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18 avril 2011 1 18 /04 /avril /2011 22:57

Ce texte a été écrit pour le Colloque de  Strasbourg en juin 1998, intitulé History of Science and technology in Education and training in Europe. Eurosciencia Conferences Edited by Claude Debru. Il montre mes conceptions sur l'enseignement des mathématiques et de son histoire.

Enseignante à l'UFR de mathématiques de l'Université des Sciences et Techniques de Lille (USTL), j'enseigne à l'IUFM du Nord Pas-de Calais depuis sa création. J'ai développé un travail sur l'histoire des nombres depuis 1990 dans le cadre de l'IREM (publié sous forme d'une brochure en 1992), puis en formation initiale des enseignants (cours et encadrement de mémoires faisant intervenir l'histoire). Ce travail a été réinvesti dans une option de Deug et fait l'objet d'un livre « La fabuleuse histoire des nombres », chez Diderot éditeur.

 

Nombres et culture

 

Nous vivons, collectivement, avec les nombres, une relation étrange, faite à la fois de fascination et de rejet. Fascination quand la précision du nombre, par exemple, assoit une affirmation comme « vérité scientifique », rejet quand l'ombre d'une valeur numérique effarouche un présentateur soucieux de son audimat. Ce double mouvement doit nous poser question, tant est grande dans nos sociétés l'importance du nombre de la mesure, de la valeur : évaluation, prévision, simulation, notre vie est et sera influencée par la mesure, le calcul, la comparaison.

Les nombres et les calculs font partie de nos connaissances culturelles de base contemporaines. En a-t-on conscience quand on a tendance à associer culture et domaine littéraire ou artistique et à les opposer aux sciences ? L'origine de cette opposition est à chercher en partie dans le mode d'enseignement des sciences, où l'on transmet des vérités, coupées de leur histoire et de leur mode de création. Les mathématiques, par exemple, ne semblent pas oeuvre humaine, elles apparaissent tombées du ciel, achevées et parfaites, comme existant de toute éternité. Et pourtant elles sont aussi oeuvre des générations et des civilisations successives, elles ont connu elles aussi des évolutions, des impasses, des progrès et des controverses.

 

Recherches actuelles

Des chercheurs et des enseignants du monde entier travaillent sur l'histoire des sciences et des mathématiques. Un de leurs objectifs est de permettre une évolution de l'enseignement des mathématiques et un changement de leur rapport avec la culture de nos sociétés. Pour cela, il faut permettre l'accès du plus grand nombre à cette histoire. Les chercheurs en mathématiques insistent aujourd'hui beaucoup plus sur la créativité en mathématiques que sur la rigueur formelle, ils voient dans leur science une possibilité de développer l'imagination des élèves et appellent à une évolution dans ce sens de l'enseignement. C'est un des buts de mon travail qui ne part pas de mathématiques savantes, mais des seules connaissances qui font partie du bagage de chacun: les nombres, les entiers, les fractions, les rationnels, les irrationnels, les négatifs et les positifs...Quand, comment les nombres que nous utilisons sont-ils apparus dans l'histoire ? dans quelle civilisation ?

 

Compter, mesurer

À tous les niveaux de notre enseignement, on peut développer des activités mathématiques riches et signifiantes du point de vue scientifique qui situent les mathématiques de chaque époque dans leur contexte culturel. Le domaine des nombres est sans doute le plus immédiat car les questions sont très faciles à formuler. En effet, il est possible de suivre pour chaque civilisation les savoirs considérés comme savoirs de base de l'enseignement, c'est-à-dire savoir lire, savoir écrire, savoir compter. Curieusement, en France, dans les programmes d'histoire du collège, les nombres, leur représentation et leur utilisation ne semblent pas faire partie du contexte culturel de l'époque … Les programmes actuels se limitent au « lire, écrire ».

Avec les nombres, on remonte à l'aube de l'humanité. Les hommes ont parlé avant d'écrire, ont compté avant de transcrire leurs calculs. Les linguistes nous le montrent, les systèmes de nombres, comme ceux de parenté, présentent une si grande stabilité qu'ils ont été utilisés pour comparer les langues entre elles. Le comptage a connu des paliers difficiles à franchir : passer de « un, deux, beaucoup », au comptage jusqu'à dix, compter au delà des nombres courants et franchir le cap du millier par exemple.

L'écriture marque le passage de la préhistoire à l'histoire et des mathématiques figurent dans les plus anciens documents écrits: les premières traces d'écriture à Sumer sont associées à des tablettes de comptabilité. Sur ces mêmes tablettes d'argiles, on suit la naissance et l'évolution des premiers signes écrits, le passage d'une pictographie à une véritable écriture, la naissance et l'évolution d'un système numérique.

 

Notre mode d'exposition des mathématiques

On peut retracer la naissance des mathématiques dans les civilisations sumérienne, égyptienne, grecque et arabe en se limitant aux civilisations dont nous sommes les héritiers et présenter des mathématiques dont le mode d'exposition était très différent du nôtre, ce qui n'empêchait pas de résoudre des problèmes intéressants et difficiles, ainsi que le montrent les mathématiques indienne, chinoise et japonaise jusqu'à ce siècle.

Notre modèle d'exposition des mathématiques est né en Grèce. Les discussions publiques des citoyens sur les affaires de leur cité ont introduit une habitude d'argumentation. À la suite des réflexions de philosophes comme Platon et Aristote les mathématiciens ont introduit en mathématiques la présentation déductive, où, à partir de quelques propositions de base admises comme prémisses, toute proposition doit faire l'objet d'une démonstration. Ce type d'exposition, les mathématiciens le savent tous, ne correspond pas à la façon dont les propriétés ont été découvertes, mais est une reconstruction a posteriori pour prouver la justesse de ces propositions. Ce mode d'exposition a l'énorme inconvénient de masquer le processus de création des mathématiques.

