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30 décembre 2003 2 30 /12 /décembre /2003 18:48

 

MATHÉMATIQUES ET ART : D'UN VOCABULAIRE À L'AUTRE


par Marie Bouazzi
Université d'Orléans (France) et Ecole Nationale d'Architecture et d'Urbanisme de Tunis (Tunisie)

site : Géométrie pour l'architecte


 

La symétrie au sens littéraire c'est la proportion, la régularité, l'ordre, l'harmonie, l'équilibre. Au sens mathématique, c'est l'invariance sous un groupe de transformations. Dans les deux sens, mathématique et littéraire, la symétrie bilatérale est un type particulier de symétrie et, d'une manière générale, chaque type de symétrie est décrit d'une manière précise par le groupe de transformations qui lui est attaché.

Or une oeuvre d'art présente rarement un seul type de symétrie. Elle en présente la plupart du temps plusieurs, perçus tous ensemble plus ou moins confusément par le spectateur. Leur analyse mathématique et l'utilisation conjointe des vocabulaires littéraire et mathématique permettent de rendre plus consciente et plus claire la multiplicité et d'amplifier l'impact sensoriel de l'œuvre.

 

  a1 basil docu 300 ph

Plan de basilique

Extrait de A. Lurçat, Formes, composition et lois d'harmonie, éléments d'une science de l'esthétique architec-turale, Vincent, Fréal et Cie, Paris, 1955.

• LA SYMÉTRIE BILATÉRALE •

La figure ci-contre présente un type de symétrie unique : la symétrie bilatérale. Les parties gauche et droite sont identiques, et disposées exactement l'une en face de l'autre par rapport à un axe de réflexion situé au milieu. Le groupe de symétrie de la figure, qui est l'ensemble des similitudes du plan qui appliquent globalement la figure sur elle-même, est le groupe diédral d'ordre 1, noté d1. (Ce groupe est constitué d'une réflexion et de l'identité. L'identité appartient à tous les groupes de symétrie ; elle ne traduit aucune régularité particulière.)

 

a2 BardoRos phC 150 fin• SYMÉTRIE CENTRÉE • DISSYMÉTRIE •

 

 

Motif décoratif de style andalous
XVe siècle

Musée national du Bardo, Tunisie

La symétrie de ce motif est centrée. Si on ne regarde que la rosace bleue et noire, on voit des motifs se répéter par rotation douze fois autour d'un centre, avec des axes de symétrie qui sont ceux des motifs bleus et ceux des motifs noirs. Le groupe de symétrie est le groupe diédral d'ordre 12, noté d12 (constitué de 12 rotations et de 12 réflexions).

Pourtant, si on y regarde de plus près, on s'aperçoit que les entrelacs de bandes blanches (les unes passant dessus , les autres dessous ) détruisent la symétrie par réflexion. Présents mais peu visibles, ces entrelacs constituent une dissymétrie sur la règle d12  : lorsque l'on regarde, on voit deux groupes à la fois, inclus l'un dans l'autre, le groupe d12 et le groupe c12, cyclique d'ordre 12, qui contient les 12 rotations mais pas de réflexions.

Il est clair par ailleurs que la rosace est inscrite dans un carré, dont la symétrie est accentuée par les 4 motifs bruns et dont la symétrie est d4, diédrale d'ordre 4.

 

CRISTALLOGRAPHIE EN DIMENSION 2

• COLORIAGE •

a3 BardoBleu phC 150 fin

 

Motif décoratif de style andalous
XVe siècle

Musée national du Bardo, Tunisie

 

Ce "dessin-tapis", qui peut recouvrir le plan tout entier par répétition régulière indéfinie du motif, présente une symétrie globale double. D'une part, en effet, on peut y voir des motifs foncés qui se répètent régulièrement sur un fond clair. D'autre part, le fond lui-même est constitué de motifs clairs isométriques aux motifs foncés, tous les motifs étant régulièrement disposés dans l'ensemble.

La régularité globale du dessin considéré dans sa forme pure, sans tenir compte du coloriage, est décrite par le groupe p4g (détail)

La régularité du dessin colorié, où deux motifs de couleurs différentes ne sont pas considérés comme équivalents, est décrite par le groupe cmm (détail). Ce dernier groupe est strictement inclus dans le précédent : il s'obtient en enlevant du premier toutes les transformations qui appliquent un motif foncé sur un motif clair, ou inversement.

