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1 mars 2002 5 01 /03 /mars /2002 00:00

Les vidéos sont maintenant disponibles en téléchargement en format mp4 sur i-tunes U bouton itunes

 

Voici, du point de vue mathématique, le contenu  du programme "Mathematics! 3" regroupant trois vidéos "Sinus et Cosinus" avec la durée approximative des différentes séquences. Nous vous invitons à un voyage de découverte des « Sinus et cosinus » et de leur usage dans la vie réelle avec les trois vidéos de 30 minutes chacune.
 

Trigonométrie  : Cette présentation est organisée par unités thématiques rythmées par des planches de titre. Les vidéos permettent de voir ou de revoir de façon très visuelle et intéressante, les débuts de la trigonométrie et de découvrir de façon ludique ses applications par exemple en musique ou pour la cartographie. On peut en avoir une idée en consultant la récapitulation qui figure à la fin de la première vidéo Sinus et cosinus1. (2mn40)

Vidéo 1    Les fonctions sinus et cosinus

Dans cette vidéo, nous découvrons les fonctions sinus et cosinus en liaison avec le mouvement circulaire, ainsi que les propriétés de symétries de leurs graphes, une façon très visuelle de voir le sens de certaines formules de trigonométrie. (Vidéo Sinus cosinus 1)

Prérequis Présentation des effets d’une similitude sur les périmètres des figures et en particulier du cercle. (Sinus cosinus 1, 2mn16)


Mouvement circulaire et ondes sinusoïdales
: Avec l’invention de la roue, le mouvement circulaire est au centre des progrès humain des temps anciens aux temps modernes. Cette vidéo fait découvrir ce qu’est le radian puis le graphe de la fonction sinus à l’aide du déplacement d’un point lumineux sur un cercle. (Sinus cosinus 1, 4mn18 )
Symétrie des sinusoides
: Cette partie très dense introduit de façon visuelle les principales formules de trigonométrie liées à des symétries du cercle et de les relier à des propriétés de symétrie correspondantes des graphes des fonctions sinus et cosinus. Après avoir vu cette vidéo une première fois, il est conseillé de la retravailler en faisant des poses jusqu’à avoir acquis une bonne intuition visuelle du sens des formules pour les mémoriser facilement. La symérie du cercle par rapport à un diamètre permet d’introduire la notion d’angle supplémentaire et de la relier à une symétrie d’une arche de sinusoïde ainsi qu’à une formule de trigonométrie. Avec usage de la symétrie du cercle par rapport à son centre, on introduit la périodicité du graphe de la fonction sinus. Un mouvement en sens opposé sur le cercle introduit le sinus de l’angle opposé, donne la formule de trigonométrie correspondante et permet de construire l’ensemble du graphe de la fonction périodique sinus. Une symétrie par rapport à un autre diamètre permet d’introduire la notion d’angle complémentaire puis la fonction cosinus et les deux coordonnées d’un point sur un cercle. Les symétries du graphe de la fonction cosinus en liaison avec les formules de trigonométrie associées sont visualisées. Les liens entre les graphes des deux fonctions sinus et cosinus sont montrés, avec les formules correspondantes.

(Sinus cosinus 1, 5mn48 avec 3mn25 sur les symétries de la sinusoïde puis 2mn23 pour l’introduction du graphe de la fonction cosinus).

Les sinusoides et les ondes périodiques

Les sinusoïdes et le son : Les ondes sonores peuvent être visualisées à l’aide d’un oscilloscope ; on présente les propriétés du graphe sinusoïdal d’une note, sa fréquence, son amplitude et celles de ses harmoniques. La même note jouée par des instruments différents donne différentes combinaisons d’harmoniques et en on a une représentation sonore et visuelle avec leurs graphes.
Les ondes périodiques : elles sont définies et différents exemples de graphes d’ondes périodiques sont visualisés. Au début du 19 siècle Joseph Fourier découvrit que les ondes périodiques étaient des combinaisons de sinus et de cosinus. Une animation montre comment une onde carrée peut être approchée par des sinus et présente le phénomène de Gibbs. On voit comment une onde en dents de scie peut être approchée par des cosinus, puis comment une onde plus complexe faite par un trombone est une combinaison de sinus et de cosinus. (Sinus cosinus 1, 5mn47 avec 3mn18 sur « Les sinusoïdes et le son » et 2mn29 sur les « Ondes périodiques »).


Vidéo 2   La mesure des triangles

Dans cette vidéo, nous redécouvrons le sens du mot trigonométrie au sens de mesure des côtés et des angles des triangles. Elle comporte des extraits des deux bandes « Sinus et cosinus 1 et 2 ».

