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26 décembre 2010 7 26 /12 /décembre /2010 15:18

Cet article comporte des animations et il existe sous forme pdf imprimable.

Il est difficile de dater l’apparition du résultat concernant l’hypoténuse du triangle rectangle connu de plusieurs civilisations. L’attribution de ce résultat à Pythagore repose sur des témoignages très imprécis pour les mathématiques grecques.

  • Dans une première partie, après avoir vu la première démonstration connue qui figure dans les Éléments d’Euclide, les commentaires de Proclus, ainsi que quelques généralisations du théorème par Euclide et Pappus, on présentera les hypothèses avancées par les historiens sur le travail de Pythagore.
  • Dans une seconde partie, l’apparition de ce résultat dans différentes civilisations, babylonienne, indienne et chinoise, parfois très longtemps avant Pythagore sera montrée. 
  • Dans la troisième partie, différents types de preuves seront analysés pour ce théorème classique qui a suscité des centaines de démonstrations dans l’histoire.

 

Le théorème de Pythagore et les mathématiques grecques

Il n’est pas possible de tracer ici les grandes lignes de l’histoire de la Grèce  antique. Dans l’histoire grecque, on distingue la période classique de −600 à −300 et la période hellénistique ou alexandrine de −300 à 600. Pour la connaissance des mathématiques de la période classique, on ne dispose pas de manuscrits originaux. Les sources que nous possédons sont des livres grecs écrits de 500 à 1500 ans après les oeuvres originales, des transcriptions arabes d’oeuvres grecques, des transcriptions latines d’oeuvres arabes. On possède ainsi des oeuvres d’Euclide, d’Apollonius, d’Archimède, de Ptolémée, de Nicomaque, de Diophante. Des commentaires de Pappus (300), et de Proclus (410–485) sont conservés.


Les premiers mathématiciens grecs

Les Grecs ont toujours affirmé avoir trouvé en Égypte et en Mésopotamie les matériaux de base pour leur astronomie et leur géométrie. Les premiers mathématiciens grecs  sont issus d’Asie Mineure. Le début du développement des mathématiques grecques 3 s’est fait au carrefour de ces civilisations.

Thalès de Milet en Asie (−640, −546) est supposé avoir calculé à l’aide d’un bâton la hauteur d’une pyramide, calculé la distance d’un bateau en mer. Thalès est crédité de trois résultats importants: un diamètre partage un cercle en deux parties égales; un angle inscrit dans un demi-cercle est droit; dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. L’apport de Thalès est d’avoir introduit des démonstrations en mathématiques, au lieu de résultats épars, tantôt justes, tantôt faux en usage jusque là.

Pythagore originaire de Samos, après des voyages en Égypte et en Mésopotamie, s’installe dans le sud de l’Italie où il crée une secte mystique (Pythagore défendait la théorie de la métempsycose) et une école, société d’adeptes dont les connaissances étaient tenues secrètes. La tradition pythagoricienne dura plusieurs siècles. Plus tard, tous les travaux collectifs de cette école furent attribués à son fondateur. Aucun écrit direct de la période de Pythagore n’ayant été conservé, nous connaissons l’oeuvre arithmétique des pythagoriciens par le livre 7 des Élémentsd’Euclide, la théorie des nombres figurés par le livre d’arithmétique de Nicomaque (100). En géométrie, les pythagoriciens ont obtenu différents résultats sur la somme des angles d’un triangle, sur des figures régulières et commencé à développer ce qu’on appelle la méthode d’application des aires. L’attribution du théorème sur l’hypoténuse à Pythagore repose sur quelques éléments épars et fragiles.

 
Les Éléments d’Euclide

On sait très peu de choses sur Euclide. On est presque sûr qu’il vécut à Alexandrie vers -300. Il est surtout connu pour être l’auteur des Éléments, livre synthèse des connaissances mathématiques de base antérieures, en particulier des élèves de l’école de Platon.

Les Éléments furent longtemps considérés comme un modèle de rigueur qui établit tout l’édifice mathématique à partir de quelques prémisses appelées axiomes et postulats, et progresse de théorème en théorème à l’aide de déductions logiques. Le cinquième postulat, dit postulat des parallèles, sera une source de travaux pour deux mille ans, jusqu’à l’invention des géométries non euclidiennes. Les quatre premiers livres traitent des grandeurs géométriques, avant que soient définis les rapports de grandeurs dans le cinquième livre, et que cette théorie des rapports en géométrie plane soit utilisée dans le sixième. Les livres sept, huit et neuf sont des livres d’arithmétique. Le livre dix porte sur la question de l’irrationalité. Les livres onze douze et treize sur la géométrie des solides.

fig47Dans les Éléments d'Euclide, le théorème dit de Pythagore est la proposition 47 du livre 1.

Dans un triangle rectangle, le carré du côté opposé à l’angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent l’angle droit.



