, plus en accord avec la physique. En 1892, ses articles sont rassemblés et publiés en deux volumes. En 1893,il publie le premier volume de "Théorie Électromagnétique" (le deuxième volume est publié en 1899 et le troisième en 1912) où il montre que son système, proche de celui de Gibbs, est plus avantageux que le calcul classique sur les composantes, qu'il présente des notations très simplifiées par rapport au calcul des quaternions et supprime l'inconvénient du signe - pour le carré scalaire d'un vecteur. Il juge les quaternions "un concept mathématique hautement abstrait" et inutile pour la physique. Heaviside meurt en 1925 dans la pauvreté de l'isolement. Pourtant son oeuvre commence à être connue et appréciée en Angleterre et en Allemagne où Fôppl diffuse les idées de Maxwell et Heaviside.

En France

Désintérêt pour le calcul vectoriel : on peut constater que la recherche et l'enseignement des mathématiques ont été absents de tout ce débat sur le calcul vectoriel ; l'adaptation à ce calcul s'est faite très tard, après 1920, à propos en travaux en mécanique.

Polémique sur le calcul vectoriel

Le débat entre savants et journaux de différents pays en 1890 a contribué à faire connaître le nouveau système de Gibbs, Heaviside. Il s'est déroulé entre les tenants des quaternions (Tait, Mac Aulay, Knott) et des savants comme Gibbs, Heaviside, Mac Farlane. Les articles de Gibbs, bien documentés sur l'histoire de ce calcul, sur les besoins des physiciens permettent de faire connaître et apprécier son système. Il s'agit du processus d'acceptation de ces idées vectorielles par la communauté scientifique, qui sera suivi par l'apparition à partir des années 1900 de traités didactiques sur les méthodes vectorielles aux USA, en Allemagne, en Italie, en Russie.

Le vectoriel et le linéaire

On voit bien dans ce processus à quel point les idées vectorielles et le linéaire ont été au départ séparées. Or ces idées sont aujourd'hui toujours associées dans les cours d'algèbre linéaire. Il est donc intéressant de constater que ces idées ont des origines distinctes. Le linéaire vient de l'oeuvre de Galois, Jordan, Cayley... le calcul sur les systèmes linéaires, les déterminants et les matrices ont une émergence historique commune. Le calcul sur les vecteurs et leurs généralisations en ont une autre que nous avons retracée ici.

Bibliographie

  • Cousquer.E. "Le calcul vectoriel", dans "La rigueur et le calcul". Cedic, 1982, 7 pages. Présentation résumée de l'histoire de la représentation géométrique des nombres complexes et du calcul vectoriel.
  • Crowe "A history of vector analysis", Notre dame 1967, réédition Dover, 1985. Ouvrage classique de référence sur l'histoire de la représentation géométrique des nombres complexes et du calcul vectoriel.
  • Dorier "Grassmann et la théorie des espaces vectoriels", 20 pages, dans "Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques", Besançon, 1995.
  • Dorier "Hermann Grassmann et la Théorie de l'extension", Revue Repères-IREM numéro 26, janvier 1997.
  •  Flament "Le nombre, une hydre à n visages, entre nombres et vecteurs", Éditions de la maison des sciences de l'homme, 1997, 299 pages. Cet ouvrage collectif rassemble plusieurs contributions à l'histoire des nombres complexes et des vecteurs. Chaque auteur- mathématicien ou physicien, historien ou philosophe des sciences, didacticien ou pédagogue- en aborde une étape ou un point de vue différents et cet ensemble rend la grande diversité et l'extrême richesse de cette question.
  • Doncel "Maxwell et la traduction intuitive du calcul vectoriel", 14 pages, dans "Flament...". Les débuts de l'utilisation du calcul vectoriel en physique.
  • Legrand "Vecteurs, translations et homothéties", 13 pages dans "Les maths en collège et en lycée", Hachette, 1997.
  • Loyau "Vecteurs : 151 ans de déloyaux services", 40 pages, dans "Flament...". Polysémie du mot vecteur dans l'histoire de l'enseignement.
  • Mahammed "Résolution des équations algébriques" édition Diderot 1998.
  • Schubring "L'interaction entre les débats sur le statut des nombres négatifs et imaginaires et l'émergence de la notion de segment orienté", 15 pages, dans "Flament...".
  • Sinègre "Quelques essais pour multiplier des vecteurs au dix-neuviè;me siècle", 19 pages, dans "Flament...". Les débuts des opérations sur les vecteurs. Zerner "L'installation de la variable complexe dans l'enseignement", 12 pages, dans "Flament...". Article sur l'histoire de l'enseignement des nombres complexes.

 

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