Découverte à l'aide de sites internet, de l'histoire des numérations et de l'écriture des nombres entiers. Les sites sont des sites français ou anglais, des musées, des expositions, ou des sites d'histoire des mathématiques. On pourra consulter le site plus général et très complet de C. Houzel sur l'histoire des nombres. Ce texte est lié à l'article sur la notation des nombres de Médiamaths.

Préhistoire et traces de comptage

L'opération de compter est propre à l'espèce humaine. Elle s'étend sur des millénaires et on peut retrouver des traces matérielles : Outils, peintures murales, instruments, entailles sur des os ou des bâtons précédant les premiers vestiges d'écriture.

Bois de renne avec entailles de comptage (-15000)

Traces orales

Les noms de nombres sont parmi les mots les plus stables et sont utilisés par les linguistes pour étudier les parentés entre langues. Les linguistes ont montré que l'invention des nombres a été un processus très long qui s'est fait par paliers. Certains peuples étudiés par les ethnologues n'ont pas franchi le palier de la dizaine ; ils comptent ainsi : un, deux, beaucoup ou un, deux, trois, beaucoup ou encore un, deux, deux-un, deux-deux. Les trois cas grammaticaux de certaines langues, singulier - duel - pluriel sont peut-être un vestige de un-deux-beaucoup. Dans les langues indo-européennes, les linguistes ont montré que les mots désignant dix, et cent dérivent d'une même origine, mais pas mille. Les peuples qui parlaient la langue mère proto-indo-européenne n'avaient donc pas atteint le millier dans le comptage. Quatre-vingt ou octante ? Le système de numération orale à base dix dans les langues romanes est plus régulier qu'en français où on trouve des vestiges d'une numération antérieure à base vingt. Il s'agit de traces d'une langue celte, seule langue indo-européenne qui utilise la base 20, sans doute la trace des invasions normandes.

Traces de comptabilité

Comptabilité en Mésopotamie : cette boule d'argile contient des jetons. Le musée du Louvre présente plusieurs pièces de ce genre. Ci dessous une boule d'argile présentée dans l'exposition de la B.N.F. (Bibliothèque Nationale de France), sur l'Aventure des écritures disponible sur le web.

 

Pièces de comptabilité archaïque (3300 avant J.C.)

Ecriture et nombres

L'introduction de l'écriture marque le passage à l'histoire. Les premières traces d'écriture sont associées à des nombres : tablettes de comptabilité, enregistrements de transactions... Les mots désignant des nombres figurent parmi les premières traces d'écriture à Sumer et en Égypte. Voici des tablettes (IV-millénaire av J.C.) exposées au Louvre avec mélange de pictogrammes et nombres.

 

L'écriture des mots évolue ci-dessous vers le cunéiforme, celle des nombres reste archaïque.

 

Les mathématiques et l'écriture

Elles sont nées en même temps, et sont très liées. Une mathématique nécessite un support écrit, mais à l'inverse, le besoin de garder trace des transactions fut essentiel pour l'invention de l'écriture. L'écriture fut inventée dans des états du Moyen Orient ou en Chine pour gérer des biens, calculer des impôts... Les numérations écrites marquent un progrès fondamental. Des calculs sur des nombres de plus en plus grands deviennent possibles.

La notation des nombres : à l'aide de traits rencontre très vite des limites. L'utilisation d'un groupement appelé base permet l'écriture des nombres. Les bases 2, 5, 6, 10, 12, 16, 20, 24, 60 ont été utilisées dans l'histoire.

Les instruments de calcul

Les baguettes, abaques, bouliers, tables de calcul, ont longtemps suppléé tout calcul écrit : seuls les résultats étaient retranscrits, les calculs se faisant à l'aide d'un instrument.

Ces images sont extraites du site de Nathalie Aymé sur le boulier, son histoire et son utilisation.

La notation des nombres

La notation des nombres à l'aide de traits rencontre très vite des limites. L'utilisation d'un groupement appelé base, permet l'écriture des nombres. Les bases 2, 5, 6, 10, 12, 16, 20, 24, 60 ont été utilisées dans l'histoire.

Nombres et civilisations

Systèmes de numération, pratiques calculatoires, pratiques de mesure, conceptions mystiques sur les nombres sont liés au cours de l'histoire.

Le partage des unités

Le partage des entiers pour la mesure des quantités plus petites que l'unité fut un problème très difficile dans l'histoire de l'humanité. Nos fractions résultent d'un processus historique très long. Les solutions adoptées furent différentes suivant les civilisations et pour chaque civilisation, nous reverrons cette question.

Notre système décimal

Pour illustrer les différents systèmes de numérations, nous avons choisi un nombre et nous regardons son écriture dans les différents systèmes. Ce nombre est 71 755 875.

Cela signifie:

• utilisation de la base 10 ;
• usage des chiffres arabes, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;
• écriture avec un système positionnel où le sens du chiffre dépend de sa place ;
• usage du zéro pour noter une place manquante, à l'intérieur du nombre comme dans 2304 ou à droite 3000 ;
• possibilité d'écrire des nombres aussi grands qu'on veut ;
• extension du système d'écriture des entiers aux décimaux ;
• usage d'une base auxiliaire 1000 à l'oral pour lire et exprimer les nombres, millier, million, milliard ;
• usage d'une notation scientifique avec des puissances ;
• extension aux nombres réels de cette écriture : 12,98345345345... ou aussi 0, 12345678910111213...