 

Évolution du concept de nombre

 

Qu'est-ce-qu'un nombre? Je cherche à répondre à cette question pour chacune des civilisations antiques ou médiévales qui a directement influencé la nôtre, puis à donner un éclairage historique à chaque sorte de nombres qui, à l'heure actuelle fait partie de la culture commune.

 

Les nombres négatifs sont aujourd'hui d'usage courant ; il n'y a qu'à écouter les bulletins météo les jours de grands froids pour s'en convaincre. Pourtant, ils ne furent acceptés qu'après une période de plusieurs siècles de controverses entre mathématiciens. C'est le développement des calculs algébriques qui a conduit à l'introduction des nombres négatifs et des imaginaires. Tour de force des mathématiciens : ils introduisent des nombres qu'ils qualifièrent eux-mêmes d'impossibles ou d'imaginaires, et les utilisèrent comme de purs symboles dénués de sens, mais qui leur permettaient d'obtenir des résultats intéressants !

 

Les nombres entiers furent les premiers utilisés et pensés en arithmétique. Qu'avons nous donc à apprendre à leur sujet ? Tout n'a-t-il pas été déjà dit ? En proposant une incursion guidée par Gauss en arithmétique pour découvrir des propriétés mathématiques des développements décimaux illimités de rationnels, on découvre des propriétés qui sont au coeur des problèmes de codage en informatique. Ainsi se vérifie une des propriétés étonnantes des mathématiques: les calculs fait par Gauss au début du dix-neuvième siècle avec de toutes autres préoccupations fournissent presque deux siècles plus tard un outil performant pour les informaticiens.

 

Qu'est-ce-qu'un irrationnel?  Est-ce-un nombre ? Pourquoi ce nom ? Les mathématiciens ont le don de détourner des mots familiers pour qualifier des objets mathématiques. Ce problème de l'irrationalité a été un thème majeur de réflexion dans la pensée grecque. Les réponses que les mathématiciens grecs ont apportées dans les Éléments d'Euclide ont conditionné le développement des mathématiques pour plus de deux mille ans. Sur cette question, « les irrationnels sont-ils des nombres ? », les citations montrant les oppositions et controverses entre mathématiciens au dix-septième et dix-huitième siècles donnent une autre image des mathématiques.

 

Les nombres réels.

De tout temps, les mathématiciens ont été confrontés au problème de l'infini. Son usage en mathématiques, avec le développement de l'analyse, est d'abord un fait qui enrichit la mathématique et les sciences d'une moisson de résultats. Les mathématiciens n'éprouveront le besoin d'introduire un ordre d'exposition rigoureux qu'au siècle dernier. Cette étude montre l'influence du développement de l'analyse sur l'élaboration du concept de nombre réel et présente la naissance des ensembles à la fin du siècle dernier avec les travaux de Cantor qui marquent la ré-introduction de l'infini en mathématiques. En donnant la parole aux mathématiciens eux-mêmes, avec des citations assez longues qui expliciteront leur conception des nombres, on peut convaincre chaque lecteur que les incompréhensions et les réticences éventuelles qu'il a pu avoir s'expliquent en voyant les difficultés des mathématiciens eux-mêmes.

 

L'infini, le discret et le continu

Au terme de ce voyage dans le temps, on retrouve les questions mêmes que s'étaient posées les grecs du rapport entre le discret et le continu. De même, l'usage de l'infini, avec l'analyse non standard qui trouve une justification logique pour les infiniments petits et les infiniments grands, évacués des mathématiques au siècle dernier, est toujours objet de réflexion. Mais entre temps, les mathématiques ont fait preuve d'une fantastique efficacité, en permettant le développement de la physique, de l'informatique, en leur apportant les outils abstraits dont elles avaient besoin. Contrairement à des affirmations simplistes, ce sont justement les développements les plus abstraits et qui semblent les plus gratuits, faits comme dit Dieudonné « Pour l'honneur de l'esprit humain » qui trouvent à s'investir dans les autres domaines physique et informatique.

 

Sens de notre enseignement

Quel sens a réellement notre enseignement et la formation qu'on donne aux étudiants ? Notre enseignement va toujours dans le sens d'une spécialisation croissante et de l'acquisition d'une grande technicité. Les étudiants acquièrent des savoirs parcellaires qu'ils ne savent pas toujours exploiter en dehors du contexte où ils les ont vus, ni relier ensemble en des conceptions plus globales.

Les mathématiques sont difficiles. On peut bien sûr, en découpant les difficultés et en entraînant efficacement les élèves ou les étudiants, leur faire acquérir des capacités techniques et algorithmiques. Mais cela suffit-il pour transmettre le sens de la démarche scientifique ? Pour retrouver du sens dans l'enseignement, il nous faut construire des cohérences globales et oser répondre à la question si souvent sans réponse dans l'enseignement : « Pourquoi fait-on ça ? » autrement que par : « C'est utile pour la suite de vos études ». Cela demande pour les enseignants un très gros travail de recherche car la réponse à une telle question n'est ni simple, ni unique; c'est plutôt une ouverture sur des points de vue multiples et complexes.

Il ne s'agit pas de donner une forme historique à l'enseignement, mais de faire prendre conscience que les mathématiques ont une histoire, qu'elles ne sont pas tombées du ciel et qu'elles sont des réponses à des problèmes fondamentaux que les peuples se sont posés et transmis de générations en générations et de peuples en peuples. En mathématiques, un thème unificateur paraît fondamental. Il s'agit du développement en parallèle de la construction des nombres et de la problématique de la mesure des grandeurs qui sont toutes les deux implicites actuellement dans l'enseignement.

