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21 janvier 1996 7 21 /01 /janvier /1996 00:00

Cet article présente la vidéo Histoire des mathématiques et les techniques de visualisation utilisées par Tom Apostol et son équipe. Cette vidéo est maintenant disponible en téléchargement sur i-tunes U bouton itunes

 

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Introduction.

hm2 Cette partie introductive donne une vue d'ensemble du programme.  Elle inclut une vue extraite du film l'univers mécanique montrant Galilée, un savant de la Renaissance à son bureau, en train d’écrire que le grand livre de la nature est exprimé en langue mathématique avec pour caractères d’écriture les triangles, les cercles et les autres figures géométriques.

 

hm3Des images des tablettes d'argile babyloniennes montrent que les plus anciens symboles mathématiques n'étaient pas des triangles et des cercles, mais des entailles sur ces tablettes d'argile ou des pictogrammes ciselés dans la pierre sur des temples Mayas.

 Avec le support d’images appropriées sur l'écran, le narrateur explique que les besoins de la mesure et du comptage ont suivi les caravanes et les bateaux des grands itinéraires du commerce. La mesure des terrains dont la géométrie tire son nom a répondu à l'évaluation des besoins en eau d'irrigation et au calcul d'impôts dans l’Egypte antique. Tout en construisant les grandes pyramides, les architectes égyptiens ont découvert des relations entre les carrés, les rectangles et les cercles. Dans l’Alexandrie antique, 2500 ans après, la géométrie et la trigonométrie ont été employés pour mesurer la taille de la terre, et la distance au soleil et à la lune. Une mosaïque antique représente des intellectuels grecs tels que Pythagore et ses disciples discutant de nombres et de figures géométriques en tant qu'abstractions pures. Le narrateur annonce que ce programme se concentre sur certains jalons dans l'histoire des débuts des mathématiques et qu'elles seront rendues vivantes par des animations informatiques et des photos de manuscrits et livres admirablement illustrés.  

D'Euclide au 17ème siècle.

Cette partie esquisse quelques points culminants dans l'histoire des débuts des mathématiques, de la parution des Eléments d'Euclide autour de 300 avant notre ère jusqu'à l’avènement du calcul infinitésimal au dix-septième siècle.  Il commence par une photo de la page d’introduction de la première édition imprimée (1482) des Eléments d'Euclide. Le narrateur explique que ce travail fut à l'origine écrit en grec sur des rouleaux de papyrus et qu’il a été traduit dans beaucoup de langues et qu’il est paru dans les éditions innombrables. Ce fut un accomplissement majeur qui a influencé la pensée scientifique pendant plus de deux mille années. Il a créé les bases pour la méthode déductive, prouvant que l'intelligence humaine peut découvrir des vérités mathématiques par la logique pure.

 

hm4En Extrême Orient, les Hindous, du septième au douzième siècle de notre ère, ont créé leurs propres symboles mathématiques, y compris les chiffres hindous-arabes que nous utilisons aujourd'hui. Dans les mains de mathématiciens comme Omar Khayyam une nouvelle langue de calcul a pris forme. Elle s'appelle maintenant l’algèbre, version latinisée de son nom arabe.

 

Les itinéraires du commerce musulmans ont apporté cette nouvelle langue à l'Europe où elle a remplacé le système maladroit des chiffres romains et se combina plus tard à la géométrie antique grecque pour produire la nouvelle géométrie analytique de Pierre Fermat et René Descartes. 

Les symboles numériques.

Au cours des siècles, les mathématiques ont été un miroir des civilisations. Depuis des entailles primitives enregistrant l’enchaînement des saisons, elles se changèrent graduellement en une nouvelle langue grâce à ceux qui, au dix-septième siècle, observèrent et théorisèrent le mouvement des planètes. La forme écrite de cette langue s’organisa par des mots et des symboles représentant les nombres. On verra l’évolution de ces symboles dans différentes cultures.  

De la numérologie à la théorie des nombres.

hm6La théorie de nombres est née vers 600 avant nore ère, quand Pythagore et ses disciples ont commencé à étudier les propriétés des nombres entiers.

Ils ont découvert que les tonalités musicales sont liées aux rapports des nombres entiers. Une corde moitié d’une autre, avec la même tension résonne un octave plus haut. Ils ont aussi cru que les corps célectes émettent un bruit basé sur leur taille, leur distance, leur densité et leur mouvement. 

 

hm7S'ils avaient pu découvrir les secrets liés aux rapports des nombres entiers, tout se serait uni en une grande harmonie qu’ils appelaient la musique des sphères.

Pour rechercher ces secrets, les Pythagoriciens ont classé les nombres entiers de diverses manières : pairs, impairs, premiers et composés. Ils se sont rendus compte que les nombres premiers sont les blocs de base de l'arithmétique, parce que chaque entier plus grand que l’unité est premier ou un produit de nombres premiers.

