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1 janvier 1996 1 01 /01 /janvier /1996 00:00

Cette vidéo est maintenant disponible en téléchargement sur i-tunes en format mp4 bouton itunes

Cet article de Tom Apostol décrit la vidéo Sinus et Cosinus 3 et les problèmes rencontrés lors de sa création. Il détaille les techniques de visualisation et les choix faits.

Sinus et longueurs de cordes.

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astronomie antique

sin114

tablette babylonien

Les origines de la trigonométrie remontent à l'astronomie antique. Les premiers astronomes s’intéressaient aux cordes de cercles parce qu'ils pensaient que les planètes se déplaçaient sur des orbites circulaires. Autour 150 avant notre ère, le mathématicien grec Hipparque de Rhodes, souvent appelé le père de la trigonométrie, écrivit un traité sur les cordes de cercles. Ce travail est maintenant perdu, mais beaucoup de ses idées ont survécu dans l’Almageste de Ptolémée écrit quelques trois cent ans plus tard à Alexandrie. La vidéo montre des images des documents historiques sur ce thème : une tablette d'argile babylonienne contenant une liste de cordes des cercles ; pour l'Almageste, la page titre et une page qui contient une table des cordes des cercles. Dans la terminologie moderne, ce serait équivalent à une table des sinus. 

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angle au centre

sin307

sinus et corde

  Le programme explore la relation entre les sinus et les longueurs de corde. Il commence par un cercle et montre un angle au centre constitué par deux rayons issus du centre. Cet angle découpe un arc dont la longueur dépend de la taille de l'angle. Le même arc est découpé par un angle inscrit dont le sommet est sur le cercle. L'animation montre pourquoi la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit qui découpe le même arc. Beaucoup de conséquences intéressantes découlent de cette relation. La vidéo montre un angle au centre et un angle inscrit découpant le même arc. L'angle au centre est maintenu fixe et le sommet de l'angle inscrit est déplacé en différentes positions le long du cercle. Peu importe où se trouve le sommet sur le cercle, la mesure de l'angle inscrit est toujours égale à la moitié de l'angle au centre.

sin310

tracer un cercle

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cercle et équerre

 En d'autres termes, tous les angles inscrits sur un cercle et découpant le même arc (et par conséquent la même corde) doivent être égaux en mesure. L'animation rend ces propriétés faciles à comprendre. En particulier, si l'angle au centre est un angle droit la corde découpée est un diamètre, ainsi tout angle inscrit découpant un diamètre est un angle droit. Ceci prouve que n'importe quel triangle inscrit dans un demi-cercle, avec un côté le long d'un diamètre, est un triangle rectangle avec le diamètre comme hypoténuse.

Ceci mène à une preuve alternative de la loi des sinus. Un triangle avec trois angles aigus A, B, C est inscrit dans un cercle de diamètre d avec respectivement a, b, c pour longueurs côtés opposés. Le sommet A se déplace le long du cercle de sorte qu'il découpe toujours le même arc (et par conséquent la même corde) et la mesure de A ne change donc pas. Les sommets B et C sont maintenus fixes et le point A vient en A’ , point diamétralement opposé au sommet C. (c'est possible parce que A est aigu.) Le triangle ABC est un triangle rectangle avec un angle droit en B et l’hypoténuse le long du diamètre de longueur d. Les angles A et A' ont même mesure. Par conséquent , rapport du côté opposé à l’hypoténuse. Ceci est réécrit comme et l'argument est répété en échangeant les rôles de A, B et C pour montrer que chacun des rapports et est aussi égal à d. C’est la loi des sinus et on voit aussi que le rapport constant d’un côté et du sinus de l’angle opposé est le diamètre d du cercle passant par les trois sommets du triangle. En particulier, dans un cercle de diamètre unité la longueur de la corde découpée par un angle inscrit est égal au sinus de l'angle inscrit. En conséquence, le théorème de Ptolémée sur des cordes se traduit directement en théorème sur les sinus des angles inscrits. Un de ces théorèmes est la formule d'addition décrite dans la prochaine séquence.

Formule d'addition pour des sinus.

Ptolémée donne dans l’Almagest une formule pour calculer la longueur d'une corde découpée par la somme de deux angles. Dans la terminologie moderne, cette formule indique comment trouver le sinus de la somme de deux angles en termes des sinus et des cosinus des ces angles. La vidéo fournit des preuves animées simples en utilisant la propriété décrite dans la séquence antérieure : dans un cercle de diamètre unité, la longueur d'une corde est égale au sinus de l'angle inscrit sous-tendu.

Théorème de Ptolémée sur des quadrilatères.  

