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1 janvier 1990 1 01 /01 /janvier /1990 00:00

Cet article décrit les techniques de visualisation utilisées dans la vidéo Histoire de Pi. Cette vidéo est maintenant disponible en téléchargement en format mp4 sur bouton itunes

 

Qu'est-ce que le nombre Pi ?

pi1Alors que les interviews montrent qu'on ne peut pas apprendre la signification de pi en faisant un sondage, le narrateur explique « vous pouvez découvrir pour vous-même ce qu’est le nombre pi en mesurant la circonférence d'un cercle et en la divisant par son diamètre ». On voit à l’écran un étudiant qui mesure deux objets circulaires de tailles différentes. Les valeurs approximatives de la circonférence et du diamètre sont montrées dans chaque cas, et leur rapport est calculé, donnant deux valeurs légèrement différentes, chacune plus grande que 3.

Un rapport

pi2Le narrateur explique que le rapport est toujours identique, quelle que soit la taille du cercle utilisé. Ce rapport constant s'appelle Pi, première lettre dans le mot grec pour périmètre. Une danse du symbole sur l’écran est accompagnée ici d'un effet sonore qui sera employé à plusieurs reprises pour attirer l'attention sur Pi dans des scènes ultérieures. Les inégalités sur l'écran prouvent que Pi est situé quelque part entre 3 et 3,1. Une animation montre une règle graduée et une flèche marquée désigne un point entre 3 et 3,2. La séquence précédente sur la mesure de Pi a été prévue pour susciter une discussion entre professeurs et étudiants. Le professeur ou un étudiant avisé peut bien demander « comment se fait-il qu'elle obtienne des réponses légèrement différentes si le rapport de la circonférence au diamètre est censé être identique ? » C’est un moyen de discuter les difficultés pratiques pour faire des mesures précises d'objets réels.

Deux questions importantes

Pendant que la bande continue, le narrateur explique que le programme traite deux questions importantes.

  • Première question : Comment savons-nous que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles, petits ou grands ? Pendant qu'on pose la question, des images d’objets circulaires de la vie réelle sont montrées, avec des tailles variant de celle de petites pièces de monnaie à celle d’un soleil géant.
  • Deuxième question : Comment pouvons-nous déterminer la valeur numérique exacte de pi ? pi3Pendant qu'on pose cette question, une séquence animée montre, avec un zoom sur la règle, le développement décimal de pi, le faisant apparaître décimale après décimale.Le mouvement des décimales de pi a été mis en scène de façon que les nouveaux chiffres continuent à apparaître juste au-dessus de la flèche désignant un point fixe sur la droite numérique. Ceci permet à des étudiants de se concentrer juste sur cette partie de l'écran et de voir les nouvelles décimales de pi et la portion de la droite numérique d’où ils sont venus. Pendant que la scène disparaît progressivement, elle laisse l'impression que les décimales de pi continueront à se déployer indéfiniment. Beaucoup d’enseignants ont fait des commentaires favorables sur l'efficacité de ce morceau d'animation.

Quelques usages de pi

Depuis l'antiquité

pi4Le narrateur poursuit en disant que nous verrons également pourquoi les gens se sont intéressés au nombre pi de l’antiquité à nos jours. On voit des images d’une tablette d'argile babylonienne, d’un papyrus égyptien montrant des tracés circulaires liés aux premières tentatives d’évaluer la valeur de pi et également des coupures de presses extraites des « Science News » décrivant un calcul fait en 1989 d'un demi milliard de décimales de par les frères de Chudnovsky.

 

Aires et volumes d’objets circulaires

pi5La séquence suivante explique que pi intervient dans les formules d’aires et de volumes d'objets circulaires. Une animation informatique montre ces formules pour l’aire et la circonférence d'un disque circulaire et on voit comment les formules changent au moment où le disque est transformé en un cylindre plein, de même pour un cône circulaire et un tore. C’était à l'origine prévu pour être une série d'équations impliquant le nombre pi, mais cette séquence s’est bientôt développée en un mini cours de géométrie sur les aires et les volumes.

 

Comme les formes à deux dimensions se déplacent pour balayer des objets tridimensionnels, les équations pour les aires ou les volumes des solides engendrés changent selon des règles de Pappus. Par exemple, un disque circulaire est montré avec sa circonférence et son aire. Le disque se déplace d'une distance h pour balayer un cylindre plein dont on écrit le volume et l’aire latérale. Le cercle lui-même est dessiné en rouge et son intérieur en jaune. Quand le cylindre est formé, il a l'aspect d'un bloc cylindrique de fromage jaune enveloppé dans une peau rouge. De même, quand un disque semi-circulaire tourne pour balayer une sphère, la formule pour le volume est obtenue en multipliant l’aire du disque semi-circulaire par la longueur du chemin de son centre de gravité. Comme la forme balaye la sphère de 0 à 2 pi radians, le facteur correspondant dans la formule s’accroît d'un trait plat à l'expression « 2 pi». Les couleurs, extérieur jaune et intérieur rouge, sont choisies pour ressembler une pomme avec une peau rouge. Puisque beaucoup de choses sont montrées sur l'écran en même temps, nous attirons l'attention sur le symbole en le faisant exécuter sa danse avec bruitage. 

