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1 janvier 1994 6 01 /01 /janvier /1994 00:00

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Cette vidéo en traduction française est maintenant disponible en téléchargement sur i-tunes

Cet article écrit par Tom Apostol et traduit par Médiamaths explique les problèmes rencontrés pour la réalisation de la vidéo et détaille les solutions adoptées par l'équipe de création.

Trigonométrie

 Un triangle a six éléments, trois côtés et trois angles. C’est montré visuellement avec un triangle dont les angles sont ombragés et étiquetés avec des lettres capitales A, B, C, et les côtés opposés avec des lettres minuscules a, b, c. Les angles sont copiés vers le haut de l’écran et les côtés reproduits verticalement en dessous. L’animation montre que la somme des angles est un angle plat, donc si deux d’entre eux sont connus, on peut trouver le troisième. Par aggrandissement réduction on ne change pas les angles d’un triangle, donc si on ne connaît que les angles d’un triangle, on ne peut pas déterminer ses côtés. Mais si un côté et deux autres éléments sont connus, les éléments peuvent être déterminés en utilisant deux propriétés des triangles qui sont le thème principal de ce programme: la loi des cosinus, qui explique comment trouver la longueur d'un côté d'un triangle en fonction des longueurs des deux autres côtés et du cosinus de l'angle entre eux, et la loi des sinus, qui établit que dans n'importe quel triangle le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant. La loi des cosinus est discutée d'abord parce que c'est une généralisation du théorème de Pythagore, traité dans un programme antérieur

Sinus, cosinus et théorème de Pythagore.

 

sin202Pour préparer le terrain pour une découverte par une animation de la loi des cosinus, on voit d’abord une brève récapitulation d'une animation d’une des preuves du théorème de Pythagore d'un programme antérieur. Dans un triangle rectangle, orienté de sorte que son hypoténuse soit horizontale, des carrés sont dessinés sur chacun des trois côtés, l’aire de chaque carré étant le carré du côté correspondant du triangle. Le théorème de Pythagore dit que l’aire du grand carré (sur l’hypoténuse) est la somme des aires des deux des autres carrés. Si les côtés du triangle rectangle sont notées a et b et l’hypoténuse c, le théorème de Pythagore dit que c2 =a2 + b2.

 

Une perpendiculaire est abaissée de l'angle droit sur l’hypoténuse et prolongée pour partager le grand carré en deux rectangles. L'animation prend un carré sur un côté, colorie son intérieur, et le déforme en divers parallélogrammes de même aire. Un de ces parallélogrammes est coulissé pour arriver en coïncidence avec un des rectangles contenus dans le grand carré. On fait de même avec le carré sur l'autre côté, ce qui termine la preuve.

 

Cette animation montre comment les idées essentielles d'une preuve peuvent être montrées sans encombrer le diagramme avec des lignes de construction et des étiquettes compliquées. Par exemple, les directions de coulissage (lignes parallèles de construction) sont affichées sur l'écran au moment voulu et immédiatement enlevées. Peu de mathématiciens professionnels peuvent reconstruire les détails de la preuve originale d'Euclide, mais chacun, professionnel ou amateur, comprend la preuve animée et s’en souvient.

 La loi des cosinus.

 sin203Cette section montre ce qui se passe quand la méthode de cette preuve du théorème de Pythagore est  appliquée à un triangle qui n'est pas nécessairement un triangle rectangle. Le triangle rectangle original de côtés a et b et d’hypoténuse c est montré. L’hypoténuse c est maintenue fixe, et le sommet à l'angle droit est déplacé verticalement vers le haut et vers le bas le long d'une perpendiculaire à l’hypoténuse. Quand le sommet se déplace vers le haut les côtés a, b augmentent mais c ne change pas,  on a donc une inégalité. Si le sommet descend, a et b décroissent et on a l'autre inégalité. Les inégalités sont soulignées visuellement en montrant l’équation comme une balance autour du signe =. Quand l’angle au sommet est déplacé vers le haut, il devient plus petit qu’un angle droit, le membre droit de l’équation s’alourdit l’égalité devient une inégalité et le signe = se change en signe > pour suggérer le sens. De même, quand l’angle au sommet est poussé vers le bas et devient plus grand qu’un droit, le même processus révèle que et la balance penche de l’autre côté.

 

 

sin204Pour voir ces relations autrement, on repart avec un triangle rectangle et on divise le grand carré d’aire en deux rectangles en abaissant une perpendiculaire du sommet de l’angle droit à l’hypoténuse de longueur c.

Une petite main animée tire le sommet vers le haut pour rendre l’angle au sommet plus petit qu’un angle droit en laissant c fixe. Les deux rectangles remplissant le grand carré sont coulissés à aires constante et l’on voit qu’ils ne vont pas complètement remplir les petits carrés d’aire illustrant une nouvelle fois l'inégalité. Quand le sommet est tiré vers le bas, les deux rectangles issus du coulissage excèdent les deux carrés d’aire. On retourne au cas où l’angle au sommet est plus petit qu’un droit avec et on calcule de combien exactement les aires de deux rectangles diffèrent des aires. Un calcul simple à l’aide d’une animation révèle que la différence est la même pour chaque rectangle.  De cette façon, on a découvert la loi des cosinus. Quand l'angle au sommet est plus grand qu’un droit, on montre que la loi des cosinus est valable avec négatif puisque est plus grand qu’un angle droit.

