Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
21 janvier 1997 2 21 /01 /janvier /1997 00:00

link

Cette vidéo permet de visualiser les graphes de polynômes de faible degré et de voir l'effet des coefficients. Elle est maintenant disponible en téléchargement en format mp4 bouton itunes

Polynômes linéaires et affine

polynome1

Le but principal de cette section est de présenter le concept de pente d'une droite, changement de valeur de la hauteur divisée par le changement de distance horizontalement, et montrer comment la pente apparaît dans l'équation cartésienne linéaire y = mx + b comme coefficient multipliant le x.

Visuellement la signification des coefficients m et b est montrée efficacement dans l’animation informatique par un dispositif où une main animée tourne une manivelle qui change chaque coefficient indépendamment.

Pour une pente fixe m, la manivelle change le coefficient constant et la droite se déplace vers le haut ou vers le bas parallèlement à elle-même. Quand le coefficient constant b est maintenu fixe, la manivelle change le coefficient de x pour montrer comment la pente change, d'abord en augmentant le coefficient de x par valeurs positives, puis en diminuant les valeurs positives à zéro, et puis aux valeurs négatives . La manivelle sera employée dans tout ce programme. 

Polynômes quadratiques

polynome2Cette séquence commence par le graphe d'un polynôme quadratique dont l'équation est visualisée. Une constante est ajoutée, et pendant qu'une manivelle change cette constante, la courbe est translatée vers le haut ou vers le bas. Ensuite nous voyons ce qui arrive à l'équation si la courbe est translatée horizontalement. Après, un changement d’échelle dans la direction verticale change la forme de la parabole. La parabole s'ouvre vers le haut si la puissance la plus élevée est multipliée par un facteur positif, et elle s'ouvre en bas si est multiplié par un facteur négatif. La manivelle est encore utilisée pour montrer les coefficients en train de changer. En conclusion, chacune des trois opérations est effectuée, translation horizontale par h, changement vertical par un facteur a, et translation verticale par k. Un ballet algébrique prouve que l'équation résultante a toujours la même forme, un polynôme quadratique en x. Là encore la manivelle est utilisée pour montrer ce qui arrive au graphe si vous changez le terme constant, le coefficient de et le coefficient de x. Dans cette scène et dans plusieurs autres, une distinction a été faite entre nommer des points particuliers sur un graphe et nommer la fonction représentée par le graphe dans son ensemble. Les coordonnées x et y sont marquées avec les étiquettes vertes, la couleur de la grille de fond. Le graphe entier de la fonction a été marqué d’une étiquette de la grise couleur de la courbe. Ceci aide à souligner, pour les étudiants, la différence entre une fonction, représentée par le graphe entier, et la valeur de la fonction en des points discrets particuliers.  

Intersections de lignes et de paraboles 

Cette séquence commence en trouvant les points d'intersection d'une droite y = mx par une parabole passant par 0. Un ballet algébrique ramène ceci au problème de résoudre l'équation quadratique dont les racines sont x = 0 et x = m. Des exemples sont donnés pour prouver qu'une droite peut ou non couper une parabole donnée, et que le nombre de points d'intersection peut être zéro, un, ou deux. Quand l'axe des x coupe la parabole, les points d'intersection s'appellent de zéros réels de l'équation quadratique. Des exemples sont montrés avec deux zéros réels distincts, deux zéros réels égaux, et aucun zéro réel. Les effets sonores accentuent l'apparition et la disparition des zéros. Une application décrit comment ces idées sont employées pour construire des images informatiques animées de la planète Jupiter.

Polynômes cubiques

polynome3Trois prototypes dont les équations sont données indiquent toutes les propriétés de base des courbes cubiques.

Chaque graphe a deux parties, une avec sa courbure vers le haut et une avec sa courbure vers le bas. Le point où elles se rencontrent s'appelle un point d'inflexion. Ici encore, la manivelle à main est utilisée pour changer les coefficients. Changer le terme constant translate les graphes vers le haut ou vers le bas et révèle que le nombre de zéros réels peut être 3, 2, ou 1.

 

N'importe quel polynôme cubique peut être changé en l’un de ces trois prototypes, par réflexion et en changeant ses coefficients. Après, en reliant les zéros avec des facteurs, on montre visuellement pourquoi chaque cubique a au moins un zéro réel. Toutes les cubiques avec trois zéros réels distincts ont essentiellement la même forme de base, avec un maximum local et un minimum local qui se trouvent entre des zéros consécutifs.

 

polynome4L'animation montre comment la forme change quand les coefficients sont ajustés pour amener en coïncidence deux des zéros. Et si les trois zéros sont amenés en coïncidence, le maximum et le minimum locaux fusionnant pour former un point d'inflexion. Dans cette scène et dans plusieurs autres, le polynôme est présenté à la fois comme combinaison linéaire de puissances de x et également sous une forme factorisée. La manivelle est utilisée ici pour montrer des ajustements dans les coefficients des facteurs. En même temps, les coefficients des puissances de x sont continuellement calculés et montrés.

 

 

 

Polynômes de degré supérieur

polynome7Une discussion correspondante a lieu pour les courbes quartiques, et les graphes de polynômes de degré 4. Il y a trois prototypes symétriques, ainsi qu'une famille infinie des prototypes asymétriques où r, le coefficient de prend tous les nombres réels comme valeur. Ici encore, la manivelle illustre que chaque courbe quartique peut être convertie en un de ces prototypes, en ajustant les coefficients ou par symétrie. Des polynômes du degré 4 peuvent toujours être factorisés en deux facteurs du second degré, et le nombre total de zéros déterminé par les zéros de ces facteurs, peut être 0, 1, 2, 3, ou 4.

 

À mesure que le degré augmente, le nombre de prototypes augmente également. Le nombre maximum de zéros réels est égal au degré, et le nombre de crêtes et de vallées, au plus, est un de moins que le degré. Les polynômes du degré impair ont toujours au moins un zéro réel.

Approximation du sinus 

On voit comment la courbe sinusoïde est approchée de plus en plus précisément par des polynômes.

 

polynome8a

polynome8b
polynome8c
polynome8d
polynome8e
polynome8f


polynome9




Partager cet article

Repost 0
Published by E.Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
commenter cet article

commentaires