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1 mai 2000 1 01 /05 /mai /2000 00:00

E. Cousquer : "La quantité", 4 pages, dans Les Cahiers de Science et Vie "Les nombres" Hors-Série, mai 2000.

 

Introduction :

Une quantité - un nombre : entre ces deux termes, le lien semble évident, naturel. Alors pourquoi les mathématiciens ont-ils abandonné la quantité et ne parlent-ils plus que de nombres ? Peut-être parce que sous une apparente simplicité, ces concepts cachent des difficultés insoupçonnées…

Le sens de ce mot quantité est évident pour tout locuteur francophone et évoque immédiatement l'idée de compter, de mesurer. Pour le mathématicien, ces opérations renvoient au mot nombre et le mot quantité ne fait pas à proprement parler, partie de son vocabulaire, à l'exception de quantité de mouvement en mécanique. Il n'en a pas toujours été ainsi : le terme quantitéi est très présent au dix-neuvième siècle dans les expressions  "quantité discrète", "quantité continue", "quantité négative", "quantité imaginaire"1, "quantité infinitésimale", "quantité infiniment grande", au point qu'Auguste Comte l'utilise dans sa définition de l'esprit mathématique.ii Pourquoi ce terme a-t-il aujourd'hui disparu du vocabulaire scientifique ?

Définition du Littré

Quantité : se dit de tout ce qui peut être mesuré et dénombré, de tout ce qui est susceptible d'accroissement ou de diminution […] Quantité discrète, celle dont les parties ne sont pas liées, comme les nombres ; et quantité continue, celle dont les parties sont liées, comme le temps et le mouvement, dont la quantité continue est successive, ou comme l'étendue, dont la quantité est permanente.



S'intéresser à la notion de quantité, c'est d'abord s'intéresser à la pratique du comptage, aussi bien à l'oral qu'à l'écrit. Le système de nombres s'est élaboré au cours de millénaires d'évolution. La pratique de la mesure a conduit à l'usage de fractionnement des unités, et aux calculs sur ces parties, parts ou fractions avec des réponses très diverses suivant les civilisations. Les mathématiques furent d'abord cela, déterminer des quantités avec des techniques de calcul élaborées pour répondre aux besoins sociaux de l'arpentage, du calcul d'impôts, des héritages.... Sans retracer cette histoire, on se contentera d'en montrer les traces dans les nombres en usage aujourd'hui.

Les mathématiciens grecs, avec leur exigence démonstrative, ont mis au jour l'insuffisance des nombres entiers ou des couples d'entiers pour les mesures exactes en géométrie. Ils ont alors inventé la notion de rapport géométrique et introduit de fait une scission, le comptage relevant du numérique et la mesure de la géométrie. Les développements de calculs unifiés sur toutes les quantités, qu'elles soient numériques ou géométriques, connues ou inconnues fait surgir en algèbre de nouvelles quantités, négatives, imaginaires. Le statut de toutes ces quantités ne sera vraiment éclairci qu'au cours du dix-neuvième siècle et elles seront toutes alors intégrées dans le champ numérique. Le calcul infinitésimal, avec l'usage de quantités infiniment petites ou grandes au statut obscur, permet un grand développement des mathématiques et de la physique : l'élucidation des bases de l'analyse conduira à l'évacuation des infinitésimaux.

L'objectif de cet article est d'étudier comment, entre la période de l'invention et celle de la clarification de ces entités, pendant plusieurs siècles, les mathématiciens ont utilisé le mot de quantité. Cela permet de donner de la mathématique une autre image, bien éloignée de celle de science rigoureuse ayant existé de toute éternité.

Le comptage : un héritage très lointain

Le comptage est un procès symbolique propre à l'espèce humaine. L'invention des nombres a été un processus très long qui a rencontré des obstacles, des paliers, tels que le franchissement du deux, du trois, du dix, du cent, du mille, dont on peut retrouver des traces dans les langues. Les linguistes peuvent montrer que les peuples qui parlaient la langue mère proto indo-européenne, n'avaient probablement pas atteint le millier dans le processus de comptage : en effet, les mots qui désignent dix et cent dans les langues indo-européennes peuvent être rattachés à une même origine, mais pas ceux qui désignent mille.