Nulle part ne se trouve le nom de Pythagore chez Euclide. Le théorème qui porte ce nom, la proposition 47 et sa réciproque, la proposition 48 sont les deux dernières propositions du livre 1. Pour nous, cet énoncé est un énoncé entre des nombres : on mesure les trois côtés, on calcule le carré de chacun des nombres et le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit. Rien de tel dans le texte euclidien qui est une égalité de surfaces. En fait, on démontre que le carré sur l’hypoténuse se partage à l’aide de la hauteur relative à cette hypoténuse en deux rectangles "égaux" aux carrés sur les côtés de l’angle droit.
Les pré-requis de la démonstration

La justification de la construction du carré

1et46La proposition 46 du livre 1 sert à justifier la construction classique d’un carré de côté donné :

Décrire un carré au moyen d’une ligne donnée.

 

L’égalité de triangles

Les propositions 4, 8 et 26 établissent les cas de congruences de triangles appelés "cas d’égalité" dans la littérature classique.

 

prop4La proposition 4 établit que Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont un angle égal à un angle, celui contenu par les droites égales, ils auront aussi la base égale à la base, les triangles seront égaux et les angles restants seront égaux, chacun à chacun, c’est-à-dire ceux que les côtés égaux sous-tendent.

 

Cette proposition est utilisée dans la démonstration de la proposition 47. Pour la démonstration de la proposition 47, Euclide fait appel, en dehors de la proposition 4, à la Proposition 37, très utilisée par Euclide

prop37Proposition 37 : Les triangles qui sont entre les mêmes parallèles et qui ont la même base sont égaux.

 

 

 

Ici, il importe de comprendre que la notion d’égalité en jeu recouvre ce que nous appelons égalité d’aire et non une congruence ou isométrie de triangles. Elle se prouve par des démonstrations analogues à des découpages. Nulle part dans Euclide, ne se trouve écrite une formule de calcul d’aire.

 
La démonstration d’Euclide

proposition47Proposition 47 Dans un triangle rectangle, le carré du côté opposé à l’angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent l’angle droit.

 

 

 

 

 

 

On construit un carré sur chacun des côtés du triangle rectangle ABC. Soient les carrés ABGF, BCKH, ACED. Avec des critères définis précédemment, on montre que le carré construit sur l’hypoténuse peut être découpé par la perpendiculaire BIL au côté DE en deux rectangles égaux aux carrés construits sur les côtés. On montre par la proposition précédente que les triangles AFG et AFC sont égaux ; puis que ABD et ALD sont égaux. Enfin à l’aide d’un des cas d’égalité des triangles sur les deux triangles AFC et ABD sont égaux. Ceci montre l’égalité du carré ABGF et du rectangle AILD.

proposition48La proposition 48 Si, dans un triangle, le carré sur l’un des côtés est égal aux carrés sur les deux côtés restants du triangle, l’angle contenu par les côtés restants du triangle est droit.

 

C’est la réciproque de la proposition précédente. La démonstration est une démonstration qui utilise le théorème direct. Si BC² = AC² + AB², on mène à angle droit à l’extérieur de ABC un segment AD égal à AB, en appliquant le théorème 47 on montre CD² = AD² + AC² et on déduit l’égalité de CD et CB et celle des triangles ADC et ABC qui ont leurs cotés égaux, et donc que l’angle en A du triangle ABC est droit.


Les prolongements du livre 2

fig1213Dans le livre 2, Euclide pose le problème de carrés construits sur les côtés d’un triangle quelconque. Il énonce les deux résultats suivants. Les proposition 12 et 13 dans le cas des triangles non rectangles avec le cas où l’angle en B est obtus et le cas où il est aigu et calcul du carré du côté opposé.

Proposition 12 Dans les triangles obtusangles, le carré sur le côté sous-tendant l’angle obtus est plus grand que les carrés sur les côtés contenant l’angle obtus de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l’angle obtus sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée à l’extérieur par la perpendiculaire au delà de l’angle obtus.

Proposition 13 Dans les triangles acutangles, le carré sur le côté sous-tendant l’angle aigu est plus petit que les carrés sur le côtés contenant l’angle aigu de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l’angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée par la perpendiculaire en deçà de l’angle aigu.

Activité de découverte possible :  Ce résultat donne l’idée d’une activité de découverte du théorème de Pythagore à l’aide de calculatrice supportant des animations géométriques ou d’un ordinateur. On construit des carrés sur les côtés d’un triangle quelconque, ABC. On fixe les points A et C. On cherche les points B tels que AB² + BC² = AC² (en faisant varier B sur une perpendiculaire à AC d’abord).


Les commentaires de Proclus

Celui-ci écrivit au cinquième siècle de notre ère un commentaire sur le premier livre des Éléments qui contient beaucoup d’indications historiques sur les mathématiques grecques. Nous nous intéresserons ici exclusivement à son commentaire des propositions 46, 47 et 48.


