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1 janvier 2003 3 01 /01 /janvier /2003 00:00

  Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française). Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA). Type : vulgarisation. Langue : Français. Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U. . Utilisation : enseignant, formateur, chercheur. Chaque vidéo doit   s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/) 

 

Vidéo « Le théorème de Pythagore »

Cette vidéo est bien adaptée à la classe de troisième de collège, car elle utilise beaucoup les triangles semblables. On commence par sensibiliser les élèves à l’utilité du Théorème de Pythagore à travers trois situations concrètes qui introduisent la problématique : calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle quand on connaît les longueurs des deux autres. Ensuite, les deux points de vue à la fois algébrique et géométrique avec les deux sens du mot carré, à la fois figure géométrique et puissance deux sont illustrés. Le mathématicien grec Pythagore donne son nom à un théorème et à des triplets d’entiers qui sont côtés de triangle rectangles mais qui étaient connus d’autres civilisations bien avant Pythagore. La vidéo présente ensuite des démonstrations du théorème au cours de l’histoire et dans différentes civilisations illustrées par de multiples animations; bien qu’on en connaisse des dizaines, elles se ramènent à quelques types principaux : des puzzles, comme en Chine ou en Inde, des démonstrations basées sur la similitude comme les plus simples présentées dans la vidéo, ou des démonstrations basées sur la méthode des aires, comme celle des Eléments d’Euclide ou les démonstrations arabes. La vidéo présente également une généralisation intéressante du théorème de Pythagore à des figures semblables construites sur les côtés du triangle rectangle qui est énoncée dans la proposition 31 du livre 6 des Eléments d’Euclide et montre son équivalence avec le théorème de Pythagore. La fin de la vidéo montre la généralisation en dimension 3 du théorème de Pythagore, annonce le lien avec la trigonométrie et montre pourquoi ce théorème ne s’applique pas en géométrie sphérique.

 

DÉCOUPAGE ET PRÉSENTATION NOTIONNELLE

 

00:00 Générique du projet Mathematics

01:41 Avant toute chose… Trois idées : rapports de longueurs des côtés de triangles semblables, rapports de leurs aires, aires de triangles de même base et même hauteur.

03:12 Trois exemples concrets, deux coureurs sur un terrain rectangulaire, les échelles des assaillants d’un château fort, les câbles de mâts d’éolienne illustrent un même problème : trouver la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand les deux autres sont connus.

06:04 A la découverte du Théorème de Pythagore en traçant la hauteur sur l’hypoténuse, un calcul utilisant des rapports dans trois triangles rectangles semblables permet de l’obtenir.

07:25 Interprétation géométrique des formules algébriques en terme de figures carrées : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés sur les deux autres cotés.

07:52 Pythagore vécut en Grèce au sixième siècle avant notre ère et le théorème qui porte son nom est un des plus importants théorèmes des mathématiques qui fut redécouvert à maintes reprises dans beaucoup de cultures différentes.

08:20 Appliquons le théorème de Pythagore pour résoudre les trois problèmes des coureurs, des échelles et des mâts d’éolienne.

09:36 Les triplets pythagoriciens, (nombres entiers longueurs des côtés d’un triangle rectangle,) étaient connus douze cent ans avant l’époque de Pythagore, comme le montre une tablette d’argile babylonienne écrite environ 1700 ans avant notre ère.

10:24 La démonstration chinoise donne une justification du théorème par un puzzle en déplaçant des pièces triangulaires.

11:26 Les Éléments d’Euclide contiennent beaucoup des mathématiques connues vers moins 300. Réalisation maîtresse dans l’histoire, la géométrie d’Euclide parut dans une douzaine de langues et des centaines d’éditions.

12:10 La démonstration d’Euclide de la proposition 47 du livre 1, (le théorème de Pythagore) utilise des égalités d’aires de triangles de même base et hauteur.

13:32 Un peu de découpage… permet d’améliorer notre compréhension du théorème, en le montrant … avec une paire de ciseaux.

14:07 La Proposition 31 du Livre VI affirme que si les carrés sont remplacés par trois autres formes semblables entre elles, l’aire des deux plus petites s’ajoutent pour égaler l’aire de la plus grande. La proposition 31 est équivalente au théorème de Pythagore comme le montre deux animations.

15:42 Une preuve très simple du théorème de Pythagore, la plus simple de toutes s’obtient en utilisant juste trois triangles semblables.

16:22 Le théorème de Pythagore en 3D permet de calculer une distance en appliquant deux fois ce théorème.

17:00 Récapitulons tout ce qui a été vu sur le théorème de Pythagore, un des plus importants résultats de toutes les mathématiques.

18:37 Les choses à venir… dans un programme ultérieur.

18:44 Trigonométrie : si on introduit des rapports appelés sinus et cosinus d’un angle t, le théorème de Pythagore montre un résultat fondamental en trigonométrie, le carré de sinus t plus le carré de cosinus t est égale à 1.

19:50 Géométrie sur une sphère Les triangles sphériques ont certaines propriétés communes avec les triangles plats, mais pas celle du théorème de Pythagore qui s’applique seulement aux triangles plats.

20:56 Générique de fin

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Published by Eliane Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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