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18 avril 2011 1 18 /04 /avril /2011 22:57

Ce texte a été écrit pour le Colloque de  Strasbourg en juin 1998, intitulé History of Science and technology in Education and training in Europe. Eurosciencia Conferences Edited by Claude Debru. Il montre mes conceptions sur l'enseignement des mathématiques et de son histoire.

Enseignante à l'UFR de mathématiques de l'Université des Sciences et Techniques de Lille (USTL), j'enseigne à l'IUFM du Nord Pas-de Calais depuis sa création. J'ai développé un travail sur l'histoire des nombres depuis 1990 dans le cadre de l'IREM (publié sous forme d'une brochure en 1992), puis en formation initiale des enseignants (cours et encadrement de mémoires faisant intervenir l'histoire). Ce travail a été réinvesti dans une option de Deug et fait l'objet d'un livre « La fabuleuse histoire des nombres », chez Diderot éditeur.

 

Nombres et culture

 

Nous vivons, collectivement, avec les nombres, une relation étrange, faite à la fois de fascination et de rejet. Fascination quand la précision du nombre, par exemple, assoit une affirmation comme « vérité scientifique », rejet quand l'ombre d'une valeur numérique effarouche un présentateur soucieux de son audimat. Ce double mouvement doit nous poser question, tant est grande dans nos sociétés l'importance du nombre de la mesure, de la valeur : évaluation, prévision, simulation, notre vie est et sera influencée par la mesure, le calcul, la comparaison.

Les nombres et les calculs font partie de nos connaissances culturelles de base contemporaines. En a-t-on conscience quand on a tendance à associer culture et domaine littéraire ou artistique et à les opposer aux sciences ? L'origine de cette opposition est à chercher en partie dans le mode d'enseignement des sciences, où l'on transmet des vérités, coupées de leur histoire et de leur mode de création. Les mathématiques, par exemple, ne semblent pas oeuvre humaine, elles apparaissent tombées du ciel, achevées et parfaites, comme existant de toute éternité. Et pourtant elles sont aussi oeuvre des générations et des civilisations successives, elles ont connu elles aussi des évolutions, des impasses, des progrès et des controverses.

 

Recherches actuelles

Des chercheurs et des enseignants du monde entier travaillent sur l'histoire des sciences et des mathématiques. Un de leurs objectifs est de permettre une évolution de l'enseignement des mathématiques et un changement de leur rapport avec la culture de nos sociétés. Pour cela, il faut permettre l'accès du plus grand nombre à cette histoire. Les chercheurs en mathématiques insistent aujourd'hui beaucoup plus sur la créativité en mathématiques que sur la rigueur formelle, ils voient dans leur science une possibilité de développer l'imagination des élèves et appellent à une évolution dans ce sens de l'enseignement. C'est un des buts de mon travail qui ne part pas de mathématiques savantes, mais des seules connaissances qui font partie du bagage de chacun: les nombres, les entiers, les fractions, les rationnels, les irrationnels, les négatifs et les positifs...Quand, comment les nombres que nous utilisons sont-ils apparus dans l'histoire ? dans quelle civilisation ?

 

Compter, mesurer

À tous les niveaux de notre enseignement, on peut développer des activités mathématiques riches et signifiantes du point de vue scientifique qui situent les mathématiques de chaque époque dans leur contexte culturel. Le domaine des nombres est sans doute le plus immédiat car les questions sont très faciles à formuler. En effet, il est possible de suivre pour chaque civilisation les savoirs considérés comme savoirs de base de l'enseignement, c'est-à-dire savoir lire, savoir écrire, savoir compter. Curieusement, en France, dans les programmes d'histoire du collège, les nombres, leur représentation et leur utilisation ne semblent pas faire partie du contexte culturel de l'époque … Les programmes actuels se limitent au « lire, écrire ».

Avec les nombres, on remonte à l'aube de l'humanité. Les hommes ont parlé avant d'écrire, ont compté avant de transcrire leurs calculs. Les linguistes nous le montrent, les systèmes de nombres, comme ceux de parenté, présentent une si grande stabilité qu'ils ont été utilisés pour comparer les langues entre elles. Le comptage a connu des paliers difficiles à franchir : passer de « un, deux, beaucoup », au comptage jusqu'à dix, compter au delà des nombres courants et franchir le cap du millier par exemple.

L'écriture marque le passage de la préhistoire à l'histoire et des mathématiques figurent dans les plus anciens documents écrits: les premières traces d'écriture à Sumer sont associées à des tablettes de comptabilité. Sur ces mêmes tablettes d'argiles, on suit la naissance et l'évolution des premiers signes écrits, le passage d'une pictographie à une véritable écriture, la naissance et l'évolution d'un système numérique.

 

Notre mode d'exposition des mathématiques

On peut retracer la naissance des mathématiques dans les civilisations sumérienne, égyptienne, grecque et arabe en se limitant aux civilisations dont nous sommes les héritiers et présenter des mathématiques dont le mode d'exposition était très différent du nôtre, ce qui n'empêchait pas de résoudre des problèmes intéressants et difficiles, ainsi que le montrent les mathématiques indienne, chinoise et japonaise jusqu'à ce siècle.

