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1 novembre 2000 3 01 /11 /novembre /2000 00:00

  Cet article est à compléter par l'article sur les mathématiques égyptiennes


EGYa1mural1

La civilisation égyptienne antique

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EGYa4mural3

La description de l'Egypte publiée en 1809 par les savants qui ont accompagné l'expédition en Egypte de Napoléon, fit connaître en Europe la civilisation égyptienne. De nombreux sites permettent de s'informer par exemple le site de l'association d'égyptologie ou l'encyclopédie wikipedia.  On peut aussi consulter les musées virtuels comme les collections en ligne du musée du Louvre.

Les écritures égyptiennes 

The Rosetta Stone
La pierre de Rosette découverte en 1799, exposée au British Museum, porte un même texte en trois écritures : hiéroglyphes, démotique, grec, et des cartouches avec des noms de rois et a fourni à Champollion en 1822 la clé des écritures égyptiennes. 

EGYa3cartouche

 

Ci contre deux cartouches utilisés par Champollion pour le déchiffrement des hiéroglyphes. 

 

EGYa7vase

Sa connaissance du copte qui dérive de la langue des anciens égyptiens lui a permis d'interpréter les deux cartouches de Cléopatre et de Ptolémée. .Le déchiffrement des écritures égyptiennes par Champollion grâce en particulier à la pierre de Rosette a ouvert la voie à la redécouverte de la  civilisation égyptienne antique. Champollion a découvert que l'écriture égyptienne n'était pas purement idéographique : l'écriture égyptienne hiéroglyphique, note tantôt des sons, tantôt des idées,
Vase avec des cartouches

 

Afin d'illustrer ce caractère complexe des hiéroglyphes, le texte ci-dessous note avec des couleurs différentes les signes phonétiques et les signes idéographiques.
EGYa5hiero-phon

 EGYa6egypt17Hiéroglyphes gravés : l'écriture hiéroglyphique était réservée à la gravure sur pierre. Les deux autres systèmes dérivés de celui-là, écriture hiératique et écriture démotique, étaient utilisés sur les papyrus ou les autres supports. La pierre de Rosette comporte trois écritures, grecque hiéroglyphe et démotique.

 

 

Les mathématiques en Égypte

EGYa8rhindLes mathématiques égyptiennes sont connues par quelques papyrus dont le plus célèbre est le papyrus Rhind.
 Les études des historiens des mathématiques bien que reposant sur peu de documents ont transformé la vision qu'on avait en occident sur l'origine des mathématiques et montré que les mathématiques grecques n'ont pas surgi du néant et qu'un millénaire avant les mathématiciens grecs, une mathématique très développée existait en Mésopotamie et en Égypte. Les fractions égyptiennes ont suscité beaucoup d'études.

Les Grecs considéraient que l'origine des mathématiques était égyptienne. Aristote l'attribuait à la caste des prêtres, tandis qu'Hérodote pensait que les crues périodiques du Nil avaient conduit les Égyptiens à inventer la géométrie.

EGYa9RhindpapLorsqu'on étudie les textes mathématiques égyptiens, on constate qu'il s'agit essentiellement de problèmes pratiques de répartition de nourriture, de salaires, de calcul de matériaux de construction, de problèmes de mesure de surface, de volume. L'essentiel de ces documents consiste donc en techniques sur des  exemples de calculs (multiplication, division et calculs avec des fractions), ainsi que des listes de problèmes.

 

 

Papyrus de Rhind
   

 
Les nombres en Egypte

Le système égyptien représente chaque puissance de 10, jusqu'à 107, par un hiéroglyphe. Un symbole est créé pour chacune des unités, des dizaines, des centaines, des milliers, à la manière de la numération grecque ultérieurement. Ce système d'écriture des nombreslink permet d'écrire un nombre comme 9999 avec 4 symboles seulement.

EGYb1N71755E3

Dans ce système, le nombre 71 755 875 est écrit par répétition de symboles.

Techniques de calcul

L'addition égyptienne est évidente avec le système de numération car il suffit de compter le nombre de symboles de chaque sorte.