Commentaire de la proposition 46

Euclide avait éminemment besoin de ce problème pour organiser celui qui va suivre. Mais il semble toutefois avoir voulu nous transmettre la genèse des deux meilleures figures rectilignes : le triangle équilatéral et le carré en raison, sans doute, de leur emploi dans la structure des corps cosmiques et principalement de quatre d’entre eux dont ces figures sont la genèse et la résolution. En effet, l’icosaèdre, l’octaèdre et la pyramide se composent de triangles et le cube de carrés, et c’est, nous semble-t-il la raison pour laquelle il a d’abord constitué le triangle et décrit le carré. Il a, du reste, imaginé ces expressions comme convenant à ces figures : l’une ayant besoin d’une constitution en tant que réalisant un assemblage de plusieurs côtés, l’autre d’une description en tant qu’engendrée par un seul et même côté.

1et46Ce commentaire souligne l’importance des solides polyèdres réguliers et l’on a pu dire que la justification de leur construction était l’objectif du livre treize des Éléments d’Euclide.

La suite du commentaire de la proposition 46 du livre 1 insiste sur une distinction pour nous peu évidente entre le triangle équilatéral construit dans la proposition 1 du livre 1 et celle du carré décrit dans la proposition 46 (qui nécessite la théorie des parallèles).
D’ailleurs, nous obtenons le triangle, non pas de la même manière que le carré en multipliant par lui-même le nombre d’une droite donnée, mais en menant les droites de jonction d’un autre lieu sur les extrémités d’une droite, nous composons au moyen de ces droites un seul triangle équilatéral, et une description de cercles contribue à trouver le point d’où les droites de jonction doivent être menées sur les extrémités de la droite donnée.
Ensuite, Proclus ajoute deux démonstrations, l’une pour montrer que des carrés construits sur des droites égales sont égaux (en montrant l’égalité de triangles moitié des carrés) mais aussi pour justifier une réciproque, que si deux carrés sont égaux, ils sont construits sur des droites égales. Ce texte est important car la figure présentée par Proclus a été présentée comme une source possible du résultat de Pythagore dans le cas d’un triangle rectangle isocèle. Pour nous, il est difficilement compréhensible si on ne se souvient pas que la notion de carrés égaux ou de figures égales représente l’égalité des aires.

proclusSi des carrés sont égaux leurs côtés sont égaux.

 

 

 

 

 

 

 

Soient AZ, CH des carrés égaux et disposons les de manière que la droite AB soit dans la direction de la droite BC. Dès lors, les angles étant droits, la droite ZB est aussi dans la direction de la droite BH. Menons les droites de jonction ZC, AH. En conséquence, puisque le carré AZ est égal au carré CH, le triangle AZB est aussi égal au triangle CBH. Ajoutons de part et d’autre le triangle BZC ; il s’ensuit que le triangle entier ACZ est égal au triangle entier CZH; donc la droite AH est parallèle à la droite ZC. ...

Ici Proclus utilise le résultat de la proposition 37 qui dit que deux triangles égaux ayant la même base sont entre les mêmes parallèles.

Derechef, puisque l’angle compris sous les droites AZ, ZH est la moitié d’un angle droit ainsi que l’angle compris sous les droites CH, HB, la droite AZ est parallèle à la droite CH ; donc la droite AZ est égale à la droite CH, vu que ces droites sont les opposées d’un parallélogramme. Dès lors, puisque les droites AZ, CH étant parallèles, on a deux triangles ABZ, BCH ayant les angles opposés égaux et un côté AZ égal au côté CH, il s’ensuit que le côté AB est aussi égal au côté BH et le côté BZ au côté BH. Il est donc démontré que, si les carrés AZ, CH sont égaux, les côtés au moyen desquels ils sont construits sont égaux aussi.

Proclus et les propositions 47 et 48: Dans les triangles rectangles, le carré décrit au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux carrés décrits au moyen des côtés qui entourent l’angle droit. À entendre ceux qui prétendent nous rapporter des choses anciennes, on les trouve attribuer ce théorème à Pythagore et dire qu’il sacrifia un boeuf à l’occasion de sa découverte.

Le seul témoignage antérieur à notre ère qui nous soit parvenu sur Pythagore est un distique d’Appollodore de Cyzique, disciple de Démocrite vivant au quatrième siècle avant notre ère. Pythagore inventant la célèbre figure offrit une victime et rendit grâce aux dieux .