Il est facile de donner d'autres exemples de ces persistances très anciennes dans les langues. Toutes les langues romanes ont hérité du latin des noms particuliers, onze, douze … qui sont donnés là où la logique de l'usage de la base dix voudrait qu'on dise dix et un, dix et deux …. En France, à l'oral, des irrégularités dans le comptage avec soixante-dix, quatre-vingt et quatre-vingt-dix montrent des restes de l'usage d'une base vingt, alors qu'elles n'existent ni en Belgique, ni en Suisse où l'on dit septante, octante et nonante. Parmi les peuples indo-européens, seuls les celtes ont utilisé la base vingt. Cet usage partiel en France de la base vingt est probablement dû aux invasions normandes aux alentours du premier millénaire, période de quelques siècles pendant laquelle se différentient nettement les différentes langues vernaculaires issues du latin, car c'est depuis qu'on trouve des traces d'usages de la base vingt.

L'écriture des nombres

Les dénombrements par entailles sur des os ou des bâtons précèdent les premiers vestiges d'écriture et les nombres figurent parmi les premières traces d'écriture à Sumer et en Égypte. La plupart des civilisations antiques (sauf la civilisation babylonienne) ont utilisé des systèmes à base dix non positionnels, qui nécessitaient l'invention d'un symbole pour chaque puissance de dix. L'usage de la base dix est certainement dû aux dix doigts de la main.
Le système d'écriture des nombres en usage dans le monde entier2 est un système positionnel à base 10 ; il utilise des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, dont le sens dépend de la place à l'intérieur du nombre écrit3 Ce système fut inventé en Inde au cinquième siècle et adopté par les arabes ; ceux-ci l'étendirent aux fractions décimales (dixièmes, centièmes…), qui furent plusieurs fois inventées et oubliées par les mathématiciens arabes (Al Uqlidisi, 952, Al Samawal, 1172, Al Kasi 1427) ; La Disme de Stevin en 1585 marque la redécouverte des décimaux en Europe.

 

Stevin, Traité des grandeurs incommensurables, 1585

Thèse 1 : que l'unité est nombre,

Thèse 2 : que nombres quelconques peuvent être nombres carrés, cubiques, de quatre quantités, etc.,

Thèse 3 : qu'une racine quelconque est nombre,

Thèse 4 : qu'il n'y a aucun nombre absurde, irrationnel, irrégulier, inexplicable ou sourd.

L'écriture actuelle des entiers et son extension aux nombres  décimaux ont donc été un processus très long et difficile. Le système international actuel  est l'héritier de plusieurs millénaires d'évolution et de multiples civilisations.
L' usage actuel des soixantièmes avec les minutes et secondes dans la mesure des temps ou des angles, est un héritage d'un passé plus lointain, de la civilisation mésopotamienne, qui, il y a plus de 4000 ans, inventa un système positionnel à base soixante étendu aux fractions. Le système des fractions babyloniennes4 permettait d'écrire des nombres aussi grands et des nombres aussi petits qu'on voulait. Adopté et transposé dans leur écriture par les astronomes grecs puis indiens et arabes, ce système a permis la constitution de tables astronomiques et trigonométriques et est ainsi partiellement parvenu jusqu'à nous.

Cela montre la complexité de cette question de la quantité en tant que processus de comptage et de mesure.

La quantité chez les mathématiciens

L'usage du mot quantité dans les écrits mathématiques, est significatif en histoire. Son apparition dans les définitions sera un symptôme de difficultés conceptuelles.
Dans la mathématique grecque, chez les pythagoriciens, une crise s'est ouverte avec la découverte de l'impossibilité de trouver une mesure commune à la diagonale et au coté du carré qui permette de les exprimer toutes les deux par des entiers, (crise désignée parfois comme la découverte des irrationnels). Comment alors exprimer les rapports de grandeurs (appelés aussi raisons)? C'est la théorie élaborée par Eudoxe et exposée dans le livre 5 des Éléments d'Euclide qui l'a permis. Euclide définit une raison (ou rapport) comme "une certaine manière d'être de deux grandeurs homogènes entre elles, suivant la quantité"5, puis donne de l'égalité et de la comparaison des rapports une définition  rigoureuse et opérationnelle. On ne calcule pas avec ces rapports à l'exception de quelques opérations (pour nous, le carré, le cube et le produit) qui apparaissent en référence à la géométrie. Ces rapports ne font pas partie du champ numérique qui pour Euclide est constitué des entiers, sauf l'unité, (les multiplicités) et qui, chez Archimède et ses successeurs, s'enrichit des fractions. Déjà, Archimède encadre les rapports géométriques tels que celui (de l'aire) du cercle au carré de son rayon par des fractions.

