Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
1 octobre 2000 7 01 /10 /octobre /2000 00:00

 

Dans la région actuelle de l'Irak, les Sumériens inventent (entre -3500 et -3000) une écriture idéographique appelée Ecriture cunéiforme

Puis les Akkadiens supplantent les Sumériens et adoptent l'écriture sumérienne pour transcrire leur langue. Ce système d'écriture fut adopté par la suite par de nombreux peuples du Moyen-Orient pour transcrire leurs propres langues.

BABa4darius1BABa3darius

 

Le déchiffrement du cunéiformes : Cette découverte est l'oeuvre de plusieurs savants dont Rawlingson vers 1850. Il a été permis par la découverte d'une inscription en trois langues sur le tombeau de Darius (ci dessus)

L'histoire de cette région

Elle est divisée en périodes suivant les dynasties et les empires qui se partagent le territoire. Au III ième siècle avant notre ère, la région est conquise par Alexandre c'est l'Époque Séleucide. Le dernier texte de cette civilisation date du premier siècle de notre ère qui marque la fin de la civilisation mésopotamienne.

L'évolution de l'écriture

Na3 tablet1 BABa9tablette4
BABa2tablette2
 pictogrammes  pictogrammes et nombres
 cunéiformes anciens

Elle est retracée par l'étude des tablettes des époques successives. Depuis le tracé des premiers pictogrammes aux idéogrammes cunéiformes (traits en forme de clous).

Les textes

BABa7princeBABa6hammurabiBABa5cuneiformeDe véritables bibliothèques de tablettes d'argile ont été découvertes et les textes conservés sont plus nombreux que ceux de l'Égypte antique. On a retrouvé des textes de comptabilité, des textes scientifiques, juridiques (code d'Hammurabi), des dictionnaires bilingues, et des inscriptions sur des stèles de pierre et des statues commémoratives. (Voir les collections du Musée de Louvre).

Le déluge

BABa8deluge

Cette tablette datant de l'époque paléo-babylonienne vers -1700 contient un récit du Déluge sumérien. De très grandes épopées et en particulierl'épopée de Gilgamesh sont les plus anciennes oeuvres littéraires de l'humanité.

Les débuts des mathématiques

Les mathématiques et l'écriture sont nées en même temps, et restent très liées. Une mathématique nécessite un support écrit, mais à l'inverse, le besoin de garder trace des transactions fut essentiel pour l'invention de l'écriture.

Na2 caillou

Les textes mathématiques découverts

Les tablettes mathématiques retrouvées datent de trois périodes

différentes.

  • la période protosumérienne des débuts de l'écriture

  • autour de -2000 

  • La période Séleucide de -300 à 100

 

Mystique des nombres et astrologie

À côté de textes mathématiques ou médicaux, figurent des textes astrologiques qui présentent la même structure. Difficile de séparer les sciences et l'astrologie chez les Babyloniens pour qui la  "science  des présages" était la discipline fondamentale. Mystique des nombres dont le sens nous échappe. Chaque nombre de 1 à 60 était associé à un dieu, une déesse ou un démon. (Il nous reste le caractère néfaste du 7 ...)


Les mathématiques babyloniennes

BABb1math1

Elles ont été découvertes beaucoup plus tardivement que les mathématiques égyptiennes et sont connues par l'oeuvre de Thureau Dangin, (Textes mathématiques babyloniens, 1938) et Neugebauer Sacks, (Mathematical cuneiform texts, 1945).Ces mathématiques babyloniennes sont très riches et ont fait l'objet de nombreux travaux historiques récemment.

Les textes mathématiques découverts sont essentiellement des travaux d'écoliers scribes, avec deux types de textes, des tables de calculs, des listes de problèmes avec des solutions. Ici une tablette appelée prisme mathématique datant du XVIII ième siècle avant J.C. qui contient une série de problèmes de calculs de surface.

Tables de calcul :

Ce sont des tables de multiplication, d'inverses, de carrés, de cubes, de racines carrées.

