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21 janvier 1991 1 21 /01 /janvier /1991 00:00

Traduction par Médiamaths d'un article de Tom Apostol sur les techniques de visualisation employées dans la vidéo "Similitude" et sur les difficultés rencontrées. La version française de cette vidéo est maintenant disponible en téléchargement en format mp4 sur i-tunes U bouton itunes

Le Rayon « Expando »

similitude1Dans la définition mathématique de la dilatation[1], nous choisissons un point fixe 0 comme origine et nombre positif fixe s, appelé le facteur. Pour chaque point P nous associons un autre point P ' dont la distance de 0 est égale à s fois la distance de P de 0. Le processus d'associer P ' à P s'appelle dilatation par un facteur s, et le point 0 s'appelle le centre. Un des problèmes rencontré dans la conception de ce programme était de dépeindre le concept de dilatation sous forme d’animation.

 

 

Ceci a été fait en introduisant un pistolet du type science-fiction, appelé « rayon Expando ». Par exemple, pour doubler la taille d'un triangle, vous placez le cadran sur 2 et vous visez avec le pistolet un point à l'intérieur du triangle choisi comme centre. Un faisceau de lumière heurte le centre et les lignes émanent du centre vers chacun des trois sommets, doublant toutes les distances et produisant un triangle deux fois plus grand. Le « rayon Expando » vise différents points pour convaincre le téléspectateur que le résultat ne dépend pas de la place du centre. Vous pouvez viser n'importe quel point à l'intérieur, sur la frontière, ou extérieur au triangle, ou même extérieur au plan du triangle. La figure augmentée est un autre triangle dont les côtés sont deux fois plus longs que ceux du triangle original. L'image est renforcée par des effets sonores quand le pistolet tire et quand la cible est frappée. Si le facteur de dilatation est plus petit que un, « rayon Expando » devient un « rayon Shrinko », et quand un facteur de dilatation général est employé il devient un « rayon dilatation ». Le même dispositif est utilisé pour dilater des figures planes plus générales aussi bien que des objets solides. Le fait que les angles ne changent pas sous la dilatation est démontré en plaçant la figure plus petite à l'intérieur de la plus grande et en comparant les angles un par un.

Applications de la Similitude.

similitude2Une des applications les plus anciennes de la similitude est la détermination de la taille d'un grand objet, tel un arbre ou une colonne, qui ne peut pas être mesuré directement.  Le mathématicien grec Thalès au sixième siècle avant notre ère est connu pour avoir inventé une méthode pour déterminer la taille d'une colonne en comparant la longueur de son ombre à celle de son bâton. Une animation prouve que le rapport de la taille h’ d'une colonne à h, la taille du bâton de Thalès, est égal au rapport de la longueur W' de l'ombre de la colonne à la longueur W de l'ombre du bâton.  Pendant que le soleil se déplace dans le ciel, la longueur des ombres change mais le rapport w'/w ne change pas. Par conséquent, si les ombres sont mesurées un jour au moment où la longueur W de l’ombre du bâton est exactement égale à la taille du bâton, la longueur correspondante W’ de l'ombre sera égale à la taille de la colonne.  Nous avons montré l'égalité de la taille du bâton à son ombre en montrant Thalès qui laisse tomber son bâton directement sur l'ombre. L'équation W = h est présentée avec une note d'humour avec le rebond du symbole W vers le haut et sa transformation en h quand le bâton frappe le sol. Dans la tradition d’un dessin animé, la colonne tombe aussi au sol. Comme Thalès réalise ce qui va se produire, il raisonne mathématiquement et s’écarte juste à temps. Ceci illustre, d'une manière subtile, une autre utilisation pratique des mathématiques pour la survie.

 

similitude3La légende raconte que Thalès a également calculé la taille d'une pyramide en comparant les longueurs des ombres. C'est plus d'un défi parce qu'une partie de l'ombre de la pyramide tombe sur la pyramide elle-même. Une animation montre comment ce calcul peut être fait très simplement en marquant l'extrémité de l'ombre de la pyramide quand elle tombe en dehors de la pyramide, et en mesurant la variation de la longueur de l'ombre à une heure postérieure quand l'ombre du bâton s’est étirée d’une quantité égale à la longueur du bâton. La taille de la pyramide est égale à la variation correspondante de la longueur de son ombre.