 

Les Grecs auraient été stupéfaits d'apprendre qu'au 20ème siècle les nombres premiers seraient utiles en cryptographie et dans le codage et le décodage des messages envoyés aux vaisseaux spatiaux visitant les planètes extérieures. Ils ont également introduit les nombres parfaits, ceux qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs plus petits qu’eux, et ils ont lié avec les nombres polygonaux, les nombres à des figures géométriques. Un lien plus profond avec la géométrie est venu du théorème de Pythagore, discuté dans la partie suivante. 

Le théorème de Pythagore.

pyt8Cette partie contient des extraits de la vidéo sur le théorème de Pythagore. On commence par établir le théorème de Pythagore et donner son interprétation en termes d’aires de carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle. Une preuve est donnée par une animtion, suggérée par une figure dans un manuscrit chinois. Suit une discussion des triplets Pythagoriciens avec une animation où une règle mobile est utilisée comme hypoténuse variable. Une tablette d'argile babylonienne écrite autour de 1700 avant notre ère, contient quinze exemples des triplets pythagoriciens. Une animation montre la preuve qui figure dans les Eléments d’Euclide et est suivie par une preuve par découpage dans laquelle le grand carré est divisé en cinq morceaux qui sont ensuite réarrangés pour remplir les deux autres carrés.

 

Cette partie fournit des preuves géométriques de l'irrationalité de la racine carrée de 2. L'idée fondamentale est très simple. D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côtés 1 est de longueur racine carrée de 2. Si la racine carrée de 2 était rationnelle, alors un certain multiple entier de la racine carrée de 2 serait un nombre entier. Par conséquent, le triangle rectangle isocèle avec des côtés de la longueur 1 peut être dilaté par les facteurs entiers, 2, 3, 4 ... jusqu'à arriver à un triangle rectangle plus petit avec chacun de ses trois côtés avec des nombres entiers pour longueur. Mais, à l'intérieur de ce triangle rectangle plus petit, on peut encore construire un triangle rectangle isocèle plus petit vérifiant la même propriété, qui est contradictoire. Par conséquent la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle.

Une découverte choquante.

La découverte de l’irrationalité de la racine carrée de 2 a choqué les Pythagoriciens parce qu'ils pensaient que tout dans l'univers, y compris des longueurs des segments de ligne, est liée aux rapports d’entiers. La légende dit que les Pythagoriciens ont essayé de garder le secret de cette découverte, et que le premier membre de leur secte qui l’a rendu publique a été jeté à la mer. Bien que les Pythagoriciens n’acceptaient pas de considérer la racine carrée de 2 comme un nombre, personne ne pouvait nier que c'était la diagonale d’un carré unité. Certains des problèmes logiques créés par la découverte pythagoricienne des nombres irrationnels ont été résolus par Eudoxe avec une théorie des proportions ingénieuse décrite au livre V des Eléments d'Euclide. Vingt deux siècles plus tard, David Hilbert a fait une réorganisation importante de la géométrie dans son livre célèbre, Grundlagen der Geometric, publié en 1899. Hilbert a montré que le théorème de Pythagore, qui a précipité dans l’antiquité le conflit entre l'arithmétique et la géométrie, a également joué un rôle clé dans sa solution. Ainsi, le théorème de Pythagore pour les triangles rectangles s'est avéré être un jalon important dans l'histoire des mathématiques. La partie suivante de la vidéo décrit un autre jalon important qui a à voir avec les cercles.

Pi à travers les âges.

Cette partie contient des extraits de la bande vidéo sur l'histoire de pi. D'abord on montre que le nombre pi, défini comme rapport de la circonférence au diamètre de n'importe quel cercle, est aussi le nombre qui apparaît dans la formule pour l’aire d'un disque circulaire de rayon r.

Deux preuves de cette formule sont données avec animations informatiques.

--- La première preuve divise le disque en un nombre pair de tranches égales et les réarrange pour former une sorte de parallélogramme de même aire que le disque. Quand on prend de plus en plus tranches, les rendant de plus en plus fines, le parallélogramme ressemble de plus en plus à un rectangle, de base et de hauteur r, et son aire, base fois hauteur est pi r2.