Dans les dessins décoratifs réguliers, il arrive ainsi très fréquemment que le coloriage détruise une partie de la symétrie des contours. Le coloriage constitue alors une dissymétrie sur la règle de régularité des contours, c'est-à-dire que l'observateur « voit double » : il voit à la fois la régularité de la forme (abstraction faite des couleurs) et la régularité plus faible du dessin colorié. En d'autres termes, et sans en être nécessairement conscient, il voit deux groupes à la fois, dont l'un est un sous-groupe de l'autre.

 

Groupe de symétrie de la forme,

sans tenir compte du coloriage

a4 forme 

 

Le groupe de symétrie de la forme pure, sans tenir compte du coloriage foncé ou clair du motif, est constitué de l'infinité des translations, des réflexions, des réflexions glissées et des rotations, dont les éléments caractéristiques sont indiqués ci-contre (nous n'indiquons pas les vecteurs des réflexions gilssées) :

(i, j) : vecteurs de base du réseau de translations
| | : axes de réflexions
------ : axes de réflexions glissées
 : centres de rotations d'ordre 2
x : centres de rotations d'ordre 4.

Ce groupe se note p4g.

 

Groupe de symétrie

du dessin colorié

  a5 couleur

 

Le groupe de symétrie du dessin colorié est constitué d'une infinité des translations, des réflexions, des réflexions glissées et des rotations, dont les éléments caractéristiques sont indiqués ci-contre (nous n'indiquons pas les vecteurs des réflexions gilssées) :

(i, j) : vecteurs de base du réseau de translations
| | : axes de réflexions
------ : axes de réflexions glissées
 : centres de rotations d'ordre 2

Ce groupe se note p4g.

 

 

Plan de Bramante pour St Pierre de Rome,
1506 (jamais exécuté)

a6 Bram docu 300 ph

Plan de Michel-Ange pour St Pierre de
Rome, 1546 (monument actuel)

 

a7 MichA docu 300 ph

• SYMÉTRIE UNIQUE •
• SUPERPOSITION DE SYMÉTRIES•

Ce plan de Bramante présente un type de symétrie unique ; c'est un plan en forme de croix grecque, dont la symétrie est centrée d'ordre 4. Bien que le dessin soit complexe, la symétrie d'ensemble ne l'est pas : il s'agit de la symétrie diédrale d'ordre 4, et de rien d'autre.

Par contre le plan de Michel-Ange présente une symétrie complexe. On y voit à la fois la symétrie bilatérale et la symétrie centrée d'ordre 4, et ces deux types pèsent du même poids, à cause de la grande importance du perron d'entrée, tout aussi visible que le corps de bâtiment. Il est visible aussi que les absides, disposées autour du centre et identiques quatre par quatre, sont toutes très analogues, si bien que la figure suggère aussi la symétrie centrée d'ordre 8. On peut dire que trois types de symétrie sont présents en même temps, sur la même forme d'ensemble, malgré divers écarts par rapport à chacun d'entre eux, et qu'ils se superposent avec un poids égal dans la lecture globale de la régularité.

Cette oscillation entre des symétries globales multiples, qui s'oppose à la symétrie déterminée unique du plan de Bramante, est peut-être une analyse mathématique des impressions très différentes que produisent les deux oeuvres et que le vocabulaire de l'architecte exprime volontiers ainsi : "Le plan de Bramante est une somme d'éléments clairement lisibles, il est statique, alors que le plan de Michel-Ange est fluide, que les différents espaces s'y interpénètrent, qu'il est dynamique tout en présentant une unité générale".

_______________________
1. Emna Ben Miled, Institut Technologique d'Art, d'Architecture et d'Urbanisme de Tunis, 1990.

 

• RYTHME •

 a8 31p40a

 

Groupement d'arcades

Extrait de A. Lurçat, Formes, composition et lois d'harmonie, éléments d'une science de l'esthétique architecturale, Vincent, Fréal et Cie, Paris, 1955.

Les axes ont été dessinés par l'architecte

Dans le vocabulaire de l'architecte, la répétition régulière de l'arcade produit un rythme. La répétition est virtuellement indéfinie à gauche et à droite, comme le suggèrent les lignes pointillées qui encadrent le dessin des deux côtés, et toutes les arcades sont équivalentes dans l'ensemble, ce que l'architecte exprime en nommant AB tous les axes et 1 tous les segments.