La multiplication égyptienne Dans le Papyrus de Rhind, voici le calcul de 12 au carré. On additionne les lignes marquées du signe / et on obtient la somme 144. Le nombre 12 est donc obtenu comme somme 12 =8+4.  Il s'agit donc d'un série de doublements 

1     12      
2     24      
4     48     /
8     96     /


.Dans le Papyrus de Kahun voici le calcul du carré de 16. On obtient la somme 256. Ici on utilise une multiplication par 10, évidente si on pense qu'il s'agit simplement de "décaler" des symboles.

1      16       /
10     160     /
5      80  /


La division
La division est ramenée par les Égyptiens à la multiplication. Ainsi, trouver le quotient de 1 120 par 80 était formulé : Ajoute en commençant à 80 jusqu'à ce que tu obtiennes 1 120. La solution de ce problème se présente de la façon suivante :

1       80
10      800     /
2      160 
4      320   /
Pour nous le résultat est 14. Pour les Égyptiens, c'est 1 120 qui est explicitement indiqué comme résultat.


Les fractions égyptiennes
Lorsque le calcul de la division ne tombe pas juste, les Égyptiens avaient recours aux parts, c'est-à-dire des fractions 1/n, avec n étant un entier. Ces fractions égyptiennes ont suscité beaucoup de travaux de mathématiciens intéressés par l'histoire de leur discipline.

Relations classiques qui apparaissent dans le papyrus de Rhind :

 1/3 +     1/6     =     1/2     
  1/2 +     1/3 +     1/6     =     1     
  2/3     =     1/2 +     1/6
   2/3 +     1/6     =     1/2 +     1/3
   1/2 +     2/3     =     1 +     1/6

Le début du papyrus de Rhind est consacré à l'établissement de tables pour de décomposer le double des parts 2/n en fractions unitaires. Voici par exemple les doublements successifs de la fraction 1/9
1          1/9
2          1/6 + 1/18
4          1/3 + 1/9
8          2/3 + 1/18

 
Voici un exemple de division du papyrus de Rhind, le calcul du quotient de 19 par 8.

Il s'agit d'opérer des doublements et des divisions par 2 à partir de 8 pour obtenir 19 ; le quotient est 2 + 1/4 + 1/8

1        8 
2         16    /
1/2      4
1/4      2     /
1/8      1    /   

On renvoie à l'article sur les mathématiques égyptiennes pour d'autres exemples de calcul. La fraction 2/3 joue un rôle privilégié chez les anciens égyptiens où on les voit passer d'abord par 2/3 pour obtenir 1/3. Cela indique que 1/3 est vu principalement comme la moitié de 2/3.

Problèmes 3 à 6 du papyrus de Rhind

Partager 6, 7, 8, 9 pains entre 10 hommes.

Réponses
6 pains entre 10 hommes : 1/2 + 1/10 chacun ;
7 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/30 chacun ;
8 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/10 + 1/30 chacun ;
9 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/5 + 1/30 chacun.

La table des fractions 2/n

Au début du papyrus de Rhind, se trouve une liste de décompositions de fractions 2/n. Cette table contient toutes les fractions 2/n de n=3 à n=101, pour n impair. Beaucoup de chercheurs ont travaillé sur cette table pour découvrir les règles qui avaient présidé à son élaboration.
Multiplicité des décompositions en parts
Un chercheur, Dr Gillings avec son ordinateur a listé 1 967 décompositions possibles de 2/45 en somme d'au plus quatre fractions égyptiennes ; 1 826 avec quatre fractions; 134 décompositions avec trois fractions; 7 décompositions avec deux fractions :

1/24 + 1/360,
1/25 + 1/225,
1/27 + 1/135,
1/30 + 1/90,
1/35 + 1/63,
1/36 + 1/60
1/45 + 1/45.
Cela explique l'impasse dans laquelle se sont trouvés les anciens égyptiens : comment reconnaître que deux nombres sont égaux quand ils ont une telle multiplicité d'expressions, alors qu'ils ne disposaient pas de l'équivalent de notre mise au même dénominateur puisque seules les parts avaient du sens.