--- Dans la deuxième preuve, le disque est divisé en anneaux concentriques équidistants. Les anneaux sont coupés le long d’un rayon puis déroulés et empilés jusqu'à former une figure qui est presque un triangle rectangle, de base presque 2 pi et de hauteur r.    Quand on prend de plus en plus anneaux, de plus en plus fins, la pile ressemble de plus en plus à un triangle rectangle de base presque 2 pi r et de hauteur r. Son aire, moitié de base fois hauteur est pi r2.

pi11 Parce que pi est si fondamental, pendant des siècles, les gens ont essayé de déterminer sa valeur numérique exacte. On voit des photos de manuscrits contenant des calculs babyloniens, égyptiens et d'autres cultures. Une approximation de pi apparaît également dans la bible. L’ancien testament décrit un bassin circulaire dans le temple de Solomon, dix cubits de travers et trente cubits de tour. Si la distance autour est mesurée le long d'un hexagone inscrit, on obtient un rapport égal à trois.

 

Une animation informatique montre ensuite efficacement la méthode d'Archimède pour estimer pi à l’aide de polygones inscrits et circonscrits. Archimède a obtenu une borne inférieure 223/71 et une borne supérieure 22/7 en employant des polygones avec 96 côtés. Des approximations postérieures sont également décrites, y compris l'évaluation chinoise 355/113, qui donne six décimales pour pi. Suit une description des motifs répétitifs dans la représentation décimale des nombres rationnels comme 22/7, avec l’affirmation qu'aucun motif semblable ne sera jamais trouvé dans la représentation décimale de pi par conséquent c'est un nombre irrationnel. 

De l’astronomie à la trigonométrie

Cette partie contient des extraits des trois programmes antérieurs sur les sinus et des cosinus que nous avons présentés précédemment, et il n'y a pas besoin de répéter la discussion ici.

D’Archimède à Fermat et à Descartes.

hm10Les méthodes ingénieuses d'Archimède ont donné l’aire d'un disque circulaire et l’aire et le volume d'un sphère et d'autres figures particulières.  L'élaboration ultérieure de ces méthodes a dû attendre presque dix-huit siècles jusqu'à ce que la langue algébrique soit devenue une partie de mathématiques. Grace à l'invention de l’imprimerie autour de 1438, un changement lent mais révolutionnaire du développement des mathématiques a commencé au quinzième siècle. 

Le système encombrant des chiffres romains a été graduellement remplacé par le système arabo-indou, un symbole pour zéro a été inventé, et la notation décimale est devenue banale.  Pendant cette même période, de brillants mathématiciens italiens ont trouvé les solutions algébriques des équations de dégré trois et quatre. Cela stimula beaucoup l'activité et encouragea l’acceptation d'une langue algébrique nouvelle et supérieure.

hm13hm8Deux savants, Pierre Fermat et René français Descartes, ont apporté une contribution remarquable aux mathématiques au dix-septième siècle quand ils ont introduit les systèmes de coordonnées et ont décrit les figures géométriques avec des nombres et des équations algébriques.

 

Par exemple, une équation algébrique pour un cercle vient directement du théorème de Pythagore pour les triangles rectangle.

 

hm9 Les sections coniques, qui ont été étudiées par Apollonius à Alexandrie autour de 200 avant notre ère, ont plus tard joué un rôle important dans des problèmes physiques au sujet des planètes et d'autres corps mobiles. Les équations algébriques décrivant les sections coniques n'impliquent que les carrés des coordonnées, mais aucune puissance plus élevée.  

La course au calcul infinitésimal.

hm11Dans un marathon intellectuel, qu’on peut considérer comme une course de relai vers le calcul infinitésimal, couvrant plusieurs siècles, une compétition entre les mathématiciens pour trouver une méthode générale pour calculer des aires et des volumes de figures courbes. La première étape fut une victoire d’Archimède, qui a calculé l’aire d'un disque circulaire et le volume d'une sphère. L'intérêt s’est relancé beaucoup de siècles plus tard avec l'arrivée l'algèbre et la géométrie analytique, qui a permis d’analyser des problèmes d’aire et de volume avec l'aide des équations algébriques.

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Ceci s’est graduellement développé en une nouvelle et puissante discipline maintenant appelé le calcul intégral. En même temps, des questions au sujet de la vitesse, de l'accélération et du comportement des quantités varaiables ont amené au développement d'une nouvelle branche de mathématiques appelé calcul différentiel.

 

hm15Le calcul différentiel et intégral fut le point culminant des idées de beaucoup de mathématiciens, y compris Oresme, Galilée, Kepler, Descartes, Fermat, Torricelli, et Isaac Barrow, qui a partagé les idées d’Isaac Newton. Bâtissant sur les fondations établies par ces pionniers, Isaac Newton et Wilhelm Leibniz ont achevé la course pour ce calcul infinitésimal dans une finale controversée avec photo finish.

 

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 Une de leurs découvertes principales était un lien étonnant entre le calcul intégral et différentiel. Ce lien s'est transformé en un outil valable qui a fait du calcul différentiel et intégral la langue collective de la science et a lancé une nouvelle ère dans l'histoire des mathématiques.

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Published by E.Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
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