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21 janvier 1991 1 21 /01 /janvier /1991 00:00

 

 

Traduction par Médiamaths d'un article de Tom Apostol sur les techniques de visualisation employées dans la vidéo "Le Théorème de Pythagore" et sur les difficultés rencontrées. La version française de cette vidéo est maintenant disponible en format mp4 sur i-tunes bouton itunes

Avant toute chose ...

La première utilisation d’une animation informatique est faite dans les prérequis. Le programme est basé sur trois idées:

  • Les rapports dans des triangles semblables,
  • L’invariance des aires par certain type de coulissement
  • Le comportement des aires par agrandissement réduction.

   Rapports dans les triangles semblables. 

Cette séquence rappelle au spectateur que les longueurs des côtés correspondants de triangles semblables ont les mêmes rapports. Il y a deux types de rapports :

  • internes (rapports des longueurs dans un même triangle) et
  • externes (rapports des longueurs dans des triangles différents).

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Les lignes en surbrillance montrent les côtés correspondants en même temps qu’apparaissent sur l'écran les expressions des rapports. Pour centrer l'attention sur l'objet en discussion, les bords sont dans une couleur plus lumineuse que l’intérieur du triangle et le fond.

Les étiquettes apparaissent sur les côtés, pas auprès afin qu’elles y restent fixées lors des déplacements. Elles sont plus lumineuses que les bords pour rester lisibles. Le choix des couleurs dans cette scène est adapté à celui utilisé plus tard dans le programme quand le résultat est appliqué.

 

Invariance d’aire par coulissement.

Le coulissement parallèlement à une base d'un triangle ou d'un parallélogramme ne change pas son aire, notion qui n’est pas assez souvent mis en évidence dans les cours de géométrie au lycée. Pour coulisser un triangle rectangle, son intérieur se fond en une collection de segments horizontaux, dont les largeurs et les espacements sont soigneusement choisis, assez petits pour donner l'impression qu'ils recouvrent entièrement l'intérieur, mais assez grands pour être perceptibles comme lignes.

 

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La base et la hauteur d’un triangle rectangle sont marquées, et le narrateur dit, " l’aire d'un triangle dépend de sa base et de sa hauteur. " La base est maintenue fixe et le triangle est coulissé pour former un autre triangle de même hauteur. Le narrateur explique que l’aire ne change pas lors du coulissement, et le spectateur peut le constater de visu parce que les segments couvrant le triangle se déplacent simplement dans différentes positions sans changer de longueurs. Un effet sonore adapté (une porte coulissante) ajoute un composant audible à l'image et aide visuellement à renforcer le concept de coulissement. Le fait que l’aire d'un triangle est la moitié du produit de la base par la hauteur n'est pas énoncé explicitement et ne joue aucun rôle dans la description visuelle. 

 

 

Ceci amène l'idée que l'invariance de l’aire par le coulissement est une propriété intrinsèque de la figure et ne dépend pas des formules. La même scène est répétée avec un rectangle coulissé pour former une suite de parallélogrammes de mêmes base et hauteur. Le rectangle original disparaît progressivement quand sa copie est manipulée. Cette utilisation d’un effet de transparence concerne les parties de l'image qui ne sont pas alors en discussion. Le coulissement est aussi fait dans une direction différente, tandis que le narrateur dit, "on peut également choisir une autre direction comme base et un coulissement dans cette direction sans changer l’aire." Cette scène sert de préparation à une animation informatique de la démonstration par Euclide du théorème de Pythagore qui intervient plus tard dans le programme. Là encore, les couleurs dans l'examen des prérequis coincident avec celles employées plus tard dans la preuve d'Euclide.  

Comportement des aires par agrandissement réduction.

  La scène commence par un exemple simple montrant l’aire d’un carré unité. Un côté est en surbrillance. Lui et l’aire du carré sont étiquetés 1. Le carré est dilaté d’un facteur r et le narrateur explique que l’aire du nouveau carré est r2. Pendant que le narrateur explique que dilater les mesures d'une figure plane par un facteur r change son aire par un facteur r2, un pentagone avec un bord en surbrillance de longueur 1 apparaît, l'étiquette pour l’aire s est placée dans son intérieur et la figure est dilatée par le même facteur r pour produire un autre pentagone dont l’aire est s r2.