Tables de problèmes

Ces problèmes sont rangés suivant une complexité croissante. La procédure générale n'est jamais indiquée mais on a une suite de consignes données à l'apprenti scribe : « prends ce nombre, prends son carré... le résultat est... »

Les caractéristiques des mathématiques

Mathématiques numériques

Mathématiques rhétoriques

Mathématiques algorithmiques

 

Le système numérique babylonien

Le système d'écriture des nombres était à base 60, étendu aux fractions sexagésimales.

71,755,875 = 5 *60^4 + 32 * 60^3+ 12 * 60^2+ 11 *60 + 15

(où 60^4 désigne 60x60x60x60)

Soit 5, 32, 12, 11, 15 suite écrite en babylonien avec deux symboles : un clou BABb3cloupour l'unité et un chevron BABb4chevron pour la dizaine.

BABb2N532121

Système positionnel à base 60 étendu aux fractions, sans zéro, sans "virgule", sans notation d'ordre de grandeur ; la base 10 est utilisée de façon auxiliaire pour noter les nombres de 1 à 60 de façon additive. Au IIIème avant J.C., apparition d'un zéro comme place manquante au milieu des nombres.BABb1symbols

 

Thureau Dangin écrivait à propos du système sexagésimal babylonien :

«  L'incomparable instrument de calcul dont disposaient les mathématiciens babyloniens était de nature à leur aplanir la voie qui mène à la méthode algébrique. L'expression du nombre atteint dans le système savant un degré de simplicité, d'homogénéité et d'abstraction qui n'a jamais été dépassé. Comment les Babyloniens sont-ils venus à une conception aussiabstraite du nombre ? »

Les calculs

Nombres abstraits, nombres concrets

La base 60 et le système des différentes mesures de longueur, de volume, etc. étaient bien adaptés. Dans un problème, le scribe traduisait les données en un nombre abstrait, faisait les calculs et donnait ensuite les résultats sous forme de nombre concret.

Analyse de tablettes de calcul

Les Babyloniens n'avaient pas besoin de tables d'addition, car les additions avec des nombres écrits à l'aide de leur notation sont encore plus simples que nos additions. Nécessité de repérer l'ordre de grandeur des nombres à ajouter qui se comprend d'après le contexte.

Tables de multiplication

Elles étaient à faire pour tous les couples de nombres entre 1 et 59. A l'aide de ces tables, ils pouvaient multiplier deux nombres quelconques, entiers ou fractionnaires en sexagésimal. Facilité des multiplications et les divisions qui s'effectuent de la même façon sur les entiers et les fractions.

La division

Pour diviser un nombre a par un nombre b, on se ramene à une multiplication de a par l'inverse de b, cherché dans une table.

 60 a 12 diviseurs et les inverses de ces nombres 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, s'expriment très simplement. Tous les rationnels dont le dénominateur peut s'écrire sous forme réduite à l'aide de puissances de 2, 3 ou 5 possèdent un développement sexagésimal fini.

Tables d'inverses

BABb5division

Seuls figurent les nombres qui possèdent un inverse ayant un développement sexagésimal fini. Par exemple, pour l'inverse de 7, il est mentionné « n'existe pas ». Le calcul de 1/7 est intéressant car sa période apparaît très rapidement.

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17,... avec répétition indéfinie de 8,34,17 en sexagésimal

1/7 = 0,142 857 142 857... avec répétition indéfinie de 142 857 en décimal.

 

Résultats remarquables

Certaines tablettes prouvent que le résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore était connu des Babyloniens un millier d'années avant Pythagore.

Les racines carrées

BABb6root2dBABb7root2p

Une tablette donne une valeur approchée très précise de racine de 2.

1;24,51,10 en babylonien fait en décimal 1,4142129 ; or racine de 2 vaut 1,414 213 5... 0 multiplié par 1;24,51,10 égale 42;25,35 en base 60. L'algorithme utilisé est aujourd'hui encore appelé algorithme de Babylone

Les triplets pythagoriciens

Une autre tablette appelée Plimpton 322 présente des listes de nombres entiers appelés triplets pythagoriciens, c'est à dire de triplets d'entiers solutions de l'équation x^2+y^2=z^2.