 

Mathématiques et culture

 

Il n'est que d'entendre les discours tenus à l'heure actuelle sur le rôle des mathématiques pour être convaincu que les mathématiciens doivent s'efforcer de faire comprendre à un public large les thèmes et les problématiques qui nourrissent leur science.

Echec des « maths modernes » : Cela avait été l'une des ambitions des promoteurs des mathématiques modernes dont l'échec a été retentissant, car cette réforme était fondée sur l'illusion que l'accès aux grandes structures dégagées au terme de siècles de travail était une voie royale pour l'accès aux mathématiques. L'image ainsi donnée des mathématiques était celle d'une discipline fondée sur la rigueur d'un exposé axiomatique.

Suite à cet échec, les mathématiciens ont beaucoup travaillé, en particulier sur l'histoire et l'épistémologie de leur discipline. Aujourd'hui les chercheurs en mathématiques mettent l'accent sur la créativité et sur la fécondité des thèmes de rencontre entre domaines différents, internes ou externes aux mathématiques. Par exemple, les moyens de calcul actuels mettent à la disposition des mathématiciens des possibilités d'expérimentation et de conjectures qui rejaillissent sur la recherche dès maintenant.

 

Dangers de l'enseignement actuel

Comme on le voit dans des pays totalitaires ou dans les courants intégristes divers, on peut parfaitement récupérer un usage purement technique de la science. Nul scientifique ne peut se désintéresser du fait suivant: c'est dans les écoles de médecine ou d'ingénieurs, dans les universités scientifiques, que l'intégrisme se développe aujourd'hui. Chacun doit s'interroger sur ce qui, dans cet enseignement scientifique, permet cette récupération. Certainement le dogmatisme et la parcellisation des savoirs. La grande spécialisation a permis d'immenses progrès dans les domaines scientifiques, mais elle a d'énormes inconvénients qui sont clairs à l'heure actuelle. Il est de la responsabilité éthique et démocratique de chacun de réfléchir et de s'attaquer à ce problème comme tout citoyen d'une société démocratique doit le faire.

 

Pour un nouvel humanisme

Souvent l'enseignement des mathématiques a laissé de mauvais souvenirs, en particulier auprès de personnes ayant eu un cursus plutôt littéraire. Il faut développer, en particulier dans l'enseignement, des rencontres avec l'histoire, la philosophie, le français, les sciences de la vie et la physique, sans parler de l'informatique. Les humanistes de la Renaissance n'étaient pas des spécialistes, ils osaient s'attaquer à tous les domaines de savoir de leur époque. La séparation entre mathématiques et physique est très tardive et date seulement de la fin du siècle dernier. On doit s'efforcer de s'adresser aux profanes en mathématiques, car les mathématiques font partie de la culture de notre époque, elles influencent et sont influencées par les différents courants de pensée. C'est le sens que je donne à mon travail personnel en histoire des mathématiques.

 

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Published by Eliane Cousquer - dans histoire des mathématiques
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28 décembre 2010 2 28 /12 /décembre /2010 15:15

 

  • Origine chez les pythagoriciens
  • Platon et le Thééthète
  • La démonstration par le pair et l'impair
  • Justification actuelle
  • La méthode d'antiphérèse
  • Calcul de racines carrées
  • Calcul par les fractions continues
  • Approximations décimales
  • Décimaux et calcul de racines carrées
  • Bibliographie

Origine chez les pythagoriciens

La question de l'irrationalité s'est posée chez les grecs sous la forme de la découverte de l'incommensurabilité de segments.

Les irrationnels

On ne dispose d'aucune trace précise de la découverte de l'incommensurabilité de lignes. On a seulement des témoignages de commentateurs Pappus, Proclus et Iamblicus qui écrivent plus de 7 siècles après les faits. Pappus la situe dans la secte pythagoricienne à propos de la diagonale du carré et l'attribue à Hyppasius, Proclus l'attribue à Pythagore. Iamblicus situe cette découverte des irrationnelles non pas pour la diagonale du carré, mais pour le partage d'un segment en extrême et moyenne raison, c'est à dire à propos du nombre d'or. Les textes du Platon et d'Aristote plus proches des pythagoriciens la situent dans la secte pythagoricienne et parlent de la diagonale du carré. Aristote dit que si la diagonale était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. C'est la démonstration que nous connaissons bien. On pense généralement qu'il s'agit là de la première démonstration d'incommensurabilité de deux segments. Toutefois certains historiens émettent l'hypothèse que cette découverte ait été faite à propos du pentagone régulier étoilé qui était l'un des symboles de la secte pythagoricienne.

Démonstration par le pair et l'impair

On suppose que le rapport de la diagonale au côté est un quotient de deux entiers m et n. On peut remarquer qu'il n'y a pas besoin de supposer les entiers m et n premiers entre eux, mais seulement qu'ils ne sont pas tous les deux pairs. Ce qui n'utilise que des connaissances arithmétiques des pythagoriciens. On doit faire deux démonstrations.
a) Démontrer que le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair.
b) Supposons deux entiers non tous les deux pairs, tels que p2 = 2 q2. Montrer que p et q sont pairs. Conclure à une impossibilité.

Platon et le Thééthète

Le "Thééthète" a donné lieu à beaucoup de spéculations. Dans ce texte, Platon présente un mathématicien, Thééthète, qui vient de mourir, au moment où, dans sa jeunesse, il était élève du mathématicien Théodore et alors que Socrates avait rendu visite à son maître.