Exemples issus de la vie réelle 

  • Les coureurs   Dans l'animation montrée ici, les étiquettes demeurent statiques pendant que la perspective change et que le triangle se déplace. Le triangle est légèrement transparent pour deux raisons. D’une part, on montre une grille en arrière plan pour donner une meilleure intuition de sa taille. D’autre part, la couleur est plus proche de celle du fond pour mieux relier visuellement les formes. Pour souligner que toutes les régions de l'espace euclidien ont des propriétés communes, on n’utilise pas de motif pour le fond, car, bien que cela pourrait être plus intéressant visuellement, un motif de fond tendrait à émousser cette perception des propriétés communes. Les deux côtés du triangle rectangle sont mis bout à bout pour prouver que la somme de leurs longueurs est plus grande que celle de l’hypoténuse, ceci pour commencer à construire l'intuition de l'inégalité triangulaire.  
  • Soldats à l’assaut d’un mur de château   Le caractère de l’animation est très simple avec des silhouettes aux bras et aux jambes articulés. Le requin dans le fossé souligne que les soldats n’osent pas aller dans le fossé. Dans l'animation l'échelle a relativement la même taille que dans la séquence filmée. On a sélectionné des nombres qui semblent à peu près cohérents pour la situation.  
  • Eoliennes   Là encore, les objets dans l’animation ont relativement la même taille que dans les bouts de film. Un effet sonore supplémentaire dans cette séquence est un bruitage quand le hauban se met en place. 

Découvrir le théorème de Pythagore. 

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  Une nouvelle utilisation significative d’une animation est une démonstration algébrique du théorème de Pythagore. Une perpendiculaire est menée de l'angle droit vers l’hypoténuse, la divisant en deux segments de longueurs x et le y, et divisant aussi le triangle en deux triangles rectangles plus petits, dont chacun est semblable au triangle rectangle original. Les deux petits triangles sont réarrangées sur l'écran avec marqués les angles correspondants pour prouver qu'ils sont, en effet, semblables au grand triangle. Les côtés correspondants clignotent pour souligner l'égalité des rapports et " Un ballet algébrique " montre les deux côtés de la première équation multipliés par a et ceci est fait visuellement avec la chute de la lettre a de chaque côté de l'équation avec des effets sonores appropriés. Pendant la chute du côté gauche, l'équation penche comme une balance non équilibrée, l'équilibre est reconstitué quand la lettre a tombe du bon côté. Cette animation particulière donne l’intuition que, si des opérations sont effectuées sur une équation algébrique, on doit faire attention à garder les deux côtés de l'équation égaux entre eux. Le a est effacé du côté gauche par un trait de craie audible, alors que du côté droit les deux facteurs a se fondent pour devenir a2 . L'équation résultante est écrite. Un ballet analogue transforme la deuxième équation. On rappelle alors au spectateur que c=x+y, et un ballet algébrique différent remplace x et y par les valeurs trouvées avant, et la multiplication par c produit la formule qui donne le théorème de Pythagore. Par ailleurs, en faisant une substitution algébrique pendant un ballet algébrique, il est important d’attirer l'attention sur le symbole qui est remplacé. Dans ce cas-ci, le symbole se secoue avec un effet sonore d'accompagnement. D'autres moyens visuels utilisés ailleurs dans la série seront d’éclairer des symboles ou les faire s’envoler vers l'extérieur de l'écran.

Interprétation géométrique. 