Orbites

Une vue de la terre montre le trajet d’un avion suivant un grand cercle de New York à Tokyo, tandis que le narrateur explique que pi apparaît dans la formule de calcul du temps de vol. L'animation a été chronométrée pour respecter la durée approximative du vol relativement à la rotation de la terre. Le mouvement du soleil comme source lumineuse est correct, mais pour faire ressortir la trajectoire, le côté dans la nuit est artificiellement plus lumineux que ne le serait le côté de nuit réel. Un autre morceau d'animation montre des planètes dans leurs orbites (elliptiques) presque circulaires autour du soleil, avec le nombre pi dansant dans la formule donnant le temps que met une planète pour faire une orbite autour du soleil.

pi6Courbe de Gauss

Après on montre que pi apparaît dans les situations qui n'ont rien à faire avec des cercles. On voit des boules tomber au hasard dans un appareil pour former un modèle semblable à une courbe gaussienne, et une animation montre que l’aire de la région sous une courbe gaussienne particulière est égal à la racine carrée de pi. C’est réalisé visuellement en faisant la région colorée sous la courbe se déverser comme un liquide dans une région rectangulaire de largeur 1 et de hauteur égale à l’aire.

 Histoire de pi

pi15Cette séquence historique décrit des premières tentatives pour estimer la valeur de pi, y compris l'évaluation babylonienne 3,125 l'évaluation égyptienne 3,16 et l'évaluation biblique 3. L'animation sur la droite numérique montre les positions relatives de ces évaluations. L'idée originale était de zoomer sur des approximations meilleures et meilleures car l'histoire a progressé, mais malheureusement les améliorations ne furent pas une fonction monotone du temps dans l’histoire. Puisque nous ne montrions pas un zoom continu dans la droite numérique, des étiquettes dans de petites boîtes ont été insérées suivant la droite pour indiquer ces valeurs aux marques correspondantes.
Une animation informatique explique ensuite que la similitude prouve que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles. Ce rapport est la constante fondamentale de nature que nous appelons pi.

Une découverte d’Archimède

Découpage en tranches radiales d’un disque circulaire

 pi7La séquence suivante explique que la similitude montre aussi que le rapport de l’aire d'un disque circulaire au carré de son rayon est une autre constante fondamentale, qui, comme Archimède a montré, est aussi égale à pi. Pour expliquer pourquoi, l’aire d'un disque circulaire est calculée en divisant le disque en un grand nombre de tranches radiales. Les tranches sont réarrangées pour former une nouvelle figure qui est presque un parallélogramme avec la même aire que le disque. À mesure que le nombre de tranches augmente, le dessin convainc le spectateur que le parallélogramme devient de plus en plus proche d’un rectangle, ainsi on voit l'aire du secteur du disque.

 

Découpage en anneaux concentriques

pi8Le même résultat est obtenu par une autre méthode. Cette fois le disque est divisé en anneaux concentriques équidistants. L'anneau externe est déroulé pour former une bande rectangulaire dont la base a presque la même longueur que la circonférence et dont l’aire est égale à celui de l'anneau externe. 

On fait de même avec tous les anneaux, et ils sont empilés dans une pile qui ressemble un peu à un triangle rectangle. La base du triangle est presque la circonférence du cercle, et sa hauteur est égale au rayon. À mesure que le nombre d'anneaux augmente, la pile de bandes rectangulaires ressemble de plus en plus à un triangle rectangle de base 2pi r et de hauteur r, de sorte que, une fois de plus, nous voyons pourquoi l’aire du disque circulaire est pi r2.

 Remarque

Nous considérons ces deux dernières animations comme une preuve concluante que des idées sophistiquées du calcul intégral peuvent être présentées très tôt dans l'éducation d'un enfant par l’usage imaginatif d'animations informatiques. Quand l'étudiant est initié à ces concepts à nouveau dans le contexte formel d'un cours d’analyse, les images contenues dans ces séquences montreront visuellement et nettement l'idée de limite d'un processus. 

Calculer pi

pi10La méthode d’Archimède

Le programme décrit alors la méthode d’Archimède pour estimer pi en comparant la circonférence d'un cercle d'unité avec les périmètres de polygones inscrits et circonscrits. Archimède a commencé par des hexagones réguliers et a obtenu des inégalités. Ceci est montré visuellement en déroulant la moitié de la circonférence d'un cercle et les portions correspondantes des hexagones inscrits et circonscrits. Une animation montre comment Archimède a continué à doubler le nombre de côtés jusqu'à ce qu'il ait atteint un polygone régulier de 96 côtés et ait obtenu une évaluation rationnelle 265/153 de correcte à deux décimales.