Quantités discrètes, quantités continues

Cette théorie d'Eudoxe - Euclide va être à la fois l'outil mathématique pour traiter la mesure des grandeurs dans un cadre géométrique et l'objet d'interrogations des mathématiciens arabes puis européens ; ils apprennent à calculer avec ces rapports qui, comme le montre Oresme7 (1320 1382), se comportent comme des nombres. L'usage des irrationnels et leur approximation par des décimaux ou des fractions continues se développent.
Toutefois, le statut des rapports, nombre ou pas, n'est pas clair. Les oppositions sont vives comme en témoigne la dispute entre Stévin pour qui tout rapport est nombreiii et Arnauld et Nicole qui rétorquent que nombre est quantité discrète...

 

Arnaud et Nicole : La logique ou l'art de penser, 1662, (chapitre 5) Le même Stevin est plein de semblables disputes sur les définitions des mots comme quand il s'échauffe pour prouver que le nombre n'est point une quantité discrète ; que la proportion des nombres est toujours arithmétique et non géométrique ; que toute racine, de quelque nombre que ce soit, est un nombre. Ce qui fait voir qu'il n'a point compris proprement ce qu'était une définition de mot et qu'il a pris les définitions des mots, qui ne peuvent être contestées, pour les définitions des choses que l'on peut souvent contester avec raison.

 

La solution ne vient pas d'une définition car comme Pascal l'affirme nettement, dans De l'esprit géométrique, en mathématiques, on ne peut pas tout définir et on part de termes primitifs qui sont évidents par eux-mêmes. Nombre est un de ces termes primitifs pour Pascal dont la définition est inutile car évidente. On partage sa conviction jusqu'au moment où on lit dans son texte :" Le zéro n'est pas du même genre que les nombres, parce qu'étant multiplié, il ne peut les surpasser". Les mathématiciens ne sont pas d'accord sur ce qu'est un nombre.

 

Newton L'arithmétique universelle,1707 :

On entend par nombre, moins une collection de plusieurs unités, qu'un rapport abstrait d'une quantité quelconque à une autre de même espèce, qu'on regarde comme l'unité. Le nombre est de trois espèces, l'entier, le fractionnaire et le sourd. L'entier est mesuré par l'unité ; le fractionnaire par un sous-multiple de l'unité ; le sourd est incommensurable avec l'unité.

Le premier débat porte donc sur la nature de ce que nous désignons aujourd'hui par nombre irrationnel et qui est apparu en mathématiques comme rapport géométrique. Est-ce que ce sont des nombres ? L'usage des expressions quantité discrète, quantité continue, comme termes primitifs, permet d'éluder ce débat entre les tenants du rapport numérique ou rapport géométrique. Jusqu'au dix neuvième siècle, les rapports sont utilisés et pensés indépendamment de la géométrie, sans fondement autre que l'évidence des calculs. Certains auteurs désignent ce développement comme le mouvement de numérisation des raisons.

 

Diderot L'encyclopédie

Les nombres commensurables sont proprement les seuls et vrais nombres. […] √2 n'est point un nombre proprement dit, c'est une quantité qui n'existe point, et qu'il est impossible de trouver. Les fractions même ne sont des nombres commensurables, que parce que ces fractions représentent proprement des entiers [en prenant les parts pour véritable unité].


Parallèlement, les mathématiques deviennent, comme l'écrit Galilée, le langage dans lequel est écrit la nature. Le développement de l'analyse crée de nouvelles quantités, infiniment grandes ou infiniment petites. Là encore, les mathématiciens vont développer une nouvelle branche de leur science en utilisant pour termes primitifs des notions obscures, mais en étant confortés par les résultats obtenus en physique dans tous les domaines, astronomie, mécanique … Ils vont avancer jusqu'au dix - neuvième siècle sans trop se préoccuper de la justification des fondements de l'analyse. Cauchy, dans ses cours à l'École polytechnique, présente un exposé de l'analyse avec une tentative de clarification de ses bases à l'aide des limites.

Quantités négatives, quantités imaginaires


La détermination des quantités, discrètes ou continues est le résultat de calculs. L'algèbre inventée par les arabes et développée en Europe à partir du seizième siècle, traite les quantités connues ou inconnues, nombres ou grandeurs, de la même façon. Il s'agit de poser une équation, c'est - à - dire une égalité entre deux expressions et de s'en servir pour déterminer les inconnues en fonction des quantités connues. Dans le développement de l'algèbre, sont apparues les quantités négatives8 et, lors de la résolution de l'équation du troisième degré, des quantités que l'on a désignées comme impossibles, imaginaires ou complexesvii. À ces nouvelles quantités, on applique toutes les règles de calcul connues sur les nombres. Utilisées comme intermédiaires dans les calculs, elles permettent d'obtenir des résultats, qu'on peut vérifier autrement. Toutefois, leur introduction a posé de nombreux problèmes.