La séquence suivante donne le sens géométrique de la formule algébrique . L’exposant 2 dans la formule vibre pour attirer l’attention sur le fait qu’on parle de carrés de nombres et cela suggère une interprétation de la formule en termes de carrés construits sur les côtés d’un triangle. L’aire du carré sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés sur les deux côtés. L’orientation et la mise en scène fait sortir d’abord le grand carré puis les autres se placent dans l’ordre de la formule. Cela illustre un point important dans le graphisme. Beaucoup de mises en scène animées doivent être conçues en vue de la scène finale. On décide de la configuration finale sur une ligne de base et on arrange les formes initiales pour avoir le moins de déplacement possible pour y arriver. Une fois, on a joué avec l’idée d’affecter des couleurs différentes aux carrés en fonction de leur taille, de telle sorte que la couleur du grand carré soit un mélange de celles des deux petits. Mais ceci n’a pas marché parce que la couleur et la brillance d’un objet affecte notre perception de sa taille. On a donc décidé d’utiliser une même couleur pour toutes les formes dont les aires devaient être ajoutées ou comparées.
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Cette scène est suivie d'un bref intermède historique montrant un dessin de Pythagore et des diagrammes du théorème de Pythagore dans de vieux manuscrits chinois et arabes.

 

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De telles scènes sont incluses pour prouver que les idées mathématiques importantes transcendent les frontières nationales et culturelles. Elles sont produites en incluant des images photographiques prises dans des livres ou des manuscrits dans la vidéo. On le réalise en projetant un transparent sur un écran spécial relié à un appareil-photo qui peut zoomer pour montrer des détails ou faire un travelling sur l'image pour donner une impression du mouvement.

 

 

Appliquer le théorème de Pythagore.

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La séquence suivante montre comment le théorème de Pythagore permer de résoudre les trois problèmes issus de la vie réelle introduits au début du programme. Les nombres appropriés sont introduits pour deux des quantités a, b, c et la formule est utilisée pour calculer la troisième.

 

 

 

 

 

 

Les triplets pythagoriciens.

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Dans la séquence suivante, une règle mobile est montrée comme hypoténuse d’un triangle rectangle variable, avec un sommet glissant le long d’une règle graduée verticale tandis que l’autre glisse le long d’une autre règle{ graduée horizontale. Des nombres variables indiquent les longueurs des trois côtés pendant le mouvement. Puisque les règles verticale et horizontale sont toujours perpendiculaires, les trois distances satisfont toujours au théorème de Pythagore. Quand les longueurs des trois côtés sont des entiers comme (3, 4, 5), on fait une pause et l’équation de Pythagore apparaît en évidence en haut de l’écran.  Les triplets (5, 12, 13) et (8, 15, 17) sont aussi montrés (figure 9) et le narrateur explique qu’il y en a encore beaucoup d’autres. Les étudiants peuvent en découvrir d’autres par eux mêmes en utilisant les trois règles. La couleur des règles suggèrent qu’elles sont en bois. Apparaît alors une diapositive d’une tablette d’argile babylonienne en écriture cunéiforme contenant quinze exemples de triplets pythagoriciens. D’intéressants exercices sur ces triplets sont accessibles aux lycéens.  

La preuve chinoise.

 Le programme décrit ensuite différentes démonstrations du théorème de Pythagore.

 

La première est suggérée par une figure dans un manuscrit chinois.image001

Quatre copies du triangle rectangle original de couleur jaune sont placées dans un carré bleu. Les triangles jaunes sont ensuite déplacés pour laisser apparaître deux carrés bleus, l’un d’aire, l’autre d’aire couvrant le même espace que le carré bleu d’aire . Visuellement, il faut ici être sûr que la région bleue garde une aire constante pendant que les triangles jaunes se déplacent. Dans une démonstration classique, un seul exemple de triangle rectangle est montré dans la figure, avec la supposition implicite que la même démonstration vaut pour tous les triangles rectangles. En utilisant une animation, on peut rapidement montrer plusieurs variantes de la figure. A la fin de la séquence, l’animation est répétée avec des longueurs qui varient pour les côtés du triangle rectangle. Cela montre que le résultat final vaut pour n’importe quel triangle rectangle, y compris les cas particuliers où l’une des longueurs de côtés a ou b s’annule.

La preuve d'Euclide.

pyt8Un autre intermède historique explique que le théorème de Pythagore nous est parvenu à travers les âges dans des Eléments d'Euclide. L'appareil-photo balaye les pages de plusieurs éditions visuellement intéressantes des Eléments d'Euclide, y compris une vue de la couverture et d'une page admirablement illustrée de la première édition imprimée d'Euclide éditée à Venise dans 1482. Nous voyons alors le théorème de Pythagore apparaître comme la proposition 47 du livre 1.  Une figure montre la preuve faite par Euclide du théorème de Pythagore. C'est la preuve habituellement donnée dans les manuels et elle est faite avec des lignes de construction et beaucoup de noms pour des points d'intersection.