Sinus et Cosinus comme rapports dans un triangle rectangle
Les débuts de la trigonométrie remontent à la plus haute antiquité comme on le voit avec des tables de cordes pour l’astronomie sur une tablette babylonienne ou dans un chapitre de l’Almageste de Ptolémée. Le sinus est la moitié d’une corde. Les sinus et les cosinus apparaisent comme rapport de côtés d’un triangle rectangle. On présente leur utilisation dans de multiples domaines. (Sinus cosinus 1, 3mn52)
 
Histoire de la trigonométrie
Origine du mot trigonométrie, avec des indications sur les débuts de la trigonométrie et sur son usage en topographie. Position du problème posé dans les vidéos qui suivent ; chaque triangle a trois côtés et trois angles ; comment déterminer trois de ces éléments quand on connaît les trois autres, dont au moins un côté. (Sinus cosinus 2, 4mn14)

La loi des cosinus et mesures dans un triangle

Sinus, cosinus et le théorème de Pythagore : On rappelle le théorème de Pythagore ; avec des animations informatiques, on en donne deux preuves visuelles, puis on introduit l’identité de Pythagore pour les sinus et cosinus.
La loi des cosinus : On généralise au cas d’un triangle quelconque les idées utilisées dans les animations précedentes qui permettent d’introduire la loi des cosinus et d’en donner une interprétation en terme d’aires. Une autre preuve plus algébrique en est ensuite donnée.
Appliquer le loi des cosinus : La loi des cosinus est appliquée dans certain cas de triangles dont nous connaissons trois éléments, avec une discussion sur l’existence des solutions. Mais il existe des cas où la loi de cosinus ne permet pas de résoudre le problème et il faut un nouvel outil, la loi des sinus. (Sinus cosinus 2, 11mn11)

La loi des sinus et la topographie

La loi des sinus : On démontre le loi des sinus qui dit que le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est dans un triangle une constante égale au diamètre du cercle circonscrit.
Appliquer la loi des sinus : La loi des sinus est appliquée pour déterminer dans certains cas les éléments d’un triangle quand trois en sont connus.
Topographie par triangulation : En topographie, pour faire des cartes comme celle des Etats Unis, on a utilisé un immense réseau de triangles, avec usage répété de la loi des sinus pour déterminer leurs cotés et une méthode dite des niveaux pour leur altitude. L’histoire de la topographie remonte à l’antiquité égyptienne et Héron en a écrit les principes et inventé un instrument, le dioptre. L’histoire de la cartographie de l’inde et de la détermination de la hauteur de l’Everest dura plus d’un siècle et la vidéo retrace cette épopée. (Sinus cosinus 2, 9mn06)

Vidéo 3   Les formules d’addition

Trigonométrie, arcs, angles et cercles On visualise les angles inscrits et les angles au centre et on montre leurs propriétés. On relie le sinus d’un angle inscrit à la longueur de la corde qu’il soutend. Comme application, on montre que le rapport constant intervenant dans la loi des sinus est le diamètre du cercle circonscrit au triangle. On retrace l’histoire de l’Almageste de Claude Ptolémée qui contient une démonstration de cette formule. (Sinus cosinus 3, 6mn43)

Formule d'addition : animation présentant une démonstration de la formule donnant le sinus d’une somme de deux angles. · Le théorème de Ptolémée sur les quadrilatères : plusieurs animations présentent le sens du théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscrits dans un cercle, une démonstration de ce théorème et son utilisation pour démontrer les formules d’addition pour les sinus et les cosinus.

Applications des formules d’addition : visualisation du sens de ces formules pour les graphes des fonctions sinus et cosinus. On applique ces formules pour obtenir les formules de duplication, les formules de soustraction et à chaque fois le sens de ces formules est visualisé sur les graphes. Elles sont ensuite appliquées à des cas d’angles particuliers pour obtenir d’autres formules classiques en trigonométrie.

 

Sinus et cosinus d’angles particuliers : Les formules précédentes sont appliquées pour établir une table de valeurs exactes avec usage de radicaux des sinus et cosinus d’angles multiples de 3°.
Application au mouvement harmonique simple : le mouvement d’oscilation d’une bille au fond d’un bol ou d’une masse suspendie à un ressort peut être écrit à l’aide d’une sinusoïde et l’animation montre comment en obtenir les coefficients. (Sinus cosinus 3, 16mn40)

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Published by E.Cousquer - dans vidéos "Mathematics
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