Dans certains de ces calculs figurent des nombres écrits en rouge appelés auxiliaires rouges. Ces nombres seraient les numérateurs des fractions si elles avaient été réduites au même dénominateur. On renvoie de nouveau à l'article pour des exemples de problèmes égyptiens. Le "dénominateur commun" n'est pas toujours un entier mais peut être un nombre avec une partie fractionnaire. Les égyptiens n'avaient pas encore le concept de fraction, même si ces auxiliaires rouges pouvaient constituer un pas vers cette notion.
L'algèbre des anciens Égyptiens

Pour l'essentiel les calculs faits dans les problèmes du papyrus de Rhind se ramènent à des équations du premier degré. Voici par exemple le problème 24 :

    Une quantité et son 7ième vaut 19. Quelle est cette quantité ?
    Opérer avec 7, faire le 7ième, total 8
    Calculer avec 8 pour obtenir 19. Cela fait 2 + 1/4 + 1/8
    Multiplier 2 + 1/4 + 1/8 par 7.
    On obtient 16 + 1/2 + 1/8

Le principe de la méthode de résolution a été appelé plus tard la méthode de fausse position.Soit la résolution de l'équation : a.x = b. On part d'une valeur x0 telle que le calcul de a.x0 = b0 soit facile. Ici x0 = 7 et on ramène le calcul de x à x0. b/b0 (en termes modernes).
Analyse des problèmes du papyrus de Rhind : Beaucoup se présentent sous la forme : "une quantité et son ne vaut p. Quelle est cette quantité ?"  La technique de résolution est toujours en trois étapes :
Opérer avec n, faire le ne, obtenir le total n+1. Calculer avec n+1 pour obtenir p. On obtient q=p/(n+1). Multiplier q par n.

Bilan

Même si on trouve quelques extractions de racines pour des nombres bien choisis, les Égyptiens n'ont guère dépassé le stade des problèmes du premier degré, vu les obstacles très grands causés par des notations de nombres inadéquates. On peut remarquer que les calculs sur des équations du premier degré ne sont pas vraiment des problèmes concrets. Il y avait donc début de spéculation intellectuelle désintéressée.


Calcul de l'aire du disque

 
 EGYb2Pi

Les Égyptiens ont découvert une valeur approchée de pi plus précise que la valeur 3 en usage chez les Babyloniens. Le calcul de l'aire du cercle se faisait à l'aide de la formule (8/9 d)2, d étant le diamètre du cercle. Cela revient à donner à pi la valeur 4*((8/9 )2=3 1605... et représente une avancée remarquable.

Caractère dominant du calcul

Le système de calcul des Égyptiens est qu'il repose entièrement sur l'addition. La multiplication égyptienne est un calcul écrit qui ne peut précéder la notation écrite des nombres. L'inverse de la multiplication, la division nécessite le développement des calculs avec les fractions et l'établissement de tables de relations entre fractions. Cela a occupé une grande partie du temps.

Notations inadaptées 

On voit apparaître, avec la nécessité de reconnaître si deux sommes de fractions unitaires sont égales, un développement avec les auxiliaires rouges qui pouvait conduire à un élargissement vers la conception des nombres rationnels ; mais ce pas ne fut pas franchi. Cela permet de réfléchir au lien entre les notations et l'avancée dans les techniques de calcul. L'essentiel de l'énergie fut absorbée par des calculs et des techniques sans avenir réel. Cela montre bien que le développement des sciences n'est pas linéaire.

Mathématiques babyloniennes et égyptiennes
Certains sur la foi des Grecs, ont supposé une science égyptienne plus avancée dont nous aurions perdu les traces. Plus nous connaissons les sciences babylonienne et grecque, moins cette hypothèse semble plausible. Dans tous les domaines, la science babylonienne était plus avancée que celle des Égyptiens et les sources des mathématiques grecques étaient principalement chez ceux-ci.
 

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commentaires

what causes snoring 18/06/2014

Egyptian pottery is considered as one of the oldest potteries in the world. They got great artistsic skills also and this makes their work unique from others. The photos shared here are an example for it. Thanks for sharing the pictures.