Des estimations plus tardives

pi12Des dessins de vieux manuscrits chinois sont montrés tandis que le narrateur explique que beaucoup de siècles plus tard les Chinois ont trouvé l'approximation rationnelle 355/113, qui donne six décimales de pi. Ce fut le record du monde pour plus de mille ans jusqu'à ce que l'utilisation des chiffres arabes ait fourni des manières plus efficaces de faire des calculs.. Le narrateur explique qu’avec le développement des connaissances sur les séries infinies et les fonctions trigonométriques, on a découvert des formules qui ont permis pour rapprocher pi sans figures géométriques. Certaines de ces formules sont montrées sur l'écran. Vers la fin du dix-neuvième siècle, ces formules ont été employées pour calculer des centaines de décimales. Au vingtième siècle, des ordinateurs à grande vitesse couplés à de nouvelles méthodes mathématiques ont permis de faire des calculs avec très longs des nombres L'écran montre un article de Science News décrivant un calcul par les frères de Chudnovsky. Le narrateur demande alors, pourquoi tant de soucis et de dépenses pour connecter des super-ordinateurs géants afin de calculer un milliard de décimales de pi ? Comme la photo montre plusieurs ordinateurs géants et leur structure interne, le narrateur explique que ces calculs sont utilisés pour tester l'architecture des super-ordinateurs. Calculer un million de décimales de donne à ces super-ordinateurs un entraînement et fournit une bonne mesure de l'efficacité globale de l'ordinateur. Le calcul sert également à vérifier la vitesse et l’exactitude des logiciels et des programmes.

Irrationalité de pi

Nous pouvons également en apprendre plus au sujet de pi lui-même. La version décimale de pi apparaît sur l'écran pendant que le narrateur explique que les gens se sont demandés pendant longtemps si pi était une fraction exacte (un nombre rationnel) comme 22/7. On précise que les nombres rationnels ont toujours un motif répété dans leur développement décimal. Pendant que les gens calculaient de plus en plus décimales pour pi, ils ont recherché un motif périodique, sans jamais en trouver aucun. Beaucoup de décimales de pi sont montrées sur l'écran avec un module de balayage recherchant sans succès une période. Un portrait de Johann Lambert apparaît pendant que le narrateur explique qu'au dix-huitième siècle Lambert a démontré que pi est irrationnel, ainsi, il n'existe pas de période. Pendant que la droite numérique apparaît une fois de plus montrant la relation de pi aux évaluations d'Archimède, le narrateur explique que les approximations rationnelles sont tout à fait utiles. Les évaluations d'Archimède sont plus près de que n'importe quelle autre fraction avec un dénominateur moins de 100, alors que l'évaluation chinoise est plus près de que n'importe quelle autre fraction avec un dénominateur moins de 16 000.

 

Autres usages de pi en Probabilités

Visibilité des points d’un réseau

pi13 Les deux séquences suivantes montrent deux exemples des problèmes de probabilités dans lesquels le nombre pi surgit inopinément.

Le premier exemple décrit la visibilité des points d’un réseau depuis l'origine. Une utilisation efficace d'une animation informatique indique la proportion des points du réseau dans le plan visibles depuis l'origine, avec la probabilité exacte qu'un point du réseau choisi au hasard sera vu depuis l'origine.

 

 

pi13Problème d'aiguille de Buffon

Le deuxième exemple est un cas spécial du problème de l'aiguille de Buffon, efficacement illustré avec une animation informatique. On voit un grand nombre d'aiguilles de même longueur tomber au hasard sur un ensemble de lignes parallèles équidistantes dont l'espacement est deux fois la longueur des aiguilles. Environ un tiers des aiguilles coupent une ligne de la grille. La probabilité exacte qu'une aiguille croise une ligne de la grille est liée à pi.

 

Récapitulation

Dans la séquence finale, les étudiants sont invités encore à dire ce qu'ils savent au sujet de pi et cette fois les réponses suggèrent qu'ils ont appris quelque chose en suivant le programme. Une brève récapitulation précise que les avancées dans le calcul de pi ont été des indicateurs de progrès significatifs dans l'histoire des mathématiques. Les gens continuent à calculer de plus en plus chiffres de parce que c'est un défi à l'esprit humain, comme de gravir le mont Everest ou voyager vers d’autres planètes. Une vue de la planète Neptune sert de fond tandis que le narrateur conclut avec la phrase disant que pi, comme les planètes extérieures, pi est dans le tissu de notre univers physique et sera toujours exploré.

 

 

 

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Published by E.Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
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