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1 mai 2003 4 01 /05 /mai /2003 00:00

  Auteur(s) : Apostol Tom (version anglaise) ; Cousquer Eliane ; Cousquer Christian ; Caron Pierre-André (adaptation française). Editeur : Project « Mathematics ! » de l'Université Caltech (USA). Type : vulgarisation. Langue : Français. Support : 9 vidéos téléchargeables sur u-tube U. . Utilisation : enseignant, formateur, chercheur. Chaque vidéo doit   s'accompagner d'un travail "papier-crayon" sur une séquence choisie. Des documents pédagogiques et historiques d'accompagnement sont disponibles sur le site Médiamaths crée par les auteurs de l'adaptation française. (http://www.mediamaths.net/) 

Une série de trois vidéos est consacrée à la trigonométrie, aux sinus et cosinus : Voici un survol des thèmes traités dans ces vidéos.

Sinus et cosinus 1 : trigonométrie, sinus, cosinus, courbe, symétrie, figure animée, courbe périodique, série de Fourier, figures semblables, rapport, longueur, histoire des sciences.

Sinus et cosinus 2 : figure animée, loi des cosinus, loi de sinus, topographie.

Sinus et cosinus 3 : figure animée,  formules d’addition des sinus et des cosinus, démonstration, triangle rectangle, triangles semblables, Théorème de Ptolémée, tables de sinus.

Vidéo « Sinus et cosinus 2 »

 

Le programme commence par un bref examen de Sinus Cosinus, partie I. Il explique que les sinus et les cosinus apparaissent dans beaucoup de contextes différents: En tant que coordonnées rectangulaires d'un point se déplaçant sur un cercle unité ; en tant qu’ondes produites par les sons et d'autres phénomènes périodiques; et comme rapports des côtés de triangles rectangles. Sinus et cosinus, partie II porte sur la trigonométrie, qui étudie les relations entre les côtés et les angles des triangles. Une des principales utilisations de la trigonométrie est de déterminer des distances qu’il est impossible ou difficile à mesurer directement. Des problèmes de ce type interviennent en astronomie, dans les constructions à grande échelle, la navigation, et en topographie par triangulation. Les deux outils importants pour résoudre de tels problèmes sont :

  1. une généralisation du théorème de Pythagore appelée la loi des cosinus, qui relie les longueurs des trois côtés et d'un angle dans n'importe quelle triangle; et

  2. la loi des sinus, qui déclare que dans n'importe quel triangle la longueur de n'importe quel côté divisée par le sinus de l'angle opposé est constante. Un des triomphes majeurs de la topographie par triangulation est la cartographie de l'Inde, qui a pris plus d’un siècle. Le programme décrit comment cette topographie a été faite et comment cela a permis la détermination de la hauteur du Mont Everest. Le programme retrace également une brève histoire des instruments topographiques, du dioptre de l’antiquité aux satellites orbitaux des temps modernes.

Découpage et présentation notionnelle

01 : 55 Déjà vu dans Sinus cosinus 1 que les sinus et les cosinus apparaissent de plusieurs manières : comme coordonnées rectangulaires d'un point mobile sur un cercle unité; comme graphes liés au mouvement vibratoire, comme approximations des ondes périodiques  et comme rapports de longueur de côtés de triangles rectangles. Sinus et Cosinus II montre comment ces rapports sont utilisés en trigonométrie.

02 : 58 LOGO mathematics

03 : 18 Sinus et cosinus Partie II ; Trigonométrie

Le mot trigonométrie, de trigonon et metron, deux mots grecs, pour triangle et mesure fut introduit par Pitiscus en 1590. Une série de photos montre des textes sur les cordes de cercles : traité de Hipparque en - 150, l’Almageste de Ptolémée en +150. Johan Kepler a utilisé la trigonométrie vers 1600 pour déterminer l'orbite de la planète mars et découvert que c'était non pas un cercle mais une ellipse.