Il est cité par Plutarque, (premier siècle de notre ère), et Diogène Laërce, (troisième siècle). Vitruve quant à lui attribue la découverte du triplet (3, 4, 5) à Pythagore et en fait l’occasion du sacrifice.  Quand Pythagore eut fait cette découverte, il ne douta pas qu’elle ne lui eut été inspirée par les muses, et l’on dit qu’en action de grâces, il leur fit un sacrifice.
Proclus est sceptique, peut-être parce que ce sacrifice est en contradiction avec les moeurs végétariennes de la secte pythagoricienne. Mais pour ma part, j’admire ceux qui se sont appliqués les premiers à la vérité de ce théorème, et je loue encore plus l’Auteur des Éléments, non seulement pour nous avoir convaincus de ce théorème par la démonstration la plus claire, mais pour nous avoir persuadés d’un théorème plus général que celui-ci par les raisonnements irréfutables de la science dans son sixième livre.

C’est à peu près tout ce que dit Proclus sur le théorème 47. On voit donc qu’il attribue à l’auteur des Éléments la démonstration de la proposition. Ceci a alimenté deux types de discussions :

Quelles furent les découvertes de Pythagore ?

• Quelle a été la démonstration fournie par Pythagore pour le résultat connu sous son nom ?

• Quelles sont les méthodes de démonstration antérieures à celles d’Euclide ?
Les généralisations du théorème de Pythagore ?


La généralisation d’Euclide

Quel est donc le résultat, généralisation de la proposition 47 du livre 1, admiré par Proclus ?

pentagoneLa proposition 31 du livre 6 des Éléments
Dans les triangles rectangles, la figure sous-tendant l’angle droit est égale aux figures sur les côtés de l’angle droit, semblables et semblablement décrites.

 

 

 

 

 

 

Ce théorème repose sur le fait que les aires des figures semblables sont entre elles comme les carrés du rapport des cotés. Dans le livre 6, il porte sur des figures rectilignes, mais il se généralise à des figures semblables quelconques.

lunuleAvec ce théorème, on retrouve un résultat sur les lunules, les aires des demi-cercles étant proportionnelles aux carrés des diamètres. Un cas particulier de figures semblables est constitué de demi-disques. On en déduit que les lunules sont "égales" au triangle rectangle.


Le commentaire de Proclus

(L’Auteur des Éléments) démontre dans ce théorème-là, que dans les triangles rectangles, la figure décrite au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés placés autour de l’angle droit. En effet, tout carré est semblable à un carré, tandis que toutes les figures semblables entre elles ne sont pas des carrés ; car il y a de la similitude dans les triangles et dans d’autres polygones. C’est pourquoi le raisonnement qui démontre que la figure carrée ou telle autre qu’on voudra, décrite au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit, équivaut aux figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés situés autour de l’angle droit, fait voir quelque chose de plus général et de plus savant que le raisonnement qui prouve que le carré seul équivaut aux carrés. C’est en effet là que, du fait même de la démonstration générale, il devient manifeste que la rectitude de l’angle confère à la figure décrite au moyen du côté qui sous-tend cet angle l’équivalence à toutes les figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés qui entourent cet angle, de même que l’état obtus de cet angle confère un excédent et son état aigu un défaut.

Proclus continue par une remarque sur l’usage des similitudes pour démontrer le théorème dit de Pythagore en soulignant que ce type de démonstration n’était pas possible à la fin du livre 1. Par contre, on verra que certains historiens pensent que telle était une des démonstrations possibles donnée par Pythagore.

semblable On utilise la similitude des triangles ABC, BHC et AHB pour écrire AH/AB = AB/AC et HC/BC = BC/AC; ensuite on utilise AC = AH + HC pour déduire (AH + HC)*AC = AB*AB + BC*BC et le résultat cherché.

 

 

 

 

C’est donc là que se manifestera la manière dont se démontre le théorème qui se trouve dans le sixième livre et nous remarquerons comment se justifie ici le présent théorème si nous ajoutons que le théorème général n’avait pas à être démontré par qui n’avait encore rien enseigné sur la similitude des figures ni absolument rien démontré sur les proportions ; car c’est par cette voie que beaucoup de choses qui nous sont démontrées ici d’une manière particulière se démontrent de manière plus générale. L’auteur des Éléments démontre donc actuellement ce qui est mis en question en partant de la considération vulgaire des parallélogrammes...


DSC00311

Ces deux belles figures de décompositions

ont été présentées au colloque ICMI 2000 de Kokyo.

 

 

 

 

 

 

DSC00312

Il faut cependant remarquer que ni la première décomposition ni la second ne sont générales. Elles sont valables pour un cas particulier de triangle rectangle.

 

 

 

 

 

La généralisation faite par Pappus

Dans sa Collection mathématique livre IV proposition 1 propose la généralisation suivante.

Si dans un triangle ABC, on décrit sur les côtés AB, BC des parallélogrammes quelconques ABDE et BCFG; si les droites DE et FG se coupent en H et qu’on mène la droite HB; les parallélogrammes ABDE, BCFG deviennent équivalents à celui qui est entouré par les droites AC, HB dans un angle égal à la somme des angles compris sous les droites BA, AC et sous les droites DH, HB.

papus
La généralisation de Clairaut

clairautClairaut a proposé une variante du théorème de Pappus. La condition donnée sur les angles est remplacée par une égalité de longueur.  Clairaut utilise à peu près le même point de départ que Papus. Toutefois le parallélogramme contruit sur AC est porté à l’extérieur du triangle ABC et est défini par un report de longueur.