Thééthète: "Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos des racines et nous avait montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point pour la longueur commensurables avec celles de un pied, et les prenant ainsi, l'une après l'autre, il était allé jusqu'à celle de dix sept pieds et il s'était, je ne sais pourquoi, arrêté là. Il nous vint alors à l'esprit en considérant que les racines sont en nombre infini de les rassembler sous un terme unique qui nous servirait à nommer toutes les racines."
Socrates: "et ce terme, l'avez vous trouvé ? "

Thééthète : "je le crois: juges en toi-même ...
Nous avons divisé tous les nombres en deux classes: les uns, les nombres qui peuvent être formés par la multiplication de facteurs égaux, nous les avons représentés sous la figure du carré et nous les avons appelés carrés et équilatères ...
Pour les nombres placés entre les premiers, comme le trois, le cinq et tous les nombres qui ne peuvent être formés en multipliant des facteurs égaux, mais seulement en multipliant un plus grand par un plus petit ou un plus petit par un plus grand et qui s'expriment toujours par une figure aux cotés inégaux, nous les avons représentés sous la figure du rectangle et nous les avons nommés rectangulaires ...
Toutes les lignes dont le carré forme un nombre plan équilatère, nous les avons définies longueurs, et toutes celles dont le carré forme un nombre aux facteurs inégaux, nous les avons définies racines, parce qu'elles ne sont point commensurables avec les autres pour la longueur, mais seulement pour les aires qu'elles ont le pouvoir de former. Et nous avons opéré de même pour les solides."

Point de vue numérique

On peut considérer que ce texte marque le passage d'un point de vue purement géométrique, à un point de vue numérique, au moins partiellement. Ceci est une façon pour Platon de présenter Thééthète comme celui qui a fait progresser la théorie des nombres. Le dialogue de Platon, Le Théétète montre que Théodore , avait prouvé l'irrationalité des lignes que nous désignons par√3, √5, ...,√17,

mais qu'il s'était arrêté là. Son élève, le jeune Théétète mis en scène par Platon "annonce ses découvertes futures", en montrant l'existence d'une infinité d'irrationnelles et en indiquant les moyens de les classer. La mise en scène de Platon montre que Théodore avait démontré rigoureusement l'irrationalité d'un certain nombre de lignes, sans doute par des méthodes géométriques, mais qu'il a rencontré une difficulté au niveau de √17.

Débats d'historiens

Ce texte a suscité beaucoup de recherches en histoire des mathématiques pour trouver l'explication du dix sept. En gros, il y a deux modes d'explications ; l'une est la construction de ce qui est appelé l'escargot de Pythagore constitué de triangles rectangles de coté 1 et √2, ..., √17, car la figure boucle à cette étape. La deuxième mode d'explication est de voir jusqu'où la démonstration par le pair et l'impair est praticable.
C'est à partir de ces dialogues et des Éléments d'Euclide que les historiens des sciences essaient de reconstituer le cheminement des découvertes sur les irrationnelles. Théétète est crédité de démonstrations générales de type arithmétique sur les irrationnelles et de leur classement tel qu'il figure dans le livre 10 des Éléments. D'après le texte même du dialogue, les historiens supposent que Théodore avait établi une démonstration valide pour chacun des cas désignés par Théétète. Que ces démonstrations pouvaient s'appliquer à une infinité d'autres cas et qu'elles utilisaient des constructions géométriques. Ils supposent aussi que les méthodes arithmétiques mises au point par Théétète n'étaient pas disponibles pour Théodore.

La démonstration par le pair et l'impair

Des historiens comme Knorr ont essayé de reconstituer les démonstrations de Théodore en utilisant des arguments connus des pythagoriciens. Tout d'abord, il est facile de voir que la démonstration utilisée pour √2 vaut pour les entiers pairs qui ne sont pas des carrés, à savoir 6, 8, 10, 12, 14. Il reste à s'occuper de 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17. Nous allons grouper ces entiers en plusieurs familles.
Remarquons d'abord que si on a A2 = N B2, avec A et B non tous deux pairs, N étant impair, cela oblige que A et B soient impairs.

A = 2 a + 1 et B = 2 b + 1. Alors A2 = NB2 se traduit par:

4 a(a + 1)+ 1 = N [4 b(b + 1)+ 1]
N = 4 n + 3
Ceci recouvre les cas des entiers 7, 11, 15. L'égalité précédente se réécrit:
4 n[4 b(b + 1)+ 1] + 12 b(b + 1) + 3 = 4 a(a + 1) + 1
8 n b(b + 1) + 2 n + 6 b(b + 1) + 1 = 2 a(a + 1)
Un nombre pair est égal à un nombre impair: impossible.

N = 8 n + 5
Ceci recouvre les cas des entiers 5 et 13. Si on réécrit la même égalité, on obtient:
8 n + 8 n b(b + 1) + 20 b(b + 1) + 5 = 4 a(a + 1) + 1
2 n + 2 n b(b + 1) + 5 b(b + 1) + 1 = a(a + 1)
Un nombre pair égal à un nombre impair, ce qui est impossible.

8 n + 1
Ceci recouvre le cas 17.
17[4 b(b + 1) + 1] = 4 a(a + 1) + 1
17 b(b + 1) + 4 = a(a + 1)
Égalité de deux nombres pairs qui ne permet pas de conclure.

Justification actuelle

Bien sûr, les démonstrations actuelles utilisent la décomposition en facteurs premiers. Un nombre est le carré d'un entier si et seulement si tous les exposants des facteurs premiers qui figurent dans sa décomposition sont pairs. Tout nombre entier dont un des exposants des facteurs premiers qui figurent dans sa décomposition est impair est un nombre irrationnel. La démonstration de ce fait utilise le théorème de Gauss.

Soit p un facteur d'exposant a impair dans la décomposition de N. Si on suppose une fraction irréductible A/B égale à  
 N, A2 = N b2, on montre que pa divise A2, et donc pa+1 aussi. L'égalité se simplifie par pa et permet de montrer ensuite que p divise B et d'obtenir une contradiction.

La méthode d'antiphérèse.