   

 

pyt18L'essence de la preuve d'Euclide est considérablement simplifiée par l'animation. Les lignes de construction apparaissent seulement quand elles sont nécessaires et ensuite elles disparaissent de l'écran. Par combinaison de coulissements et et de rotations, un carré bleu érigé sur un côté du triangle rectangle est transformé en un rectangle bleu érigé sur une partie de l’hypoténuse. Le même processus est répété avec un carré vert sur l'autre côté qui est transformé en un rectangle vert érigé sur le reste de l’hypoténuse. Les rectangles bleus et verts forment ensemble un carré sur l’hypoténuse, et la preuve du théorème est révélée visuellement.

 

La couleur de fond dans la preuve antérieure a été choisie pour ressembler à une page de parchemin dans un vieux livre. C'est la même couleur que la démonstration de coulissement dans l'examen des prérequis.  Pour faire la preuve ressembler encore plus à la preuve originale d'Euclide, le coulissement et la rotation sont appliqués aux triangles auxiliaires (moitié des rectangles). Nous montrons le triangle auxiliaire bleu-foncé comme tournant jusqu’à deux positions différentes ; Euclide les a montrés dans les deux positions en même temps et qui se recouvrent. L'animation évite de superposer des figures et embrouille moins. Quand le triangle tourne, ses bords sont marqués avec b et c pour souligner que les longueurs de ces bords ne changent pas. Il y a également un effet sonore pendant la rotation qui est différent de l'effet sonore accompagnant le coulissement.

 

Une variante simplifiée de la preuve est également montrée qui implique de coulisser sans rotation. Ces preuves montrent la puissance de l'animation. L'essence de la preuve est indiquée sans encombrer la figure avec les lignes de construction compliquées et les noms de points. Les directions de coulissement (lignes parallèles de construction) sont mises sur l'écran quand elles sont nécessaires et immédiatement enlevées ensuite. Nous avons trouvé peu de mathématiciens professionnels qui peuvent reconstruire les détails de la preuve originale d'Euclide, mais chacun ou presque, professionnel ou amateur, comprend et se rappelle la preuve animée.

Une preuve par découpage.

La séquence suivante montre une preuve par découpage dans laquelle le grand carré sur l’hypoténuse est divisé en cinq morceaux qui sont réarrangés pour s’adapter exactement à l'intérieur des deux autres carrés.

 

pyt12La division en morceaux est montrée sur l'écran avec un point mobile lumineux suggérant une étincelle ou un faisceau électrique coupant réellement les morceaux. Un effet sonore approprié de ronflement renforce cette image. Pendant que les cinq morceaux sont réarrangés pour former les carrés plus petits, une image fantôme de leurs positions originales demeure sur le grand carré comme référence. Les morceaux se déploient comme si ils étaient reliés par les charnières simulées, et les effets sonores correspondants (joints grinçants de charnière) aident à rendre l'animation vivante. L’assistance rie toujours quand elle voie cette preuve animée par dissection. Ce morceau d'animation particulier non seulement amuse mais a une valeur pédagogique. Il donne des professeurs l'occasion de faire reproduire à des étudiants le découpage avec ciseaux et papier. Le cahier de travail élabore sur cette preuve de dissection et montre comment plein d'autres dissections peuvent être employées pour prouver le théorème de Pythagore. 

Proposition 31 d'Euclide.

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L'écran montre une figure illustrant la proposition 31 du livre VI des Eléments d'Euclide. Si les carrés construits sur les bords d'un triangle rectangle sont remplacés par des rectangles semblables ou trois autres formes semblables entre elles, la somme des aires des deux formes plus petites est égale à l’aire de la forme plus grande. Ceci est illustré visuellement avec diverses formes (y compris des théières) et une preuve animée est donnée pour expliquer pourquoi le théorème est vrai. En outre, l'argument est retourné pour prouver que la proposition 31 est réellement équivalente au théorème de Pythagore.