Appliquer la loi des cosinus.

sin205La loi des cosinus nous dit comment trouver un côté de n'importe quel triangle si nous connaissons les deux autres côtés a et b et l'angle C entre eux, avec les versions correspondantes de la loi de cosinus pour trouver les différents côtés. La loi des cosinus implique quatre parties d'un triangle, trois côtés et un angle. Si trois de ces quatre éléments sont connus, on peut employer la loi des cosinus pour trouver le quatrième. La loi des cosinus peut également être utilisée pour trouver les angles d'un triangle quand chacun des trois côtés est connu. A l’aide de chacune des formes de la loi de cosinus ci-dessus, on peut calculer le cosinus de l'angle en fonction de trois côtés. Par exemple, si le quotient est positif, l'angle C est plus petit qu'un angle droit, si le quotient est négatif, l'angle C est plus grand qu'un angle droit. Et si le quotient est zéro, C est un angle droit. sin206Si on connaît deux côtés d'un triangle, c’est-à-dire a et b et angle opposé à , la loi des cosinus est une équation du second degré pour qui peut être résolue par une formule. Une équation du second degré peut avoir deux racines réelles distinctes, il peut donc y avoir deux triangles différents avec donnés les côtés a, b et l’angle A. Si on connaît trois angles et un côté d’un triangle, chacune des formes de la loi des cosinus contient deux inconnues et aucune ne suffit pour trouver les deux autres côtés. Mais dans ce cas, on résoud le problème à l’aide d’un autre outil appelé la loi des sinus.

La loi des sinus.

La loi des sinus dit que dans n'importe quel triangle le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé est le même pour chacun des trois côtés, ainsi dans un triangle donné ce rapport est constant. Une preuve est donnée en abaissant une perpendiculaire de chaque sommet d'un triangle au côté opposé et en employant trois fois la définition du sinus comme rapport. Ceci prouve que les trois rapports a/sin A, b/sinB, et c/sinC sont égaux. En utilisant une animation, on montrera que ce rapport constant est égal au diamètre du cercle passant par les trois sommets du triangle dans "Sinus Cosinus 3".

Appliquer la loi des sinus.

Des exemples sont donnés pour montrer comment la loi des sinus peut être utilisée pour trouver toutes les parties d'un triangle si un côté et deux angles sont connus, problème qui ne peut pas être résolu en utilisant la loi des cosinus. La loi des sinus donne également une solution simple si deux côtés et un angle opposé est connus, un cas dans lequel la loi des cosinus exige résoudre une équation quadratique.

 

 La topographie par triangulation. 

 

triangulation

 

topographie par triangulation

Une des applications les plus importantes de la loi des sinus est son utilisation en topographie par triangulation grâce à laquelle des cartes précises peuvent être construites. Cette méthode localise des points appelés noeuds aux sommets des triangles. En topographiant de grandes régions géographiques telles que le continent des Etats-Unis ou le sous-continent Indien, des milliers de triangles sont joints pour former un système de triangulation. Les longueurs et les directions d'une ou plusieurs lignes de base sont déterminées par mesure directe et observations astronomiques et les longueurs et directions d'autres lignes dans les triangles sont calculées en mesurant les angles entre les diverses lignes et en appliquant des formules trigonométriques, habituellement la loi des sinus.  

 

 

appareil

 

théodolite

Les angles sont mesurés avec un instrument précis, tel qu'un théodolite, qui est en partie télescope et en partie rapporteur. Puisqu'une cartographie géodésique implique des centaines ou parfois des milliers de triangles, les mesures d’angles et distances de base doivent être faites avec grand soin. Pour améliorer l'exactitude, des triangles de recouvrement sont employés pour former une ceinture des quadrilatères. Les animations visuelles utilisent des séquences filmées combinées avec l'animation pour montrer comment le processus de triangulation a lieu dans la pratique réelle.

 

 

géodésie antique

 

dioptre

Le programme raconte aussi brièvement une histoire de la géodésie et des instruments topographiques, depuis les méthodes primitives employées par les anciens Egyptiens.   Il décrit le dioptre, instrument d'origine grecque tôt utilisé pour repérer les niveaux et mesurer des angles droits, ainsi que son évolution ultérieure après le développement du télescope et de la boussole magnétique.  
   La technologie vidéo permet de décrire cette histoire avec beaucoup d'images intéressantes d’instruments qui ne sont pas aisément accessibles à la plupart des enseignants. La présentation d'une telle histoire révèlent également que les mathématiques jouent un rôle important dans les progrès de l'humanité.

La grande cartographie de l’Inde.

 

triangulation de l'Inde

 

mesure de l'Everest

  Cette séquence décrit les points saillants de la topographie de l'Inde, qui a pris plus d'un siècle.  La cartographie a également calculé la taille de l’Everest, le plus haut sommet de la terre.

 

mesure de l'Everest

 

mesure de l'Everest

 L'animation informatique montre comment la loi des sinus a été employée pour effectuer six calculs séparés à partir de six endroits différents sur la plaine Indienne en bas du sommet. La moyenne des six calculs a fixé la taille du sommet à 29.002 pieds. La montagne a été appelée ainsi en l'honneur de George Everest, qui a joué un rôle important dans la cartographie de l'Inde.    Les calculs postérieurs à l'aide des satellites et la technologie électronique ont déterminé la taille à 29.028 pieds, seulement 26 pieds plus haut que les calculs originaux faits un siècle plus tôt.

 

Everest

 

vainqueurs de l'Everest

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Published by E. Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
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