On connaît une autre démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale avec le côté du carré que celle par le pair et l'impair évoquée par Aristote. Elle repose sur la méthode d'antiphérèse (ou méthode de soustraction réciproque). On appelle ainsi l'algorithme de recherche d'une commune mesure entre deux lignes décrit dans le livre 10 des Éléments d'Euclide.

Soit un carré ABCD. On reporte sur la diagonale AC une longueur AE égale au côté AB et on mène la perpendiculaire à la diagonale en E qui coupe le côté BC en F. Il est facile de montrer que les triangles rectangles ABF et AEF qui ont leurs diagonales confondues et un côté AB égal au côté AE, sont égaux. Donc BF=EF. Le triangle EFC est un triangle rectangle qui a un angle de 45 degrés donc il est isocèle et EF=EC.

Appliquons maintenant l'algorithme de recherche d'une commune mesure. Une mesure commune à AC et AB est une commune mesure à AB et EC donc à AB et BF. Si on construit le carré EFGC, on est ramené à la recherche d'une commune mesure entre la diagonale FC et le côté EC. On recommence et on obtient un nouveau carré semblable au précédent. Cela montre que le processus ne se termine pas. Il n'y a donc pas de commune mesure.

Calcul de racines carrées

Un algorithme, qui est le plus efficace dans un sens que nous allons préciser ensuite, est obtenu à partir d'idées en apparence très différentes. C'est celui qui est programmé dans les calculettes et qu'on appelle suivant les livres algorithme de Babylone ou algorithme de Héron.

Algorithme de Babylone

On trouve sur une tablette (YBC 7289), le dessin d'un carré et de ses diagonales. Une longueur en sexagésimal est indiquée pour le coté et pour la diagonale. Sous la diagonale est indiqué un nombre sexagésimal 1, 24, 51, 10 qui évalué dans un système décimal fournit la valeur 1,414213 qui est une valeur approchée de √2 à 10-6 près.

Comment cette valeur a-t-elle pu être trouvée ? On peut seulement, en l'absence de textes écrits, supposer le raisonnement suivant, valable d'ailleurs pour
√A,  A étant n'importe quel entier non carré.

Si a est une valeur approchée de cette racine, il est facile par un simple calcul d'encadrement constater que a et A/a sont deux valeurs qui encadrent la racine. En prenant la moyenne des deux valeurs, on a des chances d'améliorer la précision, remarque qui a pu être vérifiée empiriquement en élevant le nouveau nombre au carré.

Cela donne en terme de suite :

xn=
1

2
(xn-1 +
A

xn-1
)

Algorithme de Héron

Cette même méthode est exposée dans le texte suivant de Héron. Rappelons la formule de Héron qui permet d'obtenir l'aire S d'un triangle de cotés a, b, c et de périmètre p par la formule:

heron

La méthode exposée ci-après n'est pas la seule méthode employée par Héron. Nous y reviendrons plus tard. Voici l'exposé par Héron d'une méthode de calcul de √720

"Puisque 720 n'a pas de coté rationnel, nous extrairons le coté avec une très petite différence de la façon suivante. Comme le premier nombre carré plus grand que 720 est 729 qui a pour coté 27, divise 720 par 27, cela fait 26 et 2/3 ; ajoute 27, cela fait 532/3 ; prends-en la moitié : cela fait 26 5/6
En fait 26 5/6 multiplié par lui-même donne 720 1/36 ; de sorte que la différence est 1/36.
Si nous voulons rendre cette différence inférieure encore à 1/36, nous mettrons 720 1/36 trouvé tout à l'heure à la place de 729*, et en procédant de la même façon, nous trouverons que la différence est beaucoup plus petite que 1/36."
Les Métriques, livre 1 traduction de Mathématiques au fil des âges.

Algorithme de Descartes ou d'Euler

On peut aboutir au même algorithme à partir du point de vue suivant bien exprimé par Euler (extrait des Éléments d'Algèbre, ch. 785 et 786).

Le premier moyen dont nous parlerons suppose qu'on ait déjà déterminé assez exactement la valeur d'une racine ; qu'on sache, par exemple, qu'une telle valeur surpasse 4 et qu'elle est plus petite que 5. Dans ce cas, si l'on suppose cette valeur 4 + p, on est sûr que p exprime une fraction. Or si p est une fraction, et par conséquent moindre que l'unité, le carré de p, son cube, et en général toutes les puissances plus hautes de p, seront encore beaucoup plus petites que l'unité, et cela fait que, puisqu'il s'agit d'une approximation, on peut les omettre dans le calcul.

Partant d'une valeur approchée a de √A, nous cherchons à l'améliorer en introduisant un terme correcteur h. On cherche (a + h)2 = A = a2 + 2 a h + h2. Négligeons h2. On prend h = (A - a2)/2 a. Alors la nouvelle valeur approchée est h = (A + a2)/2 a = 1/2(a + A/a)

Algorithme de Newton

On retrouve encore cet algorithme sous la forme de l'algorithme de Newton, qui expose sa méthode en 1669 sans donner d'interprétation géométrique ; celle-ci est l'oeuvre de Raphson puis la justification celle de Fourier. On considère la courbe y = x2 - A et on cherche la valeur de x pour laquelle y = 0. Partant d'une valeur proche a de la racine, on trace la tangente à la courbe au point (a, a2 - A). La tangente à la courbe a pour équation

y - (a2 - A) = 2 a(x - a)

Alors on obtient pour l'intersection de cette tangente avec l'axe des x la valeur x = A + a2/2 a, ce qui est la valeur donnée par les autres méthodes.

Justification de la convergence

Convergence de cet algorithme

Voici l'étude la convergence de cet algorithme dans le cas de √2 sous forme de problème.
Dans le plan xoy, on porte sur ox une suite de points a1, ..., an... et sur Oy une suite de points b1, ..., bn,..., construites de la façon suivante :

1) a1 = 2 et b1 = 1

2) an = (an-1+ bn-1)/2

3) anbn = 2

Représenter cette suite de rectangles de cotés an et bn.

