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1 novembre 2003 6 01 /11 /novembre /2003 00:00

Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française)

Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA)

Type : vulgarisation. Langue : Français. Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U. Utilisation : enseignant, formateur, chercheur.

Chaque vidéo doit   s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/) 

Polynômes

Cette vidéo fournit un catalogue visuel des formes de graphes de polynômes dans un système de coordonnées rectangulaires. Il s'ouvre avec des exemples des courbes polynomiales qui apparaissent dans la vie réelle, y compris des trajectoires paraboliques de projectiles au basket et des splines cubiques utilisées pour la conception des voiles de bateaux.

Suit une description systématique des graphes de polynômes en fonction de leur degré. Les polynômes linéaires et affines sont discutés d'abord ; leurs graphes sont les lignes droites de pentes diverses. Les polynômes quadratiques sont discutés ensuite ; le prototype étant la parabole avec l'équation cartésienne . On montre comment l'équation cartésienne change si la courbe est translatée verticalement ou horizontalement et ce que produit un changement d’échelle verticale. Le graphe du polynôme quadratique général est obtenu à partir du prototype par combinaison de translations horizontale et verticale et d’un changement d’échelle verticale. La section suivante traite des intersections de droites et de paraboles et amène naturellement aux zéros de polynômes.

Les polynômes cubiques sont traités ensuite, avec la discussion du nombre de zéros possibles, des maxima et des minima locaux, et des points d'inflexion. Les cubiques ont trois prototypes, , , et les autres cubiques peuvent être obtenues à partir de celles-là par translation horizontale ou verticale, par changement d’échelle horizontale ou verticale ou en prenant des images par symétrie par rapport à un axe. Une discussion semblable est donnée pour les graphes de polynômes de degré quatre ou plus, qui ont beaucoup plus de prototypes. Beaucoup de courbes qui ne sont pas des graphes des polynômes peuvent être approchées avec une grande précision par les graphes de polynômes. Une intéressante animation informatique montre comment les approximations polynômiales approchent une courbe sinusoïdale à mesure que le degré augmente.

Mots clés de la vidéo « Polynômes » : polynôme, graphe, droite, parabole, cubique, figure animée,  racine, maximum, minimum, point d’inflexion, type de graphe.

DISCIPLINES, CLASSES ET PROGRAMMES

mathématiques, lycée

classe de 2nde : Connaître la représentation graphique de x sin x et x cos x ; la définition de sinx et cos x pour un réel x quelconque se fera en « enroulant R » sur le cercle trigonométrique.

classe de 1èreS : Repérage polaire dans le plan et trigonométrie ; lignes trigonométriques des angles associés. Opérations sur les fonctions : u+v.

classes de 1èreSTI, STL : Fonctions circulaires ; on développera la connaissance du cercle trigonométrique abordée en classe de 2ndepar le simple « enroulement »  de R sur le cercle trigonométrique ; on établira les liens usuels entre les sinus et cosinus de x, -x, x+2kπ, π+x, π-x, π/2-x,…

 

Découpage et présentation notionnelle

 

01 : 44 Avant toute chose…

Ce programme utilise des coordonnées rectangulaires, avec un axe horizontal des x, et un axe vertical des y, pour représenter les graphes de polynômes. Des animations permettent de comprendre le lien entre coefficients du polynômes et propriétés des graphes correspondants.

03 : 02 logo et titre

Exemples de situations concrètes où apparaissent des graphes de polynômes

05 : 18 Polynômes de degré un

 Etude de graphes de polynômes du premier degré et du rôle des coefficients, à l’aide de diverses animations.

08 : 13 Polynômes du second degré

Etude de graphes de polynômes du second degré et du rôle des coefficients, à l’aide de diverses animations sur la forme des paraboles obtenues.

12 :17 Intersections de droites et de paraboles

Etude des zéros des polynômes de degré 1 et 2.

14 : 52 Polynômes cubiques

Trois prototypes pour toutes des cubiques. Animations montrant le rôle des coefficients pour le graphe d’une cubique. Factorisation des polynômes du troisième degré, nombre de zéros, maxima et minima locaux et lien avec le graphe. Création de splines et utilisation pratique de ces courbes.

20 : 46 Polynômes de degré plus élevé

Prototypes des graphes de polynômes du quatrième degré, nombre de zéros idem pour les polynômes de degré 5 et ainsi de suite.

23 : 46 Récapitulons

 

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Published by Eliane Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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