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quadrilatère inscrit

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quadrilatère inscrit et côtés

 

Une autre méthode est employée pour dériver la formule d'addition pour des sinus, ainsi que la formule d'addition pour des cosinus. Elle est basée sur un théorème remarquable de Ptolémée au sujet des quadrilatères qui peuvent être inscrits dans un cercle. Un quadrilatère ne peut pas toujours être inscrit dans un cercle, mais pour ceux qui le peuvent, Ptolémée a prouvé le théorème suivant: Pour tout quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des longueurs des diagonales égale la somme des produits des longueurs des côtés opposés. Soit en écriture symbolique, ef=ac+bd , où a, b, c, d sont les longueurs des côtés, et e, f les longueurs des diagonales du quadrilatère.

 

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triangles semblables

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démonstration


Une animation interprète le théorème de Ptolémée en termes d’aires de rectangles. Nous voyons comment ces aires varient pendant que les sommets se déplacent à différents endroits sur le cercle. Quand le quadrilatère est un rectangle, les côtés opposés sont égaux, les diagonales sont égales, et le théorème de Ptolémée donne le théorème de Pythagore pour des triangles rectangles. La vidéo fournit des preuves animées simples du théorème de Ptolémée basées sur des propriétés de triangles semblables. On applique alors le théorème de Ptolémée pour dériver la formule d'addition pour des sinus et la formule d'addition pour des cosinus.

Applications des formules d'addition.

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courbes

Une animation montre la signification géométrique des formules d'addition en termes de graphes des courbes sinus et cosinus. On voit pourquoi une combinaison linéaire d'une courbe sinus et d'une courbe cosinus est toujours une autre courbe sinus, probablement décalée.

Comme dans la vidéo Polynôme, les courbes se déforment pendant qu'une manivelle change les valeurs des coefficients. Des cas particuliers des formules d'addition sont également mis en valeur. Par exemple, quand A = B les formules d'addition deviennent les formules de duplication. Celles-ci sont aussi décrites géométriquement en termes de leurs graphes. D'autres cas particuliers pour A et B dans les formules d'addition mènent à de nouvelles dérivations de beaucoup de propriétés des sinus et des cosinus illustrées dans les programmes précédents.

Sinus et cosinus d’angles particuliers

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pentagone étoilé

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construire une table

Les formules d'addition peuvent être employées pour calculer le sinus et le cosinus de beaucoup d'angles particuliers. D'abord nous employons le théorème de Pythagore pour calculer le sinus et le cosinus de 30° et de 45°. Alors par les formules d'addition nous trouvons le sinus et le cosinus de la somme 75° et de la différence 15°. Le théorème de Ptolémée pour des quadrilatères est employé pour calculer le côté d'un pentagone inscrit dans un cercle. Ceci mène aux valeurs du sinus et du cosinus de 18°. Les formules d'addition donnent alors le sinus et le cosinus de 6°, 9°, et tous les multiples entiers de 3°. Toutes ces valeurs sont exprimables en termes de racines carrées de nombres entiers positifs.

Applications au mouvement harmonique simple.

La relation entre les formules d'addition et le mouvement harmonique simple est décrite ensuite. Quelques systèmes physiques vobratoires partagent une propriété commune: quand un corps est écarté d'une position d'équilibre, une force agit dans la direction opposée du mouvement tend à renvoyer le corps à sa position d’équilibre, mais l'inertie fait dépasser au corps sa position d'équilibre. Le corps commence à osciller. Ceci se produit quand une bille est déplacée au fond d'une cuvette, qu’un ressort avec une masse suspendue est étiré ou comprimé, ou qu’une corde de guitare est grattée. 

sin300

bille au fond d'un bol

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ressort

 Si la force de rappel est proportionnelle au déplacement, on montre que le déplacement f (t) en fonction du temps t a toujours la forme où a, b et k sont des constantes dépendant des contraintes physiques du système. Avec l'aide des formules d'addition, la combinaison des sinus et des cosinus peut toujours être écrite comme pour un certain choix de c et de dépendants de a et b mais pas de k. En d'autres termes, si on combine une onde sinus avec une onde cosinus de même fréquence, on obtient une onde sinus décalée de même fréquence. L'animation le montre sur un certain nombre d'exemples. Elle montre également comment les constantes c et a peuvent être déterminées en termes de a et b en regardant un triangle rectangle approprié. Si a et b sont positif, alors c est la longueur de l’hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés a et b, et est l'angle du triangle adjacent au côté a

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Published by Eliane Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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commentaires

Microsoft support now 13/06/2014 14:31

This is very well programmed to show the mathematical features and the animation shows why the measure of the central angle is twice that of the inscribed angle cutting the same arc. And it is illustrated very wonderfully using this programme.