Périmètres, aires et volumes de figures semblables.

image003Quand une figure plane est dilatée ou contractée d’un facteur s, son périmètre est multiplié par s. Ceci est montré d'abord pour un triangle, puis pour un polygone plus général, et finalement pour une figure courbe qui peut être approchée par des polygones.

 

Pour trouver l'effet de la dilatation sur l’aire d'une figure plane, un rectangle est dilaté d’un facteur s dans la direction horizontale seulement, multipliant la longueur de sa base, et par conséquent son aire, par le facteur s ; il est alors dilaté encore dans la direction verticale par un facteur s, multipliant sa hauteur et par conséquent son aire par s, ainsi l'effet net de la dilatation par un facteur s dans les deux directions est de multiplier les aires par s2.

 

similitude5L'animation indique que c’est la même chose pour un triangle, parce que l’aire d'un triangle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur, et donc aussi pour des figures polygonales plus générales composées de triangles.

 

 

 

 

 

En conclusion, le résultat se prolonge aux figures avec des bords courbes parce qu'elles peuvent être approchées par les figures polygonales. es aires des figures semblables sont multipliés par le carré s2 du facteur de dilatation.  L’extension aux solides tridimensionnels est suggérée en montrant que si les bords d'une boîte rectangulaire sont multipliés par un facteur s, son volume est multiplié par s trois fois, une fois pour chaque dimension, ainsi le résultat est de multiplier le volume par  s3.

Applications à la biologie.

similitude10La similitude aide a expliquer pourquoi le cœur d’un oiseau-mouche bat environ seize fois plus vite qu'un coeur humain. Un oiseau-mouche de douze centimètres de long a environ un seizième de la taille moyenne d'une personne, mais la quantité de sang dans son corps est proportionnelle à son volume, qui est environ un seizième au cube du volume d'une personne. La superficie, par laquelle la chaleur s'échappe de son corps, est environ un seizième au carré de l’aire de la suface d'une personne.  Ainsi l'oiseau a une superficie environ un seizième carré de la notre, mais pour le maintenir au chaud seulement un seizième au cube du volume de notre sang. Par conséquent, son coeur doit pomper environ de seize plus vite. Cela fait environ mille battements par minute.

 

similitude8 Des géants d’environ dix-huit mètres de haut apparaissent dans la littérature classique comme Jack et le haricot ou les voyages de Gulliver, et des monstres énormes tels King Kong ou Godzilla sont décrits dans des films de science-fiction.

 

  Une utilisation intelligente de modèles mécaniques et des effets spéciaux rendent un géant comme King Kong réaliste.  Mais il y a des arguments basés sur la similitude expliquant pourquoi de telles créatures ne peuvent pas exister dans le monde réel, et nous avons décidé que ce serait une bonne application de la similitude d’inclure un de ces arguments dans le programme. Nous avons essayé d'obtenir des studios de Hollywood une séquence filmée de créatures géantes mais n’avons pas pu trouver quelque chose qui nous paraisse approprié. Par un heureux hasard, nous avons appris l'existence de trois minutes d’un film expérimental de 16mm fait dans les années 50 par Taras Kiceniuk et Robert H. Crandall, qui avaient utilisé des techniques photographiques ingénieuses pour faire paraître de petites créatures vivantes telles que des insectes quatre vingt fois leur taille réelle. Nous avons acquis la seule copie existante de ce film et l'avons fait convertir en bande vidéo de qualité superbe. Puisque certaines des créatures sont montrées en train de sortir d’un égoût (manhole), nous les avons appelées « Manhole Monsters ».similitude9

 

Remarques sur le vocabulaire :     

Pour favoriser la compréhension large, le vocabulaire employé se réfère à des images familières et n'utilise pas le terme technique mathématique ; ainsi, on fait appel à la "dilatation" au sens du ballon qui se dilate et à la réflexion, comme sur un miroir. L'enseignant de mathématiques aura à faire travailler ces questions à ces élèves.

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Published by E.Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
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