Cas particulier du triangle rectangle
papusrect
La configuration de Pappus fournit une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore avec la configuration suivante.


Proclus sur Pythagore

La suite du commentaire de Proclus sur le théorème de Pythagore est intéressante, car elle montre les idées associées par Proclus au nom de Pythagore.

Proclus sur le triangle rectangle (3, 4, 5)

Or les triangles rectangles étant de deux genres, les isocèles et les scalènes, on ne trouvera jamais des nombres qui s’ajustent aux côtés dans les triangles isocèles; car il n’y a pas de nombre carré double d’un nombre carré, à moins qu’on ne parle d’un nombre approché, et en effet, le carré du nombre 7 est le double du carré de 5 à moins d’une unité. D’autre part, il est possible de trouver dans des triangles scalènes des nombres qui nous montrent d’une manière évidente que le carré du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux carrés des côtés situés autour de cet angle droit. C’est ainsi que le triangle se comporte dans la La République 11 où les nombres 3 et 4 comprennent l’angle droit et où le nombre 5 le sous-tend. Le carré de 5 y est donc équivalent aux carrés de ces nombres, car ce carré est 25 et les carrés des autres nombres sont 9 celui de 3 et 16 celui de 4.

Proclus sur les triplets pythagoriciens

Il s’agit de caractériser les entiers a, b, c tels que a² + b² = c². Si on revient à la représentation des nombres carrés figurés, cette situation se produit quand le gnomon est lui même un nombre carré.

Ce que nous venons de dire est donc évident dans les nombres. Or certaines méthodes pour découvrir de tels triangles nous ont été transmises, et l’on fait remonter l’une à Platon, l’autre à Pythagore. La méthode pythagoricienne part des nombres impairs, pose le nombre impair donné comme étant le plus petit des côtés situés autour de l’angle droit et, après avoir pris le carré de ce nombre et en avoir retranché une unité, pose la moitié du nombre restant comme étant le plus grand des côtés situés autour de l’angle droit, et forme enfin le côté restant, qui sous-tend, après avoir ajouté aussi une unité à ce nombre. Ainsi, par exemple, si après avoir pris 3, l’avoir carré et en avoir retranché une unité, l’on prend 4, moitié de 8 et si on lui ajoute de nouveau une unité, on forme 5 et l’on trouve la triangle rectangle ayant un côté de 3 unités, un autre de 4 unités et un autre de 5 unités.

Proclus attribue à Pythagore la formule : si N donné est un nombre impair, alors les nombres suivants forment un triplet pythagoricien :

                                        N, (N² − 1)/2, (N² + 1)/2

D’autre part, la méthode platonicienne procède en partant de nombres pairs. En effet, prenant le nombre donné pair, elle le pose comme étant un des côtés de l’angle droit, le divise en deux parties égales, carre la moitié, puis forme le côté qui sous-tend l’angle en ajoutant une unité à ce carré et forme l’autre côté situé autour de l’angle droit en retranchant une unité de ce carré. Ainsi, par exemple, ayant pris le nombre 4, ayant carré sa moitié 2 et formé 4, si l’on retranche une unité, on forme 3, et, en ajoutant une unité, on forme 5 et obtient le même triangle produit par l’autre méthode; car le carré de ce dernier nombre est égal à la somme des carrés de 3 et 4.

Proclus attribue à Platon la formule : si N un nombre pair donné, alors les nombres suivants forment un triplet pythagoricien :

                                  N, (N/2)² − 1, (N/2)² + 1

 

Usage du gnomon


nbrecarre
On peut établir ces formules à l’aide des représentations figurées. Le gnomon qui permet de passer d’un carré de côté n au suivant de côté n + 1 vaut 2n + 1. En imposant qu’il soit un carré N², on obtient la première formule. Le gnomon qui fait passer de n² à (n + 2)² vaut 2n + 1 + 2n + 3, donc 4n+4. En imposant qu’il soit un carré N², on obtient la deuxième formule. L’hypothèse avancée par les historiens est plutôt qu’on part d’un carré, qu’on ajoute et qu’on retranche une unité au côté.


Bilan sur les triplets

Les connaissances grecques sur les triplets pythagoriciens étaient moins avancées que celles des babyloniens, qui savaient trouver d’autres triplets que ceux-là.
 
Recherches historiques

Le commentaire de Proclus associe au théorème dit de Pythagore une discussion sur les triangles rectangles en nombres entiers et une mention des questions d’irrationalité. Tous les auteurs de l’antiquité attribuent la découverte de la question de l’irrationalité aux pythagoriciens.