La trigonométrie est très utilisée, en astronomie, dans les grandes constructions, en navigation et en topographie. Un triomphe majeur de celle-ci fut de trouver la taille du plus haut sommet du monde, appelé Everest, d’après George Everest, ce qui est présenté dans ce programme.

La trigonométrie nous montre comment trouver tous les éléments d’un triangle si seuls quelques uns d'entre eux sont connus. Dans ce programme, on apprend, si trois éléments sont donnés, dont au moins un côté, à trouver les éléments restants, en examinant les différents cas. Le sinus et rapports de cosinus fournissent la clef de ces problèmes.

07 : 40 Sinus, Cosinus et théorème de Pythagore.

Une animation revient sur la démonstration du Théorème de Pythagore à la fin du livre 1 des Eléments d'Euclide ainsi que sur des variantes de cette preuve. On en l'identité de Pythagoreentre les sinus et cosinus carrés d’un angle d’un triangle rectangle et on visualise l'identité de Pythagore en regardant les graphes. En raison de la périodicité, l'identité de Pythagore est vraie pour toutes les valeurs de T.

11 : 08 La loi des cosinus

Le même type d’animation va permettre d’introduire la loi des cosinus dans un triangle qui permet d’exprimer un côtés en fonction des deux autres et de l’angle opposé. trois cotés . On observe différents cas suivant que l’angle est obtu, droit ou aigu. Une autre animation donne une autre démonstration plus classique de cette loi du cosinus.

16 : 57 Appliquer la loi des cosinus

Cette partie examine et discute la possibilité de trouver trois éléments, côtés ou angles d’un triangle quand les trois autres sont connus, avec la loi des cosinus. Elle termine par un cas où un autre outil est nécessaire.

19 : 01 La loi des sinus

Elle dit que dans un triangle donné, la longueur de n'importe quel côté divisé par le sinus de l'angle opposé est une constante qui a une signification géométrique intéressante : il est égal au diamètre du cercle passant par les trois sommets, ce qui sera montré dans Sinus et cosinus III.

20 : 23 Appliquer la loi des sinus

Plusieurs cas où la loi des sinus permet de calculer les éléments d’un triangle sont présentés et l’existence des solutions est disuctée.

22 : 14 Topographie par triangulation

Cette partie montre comment en déterminant la longitude et la latitude des sommets de milliers de triangles, on a pu faire la carte des U.S.A. et de l’Inde. Les altitudes sont trouvées par la méthode des niveaux. Des méthodes topographiques primitives remaontent à l'Egypte antique et le plus ancien livre de topographie connu est celui de Héron d’Alexandrie, (vers 100), et le dioptre de Héron permet de relever les niveaux et de mesurer des angles. La topographie par triangulation fut d’abord décrite dans un livre contenant une collection de cartes produites après les voyages de découverte lancés par Christophe Colomb. Après la boussole magnétique et le télescope, les européens ont amélioré les instruments topographiques. L’aventure de la triangulation de l’Inde et de la détermination de le hauteur du Mont Everest a pris un siècle depuis 1763 à 1848 . Au 20ème siècle, dix expéditions différentes ont essayé, sans succès, de gravir le sommet de l’Everest, l’ascension fut réussie, le 29 mai 1953, le népalais Tenzing Norgay et le néo-Zélandais Edmund Hillary premiers à atteindre le toit du monde. L'utilisation des satellites a vérifié que la méthode traditionnelle de topographie avec des théodolites et des niveaux est extrêmement précise.

27 : 58 Récapitulation de la partie II, annonce de la partie III

Dans ce programme, on a vu la loi des cosinus et la loi des sinus et leur utilisation en trigonométrie et en topographie. Le prochain programme discutera des formules d'addition pour le sinus et le cosinus d'une somme de deux angles et leurs applications dans l'étude des mouvements vibratoires. Les phénomènes périodiques sont présents dans tout l'univers, de la balance atomique au système solaire et au delà. La capacité d'analyser tous ces phénomènes en utilisant des sinus et des cosinus est un accomplissement majeur des mathématiques.

 

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Published by Eliane Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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