 

Euler Algèbre 1770

Parce que tous les nombres possibles qu'on peut s'imaginer sont ou plus grands ou plus petits ou égaux à zéro, il est évident que les racines des nombres négatifs ne peuvent être comptées aux nombres possibles. Alors nous sommes obligés de dire qu'elles sont des nombres impossibles. Ainsi nous sommes venus au terme de tels nombres, qui sont impossibles par leur propre nature et qu'on a l'habitude d'appeler nombres imaginaires parce qu'ils n'existent que dans l'imagination.

Pour les négatifs, ont posé problème l'existence de quantité négatives isolées (quantité moindre que rien), la justification de la règle des signes, l'usage du modèle des biens et des dettes et la relation d'ordre sur les négatifs. L'usage des imaginaires, utilisés comme des fictions dans les calculs, à condition de ne pas apparaître dans les résultats, a introduit des contradictions en mathématiques lorsqu'on a voulu leur étendre les logarithmes. L'histoire des négatifs et des imaginaires a donné donc lieu à de violentes controverses. Leur usage n'a été légitimé qu'au début du dix neuvième siècle avec la découverte de la représentation géométrique des nombres complexes.

Les mathématiques, science de la quantité ?

Cauchy, en 1821, dans son Cours d'analyse, tente de clarifier les bases des mathématiques ; il commence par faire une distinction entre nombre (positif) et quantité (de signe quelconque) celle-ci étant considérée comme accroissement ou diminution9. Les premières lignes de son livre définissent les quantités variables, les quantités constantes, les limites des quantités variables, les quantités infiniment petites ou infiniment grandes, les quantités fonctions d'autres quantités…
Pendant tout le dix neuvième siècle, les questions de fondements sont l'objet de travaux, avec au début du siècle la justification des nombres négatifs et des nombres complexes par leur représentation géométrique inventée de façon indépendante par Argand, Warren, Buée etc. Nul besoin de parler de quantités négatives ou imaginaires désormais. Comme l'écrit Houèl dans sa préface au traité d'Argand10 : On finit par s'apercevoir que l'impossibilité des quantités négatives n'est qu'apparente, en général, et qu'elle tient à ce que l'on a voulu introduire une généralisation de l'idée de quantité, sans modifier en même temps les définitions des opérations analytiques qui s'y rapportent.

Mais cette justification des nombres négatifs et des nombres complexes par leur représentation géométrique intervient au moment où sont découvertes les géométries non euclidiennes. L'édifice mathématique ne peut plus être fondé sur la géométrie qui devient une science appliquée mais sur les propriétés des nombres. Vers 1870, plusieurs auteurs, principalement Dedekind et Cantor pour donner un fondement rigoureux à l'analyse, construisent les nombres réels à partir des nombres rationnels. Peano construit les rationnels à partir des entiers. Les négatifs et les nombres complexes sont aussi au cours de ce siècle, justifiés de façon algébrique, comme des couples de réels, munis de certaines lois étendant celles sur les nombres réels. Toute la science mathématique est construite sur les nombres. Plus besoin de parler de quantités irrationnelles : toutes les quantités sont des nombres.

Exit la quantité

Comte définissant les mathématiques comme science de la détermination des quantités dans son traité Cours de philosophie positive clôt une époque. Ce terme de quantité va disparaître du vocabulaire des mathématiciens car les difficultés qui avaient conduit à l'utiliser sont résolues.

 

Comte 3ième livre p 77

Il n'y a pas de question quelconque qui ne puisse finalement être conçue comme consistant à déterminer des quantités les unes par rapport aux autres, d'après certaines relations, et par conséquent, comme réductible en dernière analyse, à une simple question de nombres.


S'ouvre alors une autre période où les mathématiciens mettent l'accent sur les fondements, les axiomes et les structures. Le traité de Bourbaki ira jusqu'à affirmer de façon provocatrice que les mots point, droite et plan peuvent être remplacés par table, chaise et verre. Cette image mettant en avant l'aspect structural des mathématiques et la rigueur de l'exposé à partir des axiomes est aujourd'hui dépassée. Les chercheurs en mathématiques mettent à présent l'accent sur les mathématiques comme science créative, où s'expriment les capacités d'imagination et d'invention. L'histoire du mot quantité donne cette vision des mathématiques
 

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Published by Eliane Cousquer - dans langue et mathématiques
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