L’irrationalité

Les pythagoriciens voyaient dans le nombre entier le principe de base de l’univers. La découverte dans cette école de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, (l’irrationalité de racine de 2), a provoqué une crise philosophique. La légende dit que son auteur probable (sans doute vers −500), Hippasus de Métapont se serait noyé ou aurait été jeté par dessus bord d’un navire en punition de la rupture du secret. On ne dispose d’aucune trace précise de la découverte de l’incommensurabilité de lignes. On a seulement des témoignages de commentateurs Pappus, Proclus et Iamblicus qui écrivent plus de sept siècles après les faits. Pappus la situe dans la secte pythagoricienne à propos de la diagonale du carré, et l’attribue à Hyppasius, Proclus l’attribue à Pythagore. Iamblicus situe cette découverte des irrationnelles non pas pour la diagonale du carré, mais pour le partage d’un segment en extrême et moyenne raison, c’est à dire à propos du nombre d’or. Les textes de Platon et d’Aristote plus proches des pythagoriciens la situent dans la secte pythagoricienne et parlent de la diagonale du carré.

Aristote dit que si la diagonale était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. On suppose que la diagonale et le côté sont commensurables, et que l’unité de longueur est contenue m fois dans la diagonale et n fois dans le côté, les entiers m et n n’étant pas tous les deux pairs car sinon on utiliserait une unité double. D’après le théorème de Pythagore, on a m² = 2n², ce qui montre que m² est pair et donc que m est pair. En posant m = 2m' et en reportant dans l’égalité, on obtient en simplifiant par 2 l’égalité 2m'² = n² qui montre que n est pair et ceci est en contradiction avec l’hypothèse que m et n ne sont pas tous les deux pairs. Cette démonstration n’utilise que des connaissances arithmétiques des pythagoriciens.

Doubler le carré

Platon a joué un grand rôle pour les mathématiques grecques en systématisant les règles de démonstration et en insistant sur les preuves et les démonstrations comme caractéristiques de l’activité mathématique. Le dialogue de Platon «Le Ménon» entre Socrate et Ménon montre que le doublement du carré était familier et bien connu à son époque. Socrate, pour prouver à Ménon ses conceptions sur la connaissance, (on n’apprend rien, on redécouvre des connaissances antérieures,) fait réaliser le doublement d’un carré par un jeune esclave. Cette figure où Socrate fait découvrir le rôle d’un diagonale du carré initial comme côté fournit un cas particulier du théorème de Pythagore.

Sur la démonstration faite par Pythagore

Si les historiens des mathématiques ne sont d’accord, ni sur la découverte de Pythagore, ni sur sa méthode de démonstration, tous s’accordent pour reconnaître à Euclide la paternité de la démonstration du livre 1 des Éléments. Pour la découverte faite par Pythagore, la plupart des historiens pensent que sur la base du cas particulier du triangle rectangle isocèle et du triangle rectangle (3, 4, 5), le résultat général a été énoncé. Mais on sait aussi maintenant que mille ans avant Pythagore ce résultat était utilisé dans des problèmes babyloniens. Par ailleurs, les auteurs divergent sur la nature de la démonstration faite par Pythagore. Il y a essentiellement deux hypothèses.

bretschneiderUne démonstration par découpage ou puzzles du même type que les démonstrations faites par les indiens. La propositions la plus connue est celle de Bretschneider.

• Une démonstration utilisant des similitudes de triangles rectangles entre un triangle et les triangles rectangles définis par la hauteur relative à l’hypoténuse.
Si ABC est un triangle rectangle en A et AH la hauteur relative à l’hypoténuse BC la similitude des triangles ABC, HAC et HAB permet de déduire le théorème de Pythagore en écrivant  BA² = BH.BC ; AC² = CH.BC ; BC = BH + HC

Toutefois, l’hypothèse avancée par les historiens dans ce deuxième cas est celle d’une démonstration incomplète avec uniquement des rapports d’entiers. Les pythagoriciens faisaient initialement l’hypothèse que deux lignes quelconques étaient commensurables et après la découverte de l’irrationalité, ils n’étaient pas en possession d’une théorie générale des rapports de grandeurs.


Le théorème dit de Pythagore dans d’autres civilisations


Dans les mathématiques babyloniennes

Certaines tablettes prouvent que le résultat que nous connaissons sous ce nom était connu des Babyloniens un millier d’années avant Pythagore. Dans une tablette datée d’environ −1700 figure le problème suivant : une poutre de longueur 0; 30 est placée contre un mur, de même hauteur (d). Son extrémité supérieure glisse et descend de 0; 6 soit (d − h). À quelle distance du mur (b) se trouve maintenant son extrémité inférieure ? Le calcul de b est fait en calculant d² − h². Le même problème, sous des formes variées se retrouve jusqu’à nos jours, et était un problème classique dans les textes arabes.