Démontrer les trois propriétés suivantes : " n, bn < an, la suite (an)n Î N est décroissante, la suite (bn)n Î N est croissante.

Calculer an - bn en fonction de an-1 - bn-1 et de an. Montrer que l'on a l'inégalité :

an - bn   <  
(an-1 - bn-1)2

4


Calculer les premiers termes de la suite (an)n Î N. Combien de décimales exactes a -t-on à chaque fois ? Utiliser l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes double à chaque fois.

Autre justification de la convergence

On peut aussi justifier la convergence de l'algorithme par les théorèmes sur les suites récurrentes. On trace le graphe de la fonction

f(x)  = 
1

2
(x +
A

a
)

et on justifie la convergence vers le point fixe solution de x = f(x)

Calcul par les fractions continues

Le procédé grec d'antiphérèse a fourni aux Grecs le moyens de trouver un algorithme d'approximation de√2 de la façon suivante.

On pose FC = d, EC = s, alors si on évalue le côté du carré ABCD et sa diagonale en fonction de d et de s, on obtient AB = d + s et AC = d + 2s. Définissons une double suite :

dn+1 = dn + 2 sn,     sn+1 = dn + sn.

On obtient facilement que

dn+12 - 2 sn+12 = 2 sn2 - dn2.

Il suffit alors de se donner pour point de départ des deux suites s0 = 1 et d0 = 1 pour obtenir +1 ou -1 pour la quantité dn2 - 2sn2. La suite des rapports dn /sn converge vers √2.  Les premières valeurs sont 3 /2, 7 /5 utilisé par Aristaque, 17 /12 utilisé par Héron.

Cet algorithme revient, avec les notations qui sont les nôtres, à faire un développement en fraction continue.
Si nous écrivons de cette façon le développement de √2, nous obtenons :

 

fracracine2

On peut aussi noter √2 = á1,2,2,2,2, ...ñ.

On peut constater que cet algorithme fournit les mêmes approximations que l'algorithme du coté et de la diagonale. Si pn/qn est une approximation, la valeur suivante se calcule comme :

frac

Les fractions continues ont joué un rôle fondamental dans l'histoire des approximations.

Approximations décimales

Les travaux d'approximation de rapports par des rationnels et amènent les mathématiciens à s'interroger sur le statut des rapports irrationnels. Sont-ce des nombres ou sont-ils associées à des nombres ?

Les décimaux

 La découverte des décimaux chez les arabes et leur redécouverte en Europe poussent certains mathématiciens à des prises de position nettes sur cette question. Le contexte dans lequel est apparue la théorie des décimaux est important, lié à la fois à des calculs sur les polynômes, et à des calculs d'extractions de racines ne. Les traces de la diffusion de ce savoir vers l'Europe sont très parcellaires, mais attestées. Les décimaux semblent avoir fait l'objet d'une redécouverte en Europe au seizième siècle, par plusieurs auteurs dont le plus connu est Stévin. Les décimaux ont tout de suite été utilisés, par exemple par Viète pour la détermination d'approximations sous forme de fractions décimales des solutions positives d'équations algébriques, et pour l'établissement des tables de logarithmes. L'extension formelle des décimaux aux développements décimaux illimités attendra le développement de l'analyse (en 1742 dans un texte de John Marsch). Plus tard, certains voudront les utiliser pour considérer les irrationnels comme des nombres définis par un développement décimal illimité.   Cependant leur usage posera les questions suivantes : le développement décimal illimité des fractions est périodique ; il y a une loi pour écrire les chiffres ; le développement décimal illimité des irrationnels n'a pas de loi ; n'est ce pas un objet vide ?

Décimaux et calcul de racines carrées

Pour le calcul de racines carrées, on a déjà vu un algorithme, sous le nom d'algorithme de Babylone et d'algorithme de Héron, où le nombre de chiffres décimaux exacts double à chaque pas d'itération. Voyons maintenant un algorithme qui détermine les chiffres décimaux successifs d'une racine carrée.

Newton a beaucoup travaillé sur les calculs d'approximations de racines d'ordre quelconque, à l'aide de décimaux. Voici un exemple de calcul d'une racine carrée par Newton,(Lectures on algebra p. 88.). Ce texte décrit une méthode qui a été enseignée en France jusqu'au développement des calculettes.

Il s'agit d'extraire la racine carrée de 99856. Cet algorithme détermine successivement les chiffres en partant de ceux d'ordre le plus élevé. Il repose entièrement sur l'identité algébrique (A + b)2 = A2 + 2 A b + b2. On suppose qu'à une étape on ait déjà déterminé A, qu'on ait retiré au nombre donné le carré de A et qu'on cherche le chiffre b suivant ce qui revient à appliquer l'identité avec (A × 10 +b)2. Il faut donc retirer 2 × (A × 10) × b + b2, ce qui explique que Newton double d'abord le nombre A avant de lui juxtaposer le chiffre b pour retirer (2 × (A × 10) + b) × b et donc avoir retiré le carré du nouveau nombre obtenu à cette nouvelle étape.

table


La première étape consiste à partager ce nombre en tranches de deux chiffres : 9.98.56. On cherche le plus grand nombre dont le carré soit 9. On obtient 3, premier chiffre de la racine cherchée et on retire son carré au premier bloc sur le gauche. Il reste 0. Le nombre cherché commence par un 3.

On abaisse la deuxième tranche 98, on double le premier chiffre 3 obtenu et on cherche le plus grand chiffre b tel que 6b × b soit inférieur à 98. Cela revient à chercher combien de fois 6 est contenu dans 9. On obtient b = 1 comme deuxième chiffre. On retire 61 à 98, on obtient 37. Le nombre cherché commence par 31.