Ce système positionnel à base dix créé par les indiens a été développé par les arabes qui l'ont étendu aux nombres décimaux. Ceux-ci, après une période d'oubli ont été réinventés au 16-ième siècle en Europe.

Dame Arithmétique arbitre la querelle entre les algoristes, partisans du calcul écrit et les abacistes, adeptes du calcul sur abaque.

L'usage des chiffres indiens fut adopté par les arabes qui étendirent cette notation aux décimaux. Cette invention parvint après le premier millénaire en Europe. Les décimaux firent l'objet d'une réinvention par plusieurs mathématiciens dont Stevin « La Disme » à la fin du 16ième siècle.

Le système babylonien

Un système positionnel à base 60, étendu aux fractions, sans zéro, sans virgule, sans notation d'ordre de grandeur ; la base 10 est utilisée de façon auxiliaire pour noter les nombres de 1 à 60 de façon additive. Au III ème avant J.C. il y a eu apparition d'un zéro comme place manquante au milieu des nombres. Notre calcul du temps en heures, minutes, secondes et notre calcul des angles en degrés, minutes, secondes en sont des vestiges.

Ce tableau montre l'écriture des nombres de 1 à 59 en écriture cunéiforme. Il est extrait du site de Mac Saint Andrews, site de référence en histoire des mathématiques.

Notre nombre 71 755 875 s'écrit

 

Soit, une suite 5, 32, 12, 11, 15, écrite en babylonien avec deux symboles, un clou pour l'unité et un chevron pour la dizaine.

Les systèmes décimaux non positionnels

Les  systèmes égyptien, grec attique et romain présentent des caractéristiques communes. Ils sont limités pour écrire des grands nombres et ne permettent pas d'écrire des parties fractionnaires.

Le système égyptien 

Le déchiffrement des écritures égyptiennes Champollion grâce en particulier à la pierre de Rosette a ouvert la voie à la redécouverte de cette civilisation.

Les mathématiques égyptiennes sont connues par quelques papyrus dont le plus célèbre est le papyrus Rhind. Chaque nombre est représenté chaque puissance de 10, jusqu'à la septième, par un hiéroglyphe. Dans ce système, notre nombre 71 755 875, est écrit par répétition de symboles.

L'ancien système grec

L'ancien système grec attique antérieur à la période classique, même principe de notation des entiers avec toutefois un raccourci d'écriture avec des symboles pour 5, 50, 500. Le partage se fait suivant les myriades. Notre nombre 71 755 875 s'écrit :

 

Ce système, via les étrusques a donné naissance à l'écriture romaine des nombres.

Le système romain

Le système romain dérive du système précédent. Un principe soustractif s'introduit très tardivement au Moyen Age comme raccourci d'écriture. Ainsi 9 s'écrit non pas VIIII mais IX, 40 s'écrit non pas XXXX mais XL.

Les systèmes alphanumériques

 

Le système grec alphanumérique avec 28 lettres permet de noter par trois lettres au plus de tous les nombres de 1 à 1000. Neuf lettres notent les chiffres de 1 à 9, neuf les dizaines de 10 à 90, neuf lettres les centaines de 100 à 900 ; une apostrophe précédant les lettres des unités indique les milliers. Le symbole M dénote 10 000 et peut être surmonté d'un nombre de 1 à 9 999 pour noter les nombres jusqu'à M fois M. Un nombre est surligné pour le distinguer d'un mot ordinaire. Cette notation des nombres est dite alphanumérique. Notre nombre 71 755 875 s'écrit M exposant 7 175 suivi de 5 875 :

Ce système est limité pour l'écriture des grands nombres. Archimède dans un texte célèbre sur le calcul des grains de sable de l'univers, l'arénaire a imaginé un système d'écriture des grands nombres à l'aide M fois M soit 100 000 000.

Les systèmes chinois

En Chine archaïque un système de numération en base 60 a été utilisé. Une façon de noter des cycles de 60 années consécutives est un des vestiges de ce système.

Les baguettes de calcul

Le système décimal a très vite été en usage dans les calculs pratiques avec des baguettes disposées horizontalement et verticalement qui permettaient d'écrire les différents chiffres. Notre nombre 71 755 875 s'écrit : 

Système positionnel de notation des nombres, non ambigu et très performant pour les calculs. Avec des baguettes de deux couleurs, rouge et noire, les chinois ont noté les nombres positifs et négatifs. Ce calcul avec les baguettes sur des damiers a joué un rôle considérable dans le développement de leurs mathématiques. 

La notation des nombres avec les caractères

La notation des nombres avec les caractères date du début de notre ère et est encore en usage aujourd'hui. Les nombres sont partagés suivant les myriades. Le symbole du zéro date du VIIIème siècle. Les textes scientifiques utilisent maintenant notre système décimal avec les chiffres arabes. C'est un principe multiplicatif de notation de nombres. En chinois notre nombre 71 755 875 s'écrit

 

Soit en suivant les caractères de gauche à droite

7 mille 1 cent 7 dix 5 myriade 5 mille 8 cent 7 dix 5

 

Les très grands nombres nécessitent l'invention de nouveaux caractères pour chaque puissance de dix. Divers systèmes sont apparus au cours des siècles. Le plus grand nombre apparu dans un traité Dix classiques de calcul est le nombre 1 644 866 437 500 découpé de la manière suivante

1 myriade 6448 myriade de myriade 6643 myriade 750