BABb8plimpton
Une autre tablette (Plimpton 322) tout à fait remarquable présente des listes de nombres entiers appelés triplets pythagoriciens, c’est à dire de triplets d’entiers solutions de l’équation x² + y² = z². Cette tablette est le plus ancien document connu de théorie des nombres. Elle fut écrite entre −1900 et −1600. Les nombres qui figurent sur cette tablette excluent une découverte par hasard. Voici par exemple les nombres (ici écrits en base 10) qui figurent sur les quatre premières lignes :

119       120        169

3367     3456      4825

4601     4800      6649

12709   13500    18541

Il n’a pas été possible de retrouver la formule générale qui a servi à établir cette tablette ; différentes hypothèses ont été avancées sans qu’il soit possible de trancher avec certitude. On sait que les Grecs très tardivement et les Arabes connaissaient une telle formule : x = 2pq, y = p² − q², z = p² + q² avec p et q entiers, pour des nombres x, y, z premiers entre eux.

Les Babyloniens disposaient plus de mille ans avant d’un algorithme assez général pour trouver de nombreux triplets pythagoriciens. Par contre, Pythagore n’a disposé que de deux formules donnant des cas particuliers de triplets. Neugebauer suppose, en raison de la présence d’une colonne qui écrit des rapports du type z/x variant de façon régulière, que les Babyloniens connaissaient la formule générale précédente et l’utilisaient de la façon suivante :

z/x =(p² + q²)/2pq = 1/2(p ×q' + q × p') en désignant par p' l’inverse de p.

Ils auraient alors choisi des valeurs de p et q dont ils pouvaient connaître l’inverse en sexagésimal. Cependant cette interprétation est contestée par d’autres spécialistes et les Babyloniens n’ont laissé aucune trace de la formule ou de la méthode qu’ils ont employée pour établir cette table.
Calcul de racine de 2

BABb6root2dUne tablette (YBC 7289) donne une valeur approchée très précise de racine de 2. Sur un carré sont dessinées les deux diagonales. Sur un côté figure le nombre 30. Au dessus de la diagonale le nombre 1; 24, 51, 10 ; au dessous de la diagonale figure le nombre 42; 25, 35.  Si nous calculons les valeurs décimale de ces nombres nous obtenons que  1; 24, 51, 10 vaut 1, 414 212 9, or racine de 2 vaut 1, 414 213 5 et  30 × (1; 24, 51, 10) = 42; 25, 35 Cette valeur de d’une précision tout à fait étonnante pour l’Antiquité, n’était pas toujours utilisée dans les tablettes babyloniennes. Souvent la valeur approchée 1; 25 était utilisée. De ces exemples, nous pouvons conclure que le résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore était connu plus d’un millier d’années avant Pythagore et que les Babyloniens possédaient une méthode efficace de calcul des racines que nous allons présenter maintenant.
Méthode de calcul de racines

Soit à calculer √A. Si l’on utilise une valeur approchée a plus grande que √A la valeur A/a sera plus petite que √A et si l’on utilise une valeur approchée a plus petite que √A la valeur A/a sera plus grande que √A. En prenant la valeur moyenne des deux ½ (a + A/a), on peut espérer obtenir une meilleure approximation que a. En itérant le procédé, on obtient des valeurs de plus en plus précises. Ce procédé est essentiellement le même que celui qui sera employé plus tard par les Grecs et les Arabes, et connu sous le nom d’algorithme de Babylone ou de Héron (mathématicien grec).

Nous utilisons encore cet algorithme, dont on peut montrer qu’il converge vers la racine cherchée rapidement, en moyenne quadratique, c’est-à-dire que le nombre de chiffres décimaux exacts double à chaque pas d’itération. Sans fournir une démonstration, les Babyloniens connaissaient cette convergence et l’utilisaient pour le calcul de racines. Si on fait le calcul de √2 par cette méthode à partir de a = 1, on obtient la valeur inscrite sur la tablette à la quatrième approximation.


Dans les mathématiques égyptiennes

Si l’on pense que l’usage du triangle 3, 4, 5 était connu des égyptiens, on n’a pas de preuve de la connaissance du théorème sur l’hypoténuse du triangle rectangle.

Dans les mathématiques indiennes

Heath discute longuement du calcul de la diagonale du rectangle. Des études récentes montrent que le résultat de Pythagore figure dans des traités de science de construction des autels connue sous le nom de Sulba-Sastra et qui signifie mesurer (Sulba=cordeau) et en même temps tracer une ligne droite. Le premier savant indien connu qui ait laissé son nom associé au théorème de l’hypoténuse
est Baudhayana, auteur d’un célèbre traité Sulba-Sutra qui date de -800. Les justifications associées à cette figure sont des puzzles.

bhaskara


 
Dans les mathématiques chinoises

Le théorème dit de Pythagore est toujours désigné par théorème de Gougu dans les mathématiques chinoises. Dans le premier livre connu des mathématiques chinoises "Zhoubi suanjing" datant du deuxième siècle avant notre ère, est énoncé le cas particulier du triangle (3, 4, 5), puis l’énoncé général et de nombreuses applications avec la remarque que l’empereur légendaire Yu pouvait mesurer le pays grâce à ce résultat.