Notre modèle d'exposition des mathématiques est né en Grèce. Les discussions publiques des citoyens sur les affaires de leur cité ont introduit une habitude d'argumentation. À la suite des réflexions de philosophes comme Platon et Aristote les mathématiciens ont introduit en mathématiques la présentation déductive, où, à partir de quelques propositions de base admises comme prémisses, toute proposition doit faire l'objet d'une démonstration. Ce type d'exposition, les mathématiciens le savent tous, ne correspond pas à la façon dont les propriétés ont été découvertes, mais est une reconstruction a posteriori pour prouver la justesse de ces propositions. Ce mode d'exposition a l'énorme inconvénient de masquer le processus de création des mathématiques.

 

Évolution du concept de nombre

 

Qu'est-ce-qu'un nombre? Je cherche à répondre à cette question pour chacune des civilisations antiques ou médiévales qui a directement influencé la nôtre, puis à donner un éclairage historique à chaque sorte de nombres qui, à l'heure actuelle fait partie de la culture commune.

 

Les nombres négatifs sont aujourd'hui d'usage courant ; il n'y a qu'à écouter les bulletins météo les jours de grands froids pour s'en convaincre. Pourtant, ils ne furent acceptés qu'après une période de plusieurs siècles de controverses entre mathématiciens. C'est le développement des calculs algébriques qui a conduit à l'introduction des nombres négatifs et des imaginaires. Tour de force des mathématiciens : ils introduisent des nombres qu'ils qualifièrent eux-mêmes d'impossibles ou d'imaginaires, et les utilisèrent comme de purs symboles dénués de sens, mais qui leur permettaient d'obtenir des résultats intéressants !

 

Les nombres entiers furent les premiers utilisés et pensés en arithmétique. Qu'avons nous donc à apprendre à leur sujet ? Tout n'a-t-il pas été déjà dit ? En proposant une incursion guidée par Gauss en arithmétique pour découvrir des propriétés mathématiques des développements décimaux illimités de rationnels, on découvre des propriétés qui sont au coeur des problèmes de codage en informatique. Ainsi se vérifie une des propriétés étonnantes des mathématiques: les calculs fait par Gauss au début du dix-neuvième siècle avec de toutes autres préoccupations fournissent presque deux siècles plus tard un outil performant pour les informaticiens.

 

Qu'est-ce-qu'un irrationnel?  Est-ce-un nombre ? Pourquoi ce nom ? Les mathématiciens ont le don de détourner des mots familiers pour qualifier des objets mathématiques. Ce problème de l'irrationalité a été un thème majeur de réflexion dans la pensée grecque. Les réponses que les mathématiciens grecs ont apportées dans les Éléments d'Euclide ont conditionné le développement des mathématiques pour plus de deux mille ans. Sur cette question, « les irrationnels sont-ils des nombres ? », les citations montrant les oppositions et controverses entre mathématiciens au dix-septième et dix-huitième siècles donnent une autre image des mathématiques.

 

Les nombres réels.

De tout temps, les mathématiciens ont été confrontés au problème de l'infini. Son usage en mathématiques, avec le développement de l'analyse, est d'abord un fait qui enrichit la mathématique et les sciences d'une moisson de résultats. Les mathématiciens n'éprouveront le besoin d'introduire un ordre d'exposition rigoureux qu'au siècle dernier. Cette étude montre l'influence du développement de l'analyse sur l'élaboration du concept de nombre réel et présente la naissance des ensembles à la fin du siècle dernier avec les travaux de Cantor qui marquent la ré-introduction de l'infini en mathématiques. En donnant la parole aux mathématiciens eux-mêmes, avec des citations assez longues qui expliciteront leur conception des nombres, on peut convaincre chaque lecteur que les incompréhensions et les réticences éventuelles qu'il a pu avoir s'expliquent en voyant les difficultés des mathématiciens eux-mêmes.

 

L'infini, le discret et le continu

Au terme de ce voyage dans le temps, on retrouve les questions mêmes que s'étaient posées les grecs du rapport entre le discret et le continu. De même, l'usage de l'infini, avec l'analyse non standard qui trouve une justification logique pour les infiniments petits et les infiniments grands, évacués des mathématiques au siècle dernier, est toujours objet de réflexion. Mais entre temps, les mathématiques ont fait preuve d'une fantastique efficacité, en permettant le développement de la physique, de l'informatique, en leur apportant les outils abstraits dont elles avaient besoin. Contrairement à des affirmations simplistes, ce sont justement les développements les plus abstraits et qui semblent les plus gratuits, faits comme dit Dieudonné « Pour l'honneur de l'esprit humain » qui trouvent à s'investir dans les autres domaines physique et informatique.