On abaisse la troisième tranche et on travaille maintenant avec 3756. On double le nombre 31 obtenu comme début de notre racine. On obtient 62 et on cherche un troisième chiffre c tel que 62c × c soit le plus grand possible inférieur à 3756, ce qui revient à diviser 375 par 62. On obtient c=6. On retire à 3756 le nombre 626 × 6 = 3756, on obtient 0. Le nombre de départ est un carré 99856= 3162.

Pour extraire la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré, ou d'un nombre décimal la même méthode s'applique en partageant le nombre en tranches de deux chiffres de part et d'autre du point décimal. La suite du texte traite les extractions de racines cubiques etc.

Bibliographie : Les nombres irrationnels
Barbin
Saisir l'irrationnel : Dire, montrer, faire toucher, tenir, APMEP numéro 400 septembre 1995.
Cousquer
La fabuleuse histoire des nombres édition Diderot, 1998.
Daumas
Activités en classe sur l'irrationalité de Pythagore à Théon de Smyrne, Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques Besançon 1995.
Daumas
Une approche de l'irrationalité : algorithme d'Euclide et fractions continues Commission Inter Irem épistémologie et histoire des mathématiques, Histoire d'infini Landerneau 1992.
Houzel
Qu'est-ce qu'un nombre réel ? La Recherche Novembre 1995.
IREM
Histoires de problèmes, histoire des mathématiques, Faut-il toujours raison garder et En route vers l'infini Ellipses, 1993.
Jaboeuf
Les fractions continues, revue Quadrature numéros 1 à 6.
Thomas, Van Dieren, Rouche
Mesures, pavages et nombres irrationnels, GEM Louvain la Neuve.



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Published by Eliane Cousquer - dans histoire des mathématiques
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26 décembre 2010 7 26 /12 /décembre /2010 15:18

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Il est difficile de dater l’apparition du résultat concernant l’hypoténuse du triangle rectangle connu de plusieurs civilisations. L’attribution de ce résultat à Pythagore repose sur des témoignages très imprécis pour les mathématiques grecques.

  • Dans une première partie, après avoir vu la première démonstration connue qui figure dans les Éléments d’Euclide, les commentaires de Proclus, ainsi que quelques généralisations du théorème par Euclide et Pappus, on présentera les hypothèses avancées par les historiens sur le travail de Pythagore.
  • Dans une seconde partie, l’apparition de ce résultat dans différentes civilisations, babylonienne, indienne et chinoise, parfois très longtemps avant Pythagore sera montrée. 
  • Dans la troisième partie, différents types de preuves seront analysés pour ce théorème classique qui a suscité des centaines de démonstrations dans l’histoire.

 

Le théorème de Pythagore et les mathématiques grecques

Il n’est pas possible de tracer ici les grandes lignes de l’histoire de la Grèce  antique. Dans l’histoire grecque, on distingue la période classique de −600 à −300 et la période hellénistique ou alexandrine de −300 à 600. Pour la connaissance des mathématiques de la période classique, on ne dispose pas de manuscrits originaux. Les sources que nous possédons sont des livres grecs écrits de 500 à 1500 ans après les oeuvres originales, des transcriptions arabes d’oeuvres grecques, des transcriptions latines d’oeuvres arabes. On possède ainsi des oeuvres d’Euclide, d’Apollonius, d’Archimède, de Ptolémée, de Nicomaque, de Diophante. Des commentaires de Pappus (300), et de Proclus (410–485) sont conservés.


Les premiers mathématiciens grecs

Les Grecs ont toujours affirmé avoir trouvé en Égypte et en Mésopotamie les matériaux de base pour leur astronomie et leur géométrie. Les premiers mathématiciens grecs  sont issus d’Asie Mineure. Le début du développement des mathématiques grecques 3 s’est fait au carrefour de ces civilisations.

Thalès de Milet en Asie (−640, −546) est supposé avoir calculé à l’aide d’un bâton la hauteur d’une pyramide, calculé la distance d’un bateau en mer. Thalès est crédité de trois résultats importants: un diamètre partage un cercle en deux parties égales; un angle inscrit dans un demi-cercle est droit; dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. L’apport de Thalès est d’avoir introduit des démonstrations en mathématiques, au lieu de résultats épars, tantôt justes, tantôt faux en usage jusque là.

Pythagore originaire de Samos, après des voyages en Égypte et en Mésopotamie, s’installe dans le sud de l’Italie où il crée une secte mystique (Pythagore défendait la théorie de la métempsycose) et une école, société d’adeptes dont les connaissances étaient tenues secrètes. La tradition pythagoricienne dura plusieurs siècles. Plus tard, tous les travaux collectifs de cette école furent attribués à son fondateur. Aucun écrit direct de la période de Pythagore n’ayant été conservé, nous connaissons l’oeuvre arithmétique des pythagoriciens par le livre 7 des Élémentsd’Euclide, la théorie des nombres figurés par le livre d’arithmétique de Nicomaque (100). En géométrie, les pythagoriciens ont obtenu différents résultats sur la somme des angles d’un triangle, sur des figures régulières et commencé à développer ce qu’on appelle la méthode d’application des aires. L’attribution du théorème sur l’hypoténuse à Pythagore repose sur quelques éléments épars et fragiles.

 
Les Éléments d’Euclide

On sait très peu de choses sur Euclide. On est presque sûr qu’il vécut à Alexandrie vers -300. Il est surtout connu pour être l’auteur des Éléments, livre synthèse des connaissances mathématiques de base antérieures, en particulier des élèves de l’école de Platon.

