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1 octobre 2003 3 01 /10 /octobre /2003 00:00

Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française)

Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA)

Type : vulgarisation ; Langue : Français ; Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U ; Utilisation : enseignant, formateur, chercheur; Niveau : collège, 4ème, 3ème, lycée, 2nde Age : 13, 14, 15

  Chaque vidéo doit  s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/)

 

Histoire de Pi 

Après une brève présentation des prérequis à l’aide d’une animation informatique, Cette vidéo s'ouvre par une interview d’un journaliste qui demande à plusieurs jeunes :« Que pouvez-vous me dire au sujet du nombre  ? ». Chacun donne une réponse différente ; certaines réponses sont partiellement correctes. Plus tard dans la même vidéo, ces personnes en donneront des réponses correctes.

La vidéo définit comme rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, puis dit que apparaît dans une grande variété de formules, dont beaucoup n'ont rien à voir avec des cercles. Ce rapport est une constante fondamentale de la nature. Après une présentation de l'histoire de, le programme explique en utilisant la similitude pourquoi le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles, indépendamment de leur taille.

Le programme se tourne alors vers un autre rapport qui est le même pour tous les cercles : l’aire d'un disque circulaire divisée par le carré de son rayon. En montrant qu'un disque circulaire du rayon r a pour aire, Archimède a montré que ce rapport constant est également égal à.

Deux preuves de la formule de l’aire du disque sont données sous forme d’animations informatiques, ainsi que la méthode d'Archimède pour estimer en comparant la circonférence d'un cercle aux périmètres des polygones inscrits et circonscrits.

La séquence suivante décrit une suite d’évaluations pour améliorer la valeur de et précise que est irrationnel. Après avoir montré la présence de dans des problèmes de probabilité, le programme revient brièvement au journaliste qui interviewe à nouveau les étudiants, en leur demandant, « Maintenant que pouvez-vous me dire au sujet du nombre du ? ». Cette fois, les étudiants donnent chacun une réponse correcte différente au sujet de. La séquence de conclusion explique que les améliorations principales des évaluations pour représentent des jalons d’avancées importantes dans l'histoire des mathématiques.

 

Mots clés de la vidéo « Histoire de Pi »

Mesure du cercle, aire, périmètre, figures semblables, rapport, trigonométrie, histoire des mathématiques, probabilité.

 

Découpage et présentation notionnelle

 

02 : 01 Avant toute chose… Rappel de propriétés simples des figures semblables, et de l’effet d’une similitude sur les périmètres et les aires.

03 : 04 à 04 : 03 Interviews d’étudiants : Que connait-on de π ?

04 : 03 une expérience : Mesurez la circonférence d'un cercle et divisez la par le diamètre, ce rapport est constant et est noté , d’après la première lettre du mot  perimetron, périmètre en grec. Ce programme aborde deux questions. Comment a-t-on appris que ce rapport est le même pour tout cercle ? Comment déterminer sa valeur numérique exacte ?

05 : 30 Quelques usages de π

Dans les formules d’aires et de volumes d’un cône, d’un cylindre, d’ une sphère, d’un tore, dans la longueur du plus court chemin entre New York et Tokyo mais aussi dans des formules d’astronomie. π apparaît aussi dans des domaines qui n'ont rien à voir avec des cercles, dans des formules relatives aux courants alternatifs et aux radiations des antennes radio et de télévision, dans des sommes infinies d'inverses d'entiers et des produits infinis de rapports d’entiers qui donnent des expressions contenant. Partout en mathématiques, de la trigonométrie à l’analyse, on a affaire avec.

08 : 00 Les premières apparitions de π

Pour construire des palissades circulaires ou des temples circulaires, les gens eurent besoin très tôt d'estimer la longueur de leur pourtour en fonction d’une longueur transversale. Les premières civilisations ont réalisé que le rapport de la circonférence sur le diamètre est le même pour tous les cercles et en mesurant avec soin, elles ont estimé ce rapport. On compare les approximations babylonienne, égyptienne, celle de la bible. Les Grecs furent les premiers à expliquer pourquoi le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles.

10 : 30 Une trouvaille d’Archimède

Un autre rapport identique pour tous les cercles est l'aire d'un disque circulaire divisée par le carré de son rayon. La similitude en explique le pourquoi. Archimède, grand mathématicien de l'antiquité, fit la remarquable découverte que ce rapport est exactement égal à . La formule donnant l'aire d'un disque circulaire de rayon r fut redécouverte à maintes reprises dans différentes cultures. Deux animations différentes montrent comment prouver cette formule.

14 : 05 Calcul de π

La première tentative pour déterminer la valeur numérique de π fut faite par Archimède en utilisant des polygones réguliers intérieurs et extérieurs à un cercle et en doublant le nombre de cotés, jusqu’à atteindre quatre vingt seize cotés ; son approximation, 22/7 est encore utilisée. Pendant des siècles, des mathématiciens en Egypte, en Inde, en Chine et dans d’autres cultures raffinèrent cette méthode. Un calcul chinois avec un polygone de plus de trois mille cotés donne cinq décimales de π. Les Chinois découvrirent une fraction simple, 355/113, qui fournit six décimales de π, et ils ont détenu ce record près de mille ans, avant que l’usage des chiffres arabes ne permit des calcul plus efficaces.

16 : 08 Quelques formules impliquant the nombre π 

A la fin du dix neuvième siècle, on a pu en calculer des centaines de décimales. Avec des calculateurs électroniques et des méthodes mathématiques récentes, plus d’un milliard de décimales de π étaient connues en 1989. On peut tester l’efficacité globale des ordinateurs en calculant le premier million de décimales de π. Longtemps, on s’est demandé si πétait un nombre rationnel ; au dix-huitième siècle, le mathématicien allemand Johann Lambert utilisa les fractions continues pour montrer qu’il n’y a pas d’entiers dont le rapport égale π.

18 : 39 En allant un peu plus loin avec π…

π se présente dans des problèmes liés à des évènements aléatoires. Dans un réseau régulier du plan, un nœud choisi au hasard a la probabilité de 6/ d’être visible depuis l’origine. La probabilité pour qu’une aiguille lâchée au hasard sur un dessin fait de lignes parallèles également espacées coupe une ligne est 1/π

21 : 14 Récapitulons.

Les étudiants apportent maintenant des réponses correctes et variées sur le nombre π. Les avancées dans le calcul de π furent des repères de progrès importants dans l’histoire des mathématiques. Archimède a donné la première preuve connue concernant la valeur de π quand il a comparé les périmètres de polygones intérieurs et extérieurs à un cercle. De meilleures approximations de π accompagnent les avancées majeures des mathématiques, telles que l’adoption des chiffres arabes et la notation décimale, l’usage des séries infinies, les nouvelles méthodes de calcul développées au vingtième siècle pour exploiter la technologie des ordinateurs. π est une partie intégrante de la structure de notre univers et il sera toujours exploré.

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Published by Eliane Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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