Sa preuve

Le théorème de Gougu figure aussi dans le plus grand traité antique de mathématiques chinoises, le traité "JiuZhang SuanShu" et dans un commentaire sur ce traité, le mathématicien Liu Hui explique comment prouver que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de la "base" et de la "perpendicule " par la phrase dont la traduction est la suivante.

Base automultipliée fait le carré rouge ; perpendicule automultipliée fait le carré azur. Appliquons-leur (la technique qui consiste à) "enlever et mettre de manière à procéder à un rapiéçage mutuel en respectant les catégories qui sont les leurs. Profitons du fait que le reste ne bouge pas, formons la surface de l’hypoténuse.

chine
Le théorème de Gougu La figure géométrique nécessaire à la compréhension de ce texte est perdue, mais il est clair qu’il s’agit d’une technique de puzzle. On peut utiliser le puzzle de Liu Hui qui éclaire bien l’énoncé.


Les calculs utilisant cette figure :  La figure de l’équerre se retrouve dans les textes de Liu Hui et désigne la même chose que le gnomon des mathématiques grecques. Elle désigne ici la différence de deux carrés. Et permet à partir de la formule a²+b² = c², d’obtenir la propriété a² = c²−b². La figure de l’hypoténuse permet d’obtenir l’équivalent de nos deux identités algébriques :
(a + b)² = (b − a)² + 4ab et c² = (b − a)² + 4ab/2

 
Différentes démonstrations du théorème de Pythagore dans l’histoire

Ce théorème se retrouve, soit à propos du calcul de la diagonale du rectangle, soit introduit par la problématique : Comment faire un seul carré avec deux carrés donnés. Nous distinguons essentiellement trois types de démonstrations.

des démonstrations par similitudes de triangles telles que celle parfois attribuée à Pythagore

• des démonstrations utilisant les aires, dans la lignée des Éléments d’Euclide, ou des calculs d’aires à l’aide de formules.

• des puzzles. Certains de ces puzzles, bien que très visuels ne sont pas évidents à justifier.

Beaucoup de démonstrations différentes sont présentées dans le livre de Curiosités géométriques de Fourrey. Nous allons ici donner quelques exemples accompagnées d’animations. Pour la plupart, nous laissons au lecteur le soin des justifications.

 
Les démonstrations par les aires

arabe
Une démonstration arabe

La démontration de Namir El Din utilise la même configuration que celle d’Euclide avec des parallélogrammes de même base entre les mêmes parallèles. Le point crucial de cette démonstration est un résultat démontré par Héron sur la concourance de trois droites, la hauteur AJ du triangle rectangle relative à l’hypoténuse et les droites supportant les côtés des carrés parallèles aux côtés du triangle rectangle, HI et GF.

 

Les puzzles


La problématique de Clairaut

Celui-ci pose le problème de la manière suivante : Comme avec deux carrés en faire un seul?  Il propose un découpage de ces carrés et des rotations de pièces. La justification de ce puzzle de Clairaut est assez aisée.
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De beaux puzzles

Un puzzle facile à justifier

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Un autre puzzle très visuel
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Un puzzle très intéressant, difficile à justifier

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Ce puzzle est construit en prenant par le centre du carré ABFG des parallèles aux côtés du carré CBED. Pour justifier que les pièces déplacées par des translations dans le carré CBED s’emboîtent exactement, le parallélogramme CBXY joue un rôle crucial. La démonstration est laissée au lecteur.  On trouvera dans le film d'Apostol sur le théorème de Pythagore une belle animation.

 

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Published by Eliane Cousquer - dans histoire des mathématiques
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commentaires

louis vuitton replica 20/05/2015 10:35

Pretty good post. I just stumbled upon your blog and wanted to say that I have really enjoyed reading your blog posts.

professional essay writing services 11/08/2014 15:04

Le théorème a de nombreuses preuves, peut-être plus que tout autre théorème mathématique. Ceux ci sont très diverses, y compris les preuves géométriques et des preuves algébriques, avec certains datant de plusieurs milliers d'années.

Guillaume Denom 01/08/2012 19:53

Merci pour vos exposés éclairants. Les idées pythagoriciennes y sont mieux liées que dans la plupart des tentatives de ce genre. Travaillant sur ces questions depuis de nombreuses années, je me
permets de vous recommander, à l'adresse ci-dessous, la deuxième section consacrée à la théorie du gnomon, en liaison avec les questions traitées ici. Cordialement.
http://mathematiquespythagoriciennes.lo.gs/