Le groupe de symétrie de cette frise d'arcades est constitué de l'infinité des translations n x u , dans Z, où u est un vecteur porté par l'un des segments; de l'infinité des réflexions d'axes « AB » ; et de l'infinité des réflexions dont les axes sont ceux des colonnes (que l'architecte n'a pas dessinés, pour des raisons qui sont en dehors du champ de la géométrie).

Le rythme correspond à la présence de translations dans le groupe de symétrie et les objets nommés du même nom par l'architecte sont ceux qui sont équivalents sous le groupe de translations.

 

• STATIQUE / MOBILE • ASYMÉTRIE •

 

a9 Cyclo docu 150 fin

 

 

Motif indien du sud-ouest des Etats-
Unis, fin 19e-début 20e siècle

On sent au premier coup d'oeil que l'équilibre de la couronne extérieure est très différent de celui de l'image centrale.

En effet, l'image centrale présente une symétrie bilatérale, alors que la symétrie de la couronne extérieure est une symétrie centrée d'ordre 4, sans réflexions, dont le groupe de symétrie est le groupe cyclique d'ordre 4 (constitué des 4 rotations) noté c4.

Le seul élément commun aux deux groupes est Id, qui ne traduit aucune régularité. On peut dire que les deux types d'équilibre sont contradictoires, si bien que la figure ne possède dans son ensemble aucune symétrie. Elle est asymétrique et son groupe de symétrie est {Id}.

On remarque alors que la symétrie bilatérale de l'image centrale, qui donne une impression statique comme l'immobilité sereine des deux plateaux égaux d'une balance, s'oppose à la symétrie cyclique de la couronne extérieure, qui donne une impression mobile d'ouragan à cause des rotations très visibles par suite de l'absence de réflexions dans le groupe c4. Une île merveilleusement calme repose sur un plan d'eau, parfaitement immobile dans l'oeil d'un cyclone.

Mais le reflet de l'île dans l'eau suggère une autre symétrie : à l'axe vertical s'ajoute l'axe horizontal du plan d'eau, et la symétrie de l'île agrémentée de son reflet est celle du groupe diédral d'ordre 2, noté d2. Ce groupe contient un demi-tour qui permet de renverser l'île sur son reflet, si bien que le monde n'est pas aussi immobile qu'on le croyait ! D'ailleurs le cyclone n'est peut-être pas non plus aussi mouvant qu'on le croyait, car la symétrie d2 de l'image centrale est présente en surimpression dans la couronne, par la présence des 4 segments des axes de ce groupe, très vigoureusement dessinés et contradictoires avec la symétrie c4.

 

 

• COMPOSITION •

PROGRESSION

• TRANSITION •

b1 IbnTulun phC 150 fin

 

Mosquée Ibn Tulun du Caire, IXe siècle

Le bâtiment au centre de la cour est composé de trois parties aux formes géométriques : un soubassement en forme de parallélépipède rectangle dont la face au sol est carrée, surmonté d'une partie en pans coupés dont la partie supérieure est un prisme octogonal, elle-même surmontée d'une coupole arrondie à base circulaire.

Composé (du latin cumponere , de cum “avec” et ponere “poser”) : les parties sont « posées ensemble » de sorte que certaines de leurs symétries soient communes, c'est-à-dire de sorte que leurs groupes de symétrie aient un sous-groupe commun.

A condition de ne pas considérer la symétrie mathématique mais la symétrie physique des formes, pour laquelle le haut et le bas ne sont pas interchangeables, la symétrie du bâtiment augmente au fur et à mesure qu'on s'élève vers le ciel : au type diédral d'ordre 4 du soubassement (caractérisé par 4 rotations autour d'un axe vertical, et 4 réflexions dont les plans passent par l'axe), succèdent les symétries de la partie transitoire en pans coupés, d'abord diédrale d'ordre 4 puis diédrale d'ordre 8 au niveau du prisme octogonal, pour aboutir finalement à la symétrie infinie de la coupole.

La base carrée, les étages en pans coupés avec leur prisme octogonal, et la coupole, sont disposés de sorte que l'axe soit commun.

La progression de la symétrie du bas vers le haut 

correspond à l'inclusion

c3 inclu

 

 

 

et la partie intermédiaire effectue une transition entre la base carrée et la coupole par le fait que d8 est

compris entre d4 et c4 dinf

 

 


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Published by Eliane Cousquer - dans expositions
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