BABb8plimpton

 

 

{\includegraphics[width=0.50\textwidth]{Plimpton_322.jpg}\hfill}}\hfill

 

 

Entiers sur ses 4 premières lignes

 

119

120

169

3367

3456

4825

4601

4800

6649

12709

13500

18541

 

Les Babyloniens disposaient plus de mille ans avant les grecs d'un algorithme assez général pour trouver de nombreux triplets pythagoriciens.

 

L'algèbre babylonienne

 

A part les tablettes de calcul, les textes babyloniens sont constitués de listes de problèmes avec leurs solutions. Lorsqu'on analyse ces problèmes, une grande partie se ramène à des équations simples. Les Babyloniens savaient résoudre beaucoup de problèmes du premier et du second degré. Beaucoup de problèmes utilisent une méthode standard pour trouver deux nombres dont ont connaît

la somme et le produit, ou la différence et le produit. Un certain nombre d'identités remarquables étaient connues ; elles peuvent être établies par simples décompositions de figures.

 

Un problème

Longueur, largeur.

J'ai multiplié longueur et largeur, j'ai obtenu l'aire.

J'ai ajouté à l'aire l'excès de la longueur sur la largeur : 3,3;

En outre, j'ai additionné longueur et largeur : 27

Demandés longueur, largeur et aire

 

On suit cette méthode :

ajouter 27; et 3,3; on trouve 3,30;

ajouter 2; et 27; on trouve 29;

prendre la moitié de 29; on trouve 14;30

prendre le carré de 14;30 on trouve 3,30;15

retrancher à 3,30;15 le nombre 3,30; on trouve 0;15

la racine carrée de 0;15 est 0;30

ajouter 14;30 et 0;30 longueur 15;

retrancher à 14;30 (le nombre) 0;30 largeur 14;

soustraire 2; qui a été ajouté à 27; de 14; (donc)12; est la largeur présente

(vérification)

multiplier 15; (longueur) par 12; (largeur) l'aire est 3,0;

retrancher à 15;\(le nombre)12; on obtient 3;

ajouter 3,0; et 3 on obtient 3,3;

Interprétation

Pour comprendre la suite des calculs, nous allons les retranscrire dans nos notations algébriques :

 

xy+x-y = 183

x+y = 27

 

La solution fait intervenir une inconnue auxiliaire y'=y+2 et se ramène au système :

 

x y' = 183 + 27

x+y' = 29

Ce problème, trouver deux nombres dont on connaît la somme x+y' et le produit P=xy' était un problème classique. Les Babyloniens utilisaient pour cela l'identité facile à obtenir à l'aide de découpages, que nous écrivons aujourd'hui :

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

La méthode revient à dire, en désignant par x le plus grand des deux nombres

et par E = (x-y)/2 leur demi-différence, cherchons :

x = S/2 + E

y' = S/2 – E

(S/2 + E) (S/2 -E) = (S/2)^2 – E^2

(S/2)^2 – E^2 = P

E = racine de (S/2)^2 -P

 

Bien entendu les calculs sont effectués en numération sexagésimale.

 

Voir l'article sur les mathématiques babyloniennes pour d'autres exemples de problèmes.

 

 

 

Avec cette méthode de trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit les Babyloniens pouvaient donc résoudre des problèmes du second degré.

 

Influence des mathématiques babyloniennes

Les mathématiques babyloniennes étaient beaucoup plus avancées que les mathématiques égyptiennes. Il y a eu diffusion de ces mathématiques vers l'Égypte, la Grèce et vers l'Inde.

En particulier, toutes les études historiques des mathématiques de l'antiquité montre que le développement des mathématiques en Grèce un millénaire plus tard s'est fait sur la base des mathématiques de l'antiquité babylonienne et égyptienne. Il y a eu continuité culturelle en mathématiques au Moyen Orient.

 

 

Partager cet article

Repost 0

commentaires

replica watches uk 20/05/2015 10:36

Pretty good post. I just stumbled upon your blog and wanted to say that I have really enjoyed reading your blog posts.

omega replica 20/05/2015 10:35

Very good stuff with good ideas and concepts, lots of great information and inspiration, both of which we all need.

online crm 29/08/2014 13:35

So, this must have been one of the interesting methods which were implemented to learn mathematics back in the Stone Age. I really appreciate their innovative ideas. Of course a lot credit must be given to the archeology department too.