 

Sens de notre enseignement

Quel sens a réellement notre enseignement et la formation qu'on donne aux étudiants ? Notre enseignement va toujours dans le sens d'une spécialisation croissante et de l'acquisition d'une grande technicité. Les étudiants acquièrent des savoirs parcellaires qu'ils ne savent pas toujours exploiter en dehors du contexte où ils les ont vus, ni relier ensemble en des conceptions plus globales.

Les mathématiques sont difficiles. On peut bien sûr, en découpant les difficultés et en entraînant efficacement les élèves ou les étudiants, leur faire acquérir des capacités techniques et algorithmiques. Mais cela suffit-il pour transmettre le sens de la démarche scientifique ? Pour retrouver du sens dans l'enseignement, il nous faut construire des cohérences globales et oser répondre à la question si souvent sans réponse dans l'enseignement : « Pourquoi fait-on ça ? » autrement que par : « C'est utile pour la suite de vos études ». Cela demande pour les enseignants un très gros travail de recherche car la réponse à une telle question n'est ni simple, ni unique; c'est plutôt une ouverture sur des points de vue multiples et complexes.

Il ne s'agit pas de donner une forme historique à l'enseignement, mais de faire prendre conscience que les mathématiques ont une histoire, qu'elles ne sont pas tombées du ciel et qu'elles sont des réponses à des problèmes fondamentaux que les peuples se sont posés et transmis de générations en générations et de peuples en peuples. En mathématiques, un thème unificateur paraît fondamental. Il s'agit du développement en parallèle de la construction des nombres et de la problématique de la mesure des grandeurs qui sont toutes les deux implicites actuellement dans l'enseignement.

 

Mathématiques et culture

 

Il n'est que d'entendre les discours tenus à l'heure actuelle sur le rôle des mathématiques pour être convaincu que les mathématiciens doivent s'efforcer de faire comprendre à un public large les thèmes et les problématiques qui nourrissent leur science.

Echec des « maths modernes » : Cela avait été l'une des ambitions des promoteurs des mathématiques modernes dont l'échec a été retentissant, car cette réforme était fondée sur l'illusion que l'accès aux grandes structures dégagées au terme de siècles de travail était une voie royale pour l'accès aux mathématiques. L'image ainsi donnée des mathématiques était celle d'une discipline fondée sur la rigueur d'un exposé axiomatique.

Suite à cet échec, les mathématiciens ont beaucoup travaillé, en particulier sur l'histoire et l'épistémologie de leur discipline. Aujourd'hui les chercheurs en mathématiques mettent l'accent sur la créativité et sur la fécondité des thèmes de rencontre entre domaines différents, internes ou externes aux mathématiques. Par exemple, les moyens de calcul actuels mettent à la disposition des mathématiciens des possibilités d'expérimentation et de conjectures qui rejaillissent sur la recherche dès maintenant.

 

Dangers de l'enseignement actuel

Comme on le voit dans des pays totalitaires ou dans les courants intégristes divers, on peut parfaitement récupérer un usage purement technique de la science. Nul scientifique ne peut se désintéresser du fait suivant: c'est dans les écoles de médecine ou d'ingénieurs, dans les universités scientifiques, que l'intégrisme se développe aujourd'hui. Chacun doit s'interroger sur ce qui, dans cet enseignement scientifique, permet cette récupération. Certainement le dogmatisme et la parcellisation des savoirs. La grande spécialisation a permis d'immenses progrès dans les domaines scientifiques, mais elle a d'énormes inconvénients qui sont clairs à l'heure actuelle. Il est de la responsabilité éthique et démocratique de chacun de réfléchir et de s'attaquer à ce problème comme tout citoyen d'une société démocratique doit le faire.

 

Pour un nouvel humanisme

Souvent l'enseignement des mathématiques a laissé de mauvais souvenirs, en particulier auprès de personnes ayant eu un cursus plutôt littéraire. Il faut développer, en particulier dans l'enseignement, des rencontres avec l'histoire, la philosophie, le français, les sciences de la vie et la physique, sans parler de l'informatique. Les humanistes de la Renaissance n'étaient pas des spécialistes, ils osaient s'attaquer à tous les domaines de savoir de leur époque. La séparation entre mathématiques et physique est très tardive et date seulement de la fin du siècle dernier. On doit s'efforcer de s'adresser aux profanes en mathématiques, car les mathématiques font partie de la culture de notre époque, elles influencent et sont influencées par les différents courants de pensée. C'est le sens que je donne à mon travail personnel en histoire des mathématiques.

 

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Published by Eliane Cousquer - dans histoire des mathématiques
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commentaires

visit 06/06/2014 14:29

That evolution of number concept was a very interesting topic. What about the real, imaginary and the complex numbers? Is there such a concept really exist. You have prepared this article very well that you didn’t forget to mention about the dangers of current education which is very true.

clovis simard 12/05/2012 21:32

voir mon blog(fermaton.over-blog.com)No.30- THÉORÈME QUINTESSENCE

clovis simard 17/08/2011 13:16


Voir mon blog(fermaton.over-blog.com)Page-4
THÉORÈMES DE L'ESPRIT ET AMOUR DIVIN