 

 



Ceci est suivi d'une preuve remarquablement simple du théorème de Pythagore basé sur la proposition 31. Le triangle rectangle original est divisé en deux triangles rectangles semblables qui sont apparus plus tôt dans le programme dans la dérivation algébrique. Puisque les aires des deux plus petits triangles s'ajoutent évidemment pour donner l’aire du plus grand, la preuve arrive immédiatement.pyt6

 

Il y a une possibilité de confusion dans cette scène parce que chacun des trois triangles semblables utilisés pour la preuve est à l'intérieur du triangle original. En conséquence, elles le recouvrent et il est difficile de se rendre compte que trois triangles sont là. Pour cette raison, un prologue montre une forme pentagonale se renversant dans les deux sens de l'extérieur vers une position de recouvrement à l'intérieur. Ceci habitue le spectateur à l'idée que la forme peut être à l'intérieur du triangle. Les formes battent dans les deux sens comme articulées le long des bords du triangle. L'utilisation de la transparence aide à maintenir distinctes les figures qui se recouvrent.

Extension à l’espace à trois dimensions.

pyt3La puissance de l'animation est révélée encore dans la séquence suivante, qui prolonge le théorème de Pythagore à l'espace à trois dimensions. D'abord, un bâtiment rectangulaire est montré. Le toit et les murs sont enlevés, partant seulement du contour squelettique d'une boîte rectangulaire. Le bâtiment et son squelette comporte une ombre plane au sol pour augmenter l'effet tridimensionnel. La diagonale d'un coin sur le plancher au coin opposé sur le plafond est tirée et sa longueur est calculée par deux applications du théorème de Pythagore. Un triangle rectangle apparaît sur le plancher, et un autre semble perpendiculaire au plancher. Le théorème de Pythagore est appliqué à chacune de ces derniers et un ballet algébrique indique la version tridimensionnelle. Chaque ligne est tracée avec des bords plus foncés et ainsi elle ressemble à un mince cylindre. Ainsi, quand une ligne croise des autres vous pouvez dire ce qui est à l'avant. Toutes les étiquettes en 3d ont des ombres appropriées. C'est difficile au chorographe d’empêcher que les étiquettes n'interfèrent pas l'une avec l'autre. des triangles translucides sont employés, là encore pour plus de clarté. Beaucoup de professeurs ont dans leurs commentaires dit combien il leur était difficile de montrer l'essence de cette preuve sur le tableau. Ils apprécient le fait que l'animation se fait rapidement et facilement, d'une manière que tous les étudiants peuvent comprendre et se rappeler.  

Les choses à venir. 

La séquence finale de la bande vidéo, une annonce des choses à venir, contient un morceau efficace d'animation tridimensionnelle prévue pour prouver que le théorème de Pythagore est une propriété fondamentale des triangles rectangles plans. Ceci est fait en montrant un triangle rectangle sur sur surface de la terre. (par ailleurs, le sommet de l'angle droit est situé sur l'île de Samos, le lieu de naissance de Pythagore.) Pendant que le triangle augmente graduellement pour recouvrir une grande partie de la surface de la terre, ce devient un triangle sphérique avec trois côtés égaux et trois angles droits se trouvant sur un rendu dramatique de la surface de la terre. Le théorème de Pythagore ne vaut pas pour un triangle si sphérique. La vue dramatique de la terre sert de fond à la bande annonce finale de l'extrémité de la bande vidéo.pyt16

 

Dans tous celle-ci et dans toutes les bandes vidéo de la série les images visuelles sont augmentées par des effets sonores spéciaux et également par la musique, classique et moderne, en fond. Pour attirer les étudiants vers les bandes vidéos éducatives, la qualité de la production doit concurrencer celle des programmes commerciaux qu'ils voient chaque jour dans leurs maisons. En conséquence, bien que les bandes vidéo soient conçues pour être utilisées en salle de classe, la production est de qualité d'émission télévisuelle. Ceci donne un sentiment d'authenticité et d'importance qu’il est difficile à réaliser avec des bandes vidéo de qualité moindre  

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Published by E.Cousquer, Tom Apostol - dans vidéos "Mathematics
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