Les Éléments furent longtemps considérés comme un modèle de rigueur qui établit tout l’édifice mathématique à partir de quelques prémisses appelées axiomes et postulats, et progresse de théorème en théorème à l’aide de déductions logiques. Le cinquième postulat, dit postulat des parallèles, sera une source de travaux pour deux mille ans, jusqu’à l’invention des géométries non euclidiennes. Les quatre premiers livres traitent des grandeurs géométriques, avant que soient définis les rapports de grandeurs dans le cinquième livre, et que cette théorie des rapports en géométrie plane soit utilisée dans le sixième. Les livres sept, huit et neuf sont des livres d’arithmétique. Le livre dix porte sur la question de l’irrationalité. Les livres onze douze et treize sur la géométrie des solides.

fig47Dans les Éléments d'Euclide, le théorème dit de Pythagore est la proposition 47 du livre 1.

Dans un triangle rectangle, le carré du côté opposé à l’angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent l’angle droit.



Nulle part ne se trouve le nom de Pythagore chez Euclide. Le théorème qui porte ce nom, la proposition 47 et sa réciproque, la proposition 48 sont les deux dernières propositions du livre 1. Pour nous, cet énoncé est un énoncé entre des nombres : on mesure les trois côtés, on calcule le carré de chacun des nombres et le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit. Rien de tel dans le texte euclidien qui est une égalité de surfaces. En fait, on démontre que le carré sur l’hypoténuse se partage à l’aide de la hauteur relative à cette hypoténuse en deux rectangles "égaux" aux carrés sur les côtés de l’angle droit.
Les pré-requis de la démonstration

La justification de la construction du carré

1et46La proposition 46 du livre 1 sert à justifier la construction classique d’un carré de côté donné :

Décrire un carré au moyen d’une ligne donnée.

 

L’égalité de triangles

Les propositions 4, 8 et 26 établissent les cas de congruences de triangles appelés "cas d’égalité" dans la littérature classique.

 

prop4La proposition 4 établit que Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont un angle égal à un angle, celui contenu par les droites égales, ils auront aussi la base égale à la base, les triangles seront égaux et les angles restants seront égaux, chacun à chacun, c’est-à-dire ceux que les côtés égaux sous-tendent.

 

Cette proposition est utilisée dans la démonstration de la proposition 47. Pour la démonstration de la proposition 47, Euclide fait appel, en dehors de la proposition 4, à la Proposition 37, très utilisée par Euclide

prop37Proposition 37 : Les triangles qui sont entre les mêmes parallèles et qui ont la même base sont égaux.

 

 

 

Ici, il importe de comprendre que la notion d’égalité en jeu recouvre ce que nous appelons égalité d’aire et non une congruence ou isométrie de triangles. Elle se prouve par des démonstrations analogues à des découpages. Nulle part dans Euclide, ne se trouve écrite une formule de calcul d’aire.

 
La démonstration d’Euclide

proposition47Proposition 47 Dans un triangle rectangle, le carré du côté opposé à l’angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent l’angle droit.

 

 

 

 

 

 

On construit un carré sur chacun des côtés du triangle rectangle ABC. Soient les carrés ABGF, BCKH, ACED. Avec des critères définis précédemment, on montre que le carré construit sur l’hypoténuse peut être découpé par la perpendiculaire BIL au côté DE en deux rectangles égaux aux carrés construits sur les côtés. On montre par la proposition précédente que les triangles AFG et AFC sont égaux ; puis que ABD et ALD sont égaux. Enfin à l’aide d’un des cas d’égalité des triangles sur les deux triangles AFC et ABD sont égaux. Ceci montre l’égalité du carré ABGF et du rectangle AILD.

proposition48La proposition 48 Si, dans un triangle, le carré sur l’un des côtés est égal aux carrés sur les deux côtés restants du triangle, l’angle contenu par les côtés restants du triangle est droit.

 

C’est la réciproque de la proposition précédente. La démonstration est une démonstration qui utilise le théorème direct. Si BC² = AC² + AB², on mène à angle droit à l’extérieur de ABC un segment AD égal à AB, en appliquant le théorème 47 on montre CD² = AD² + AC² et on déduit l’égalité de CD et CB et celle des triangles ADC et ABC qui ont leurs cotés égaux, et donc que l’angle en A du triangle ABC est droit.


Les prolongements du livre 2

fig1213Dans le livre 2, Euclide pose le problème de carrés construits sur les côtés d’un triangle quelconque. Il énonce les deux résultats suivants. Les proposition 12 et 13 dans le cas des triangles non rectangles avec le cas où l’angle en B est obtus et le cas où il est aigu et calcul du carré du côté opposé.

Proposition 12 Dans les triangles obtusangles, le carré sur le côté sous-tendant l’angle obtus est plus grand que les carrés sur les côtés contenant l’angle obtus de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l’angle obtus sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée à l’extérieur par la perpendiculaire au delà de l’angle obtus.

Proposition 13 Dans les triangles acutangles, le carré sur le côté sous-tendant l’angle aigu est plus petit que les carrés sur le côtés contenant l’angle aigu de deux fois le rectangle contenu par celui des côtés de l’angle aigu sur lequel tombe la perpendiculaire et par la droite découpée par la perpendiculaire en deçà de l’angle aigu.

Activité de découverte possible :  Ce résultat donne l’idée d’une activité de découverte du théorème de Pythagore à l’aide de calculatrice supportant des animations géométriques ou d’un ordinateur. On construit des carrés sur les côtés d’un triangle quelconque, ABC. On fixe les points A et C. On cherche les points B tels que AB² + BC² = AC² (en faisant varier B sur une perpendiculaire à AC d’abord).


Les commentaires de Proclus

Celui-ci écrivit au cinquième siècle de notre ère un commentaire sur le premier livre des Éléments qui contient beaucoup d’indications historiques sur les mathématiques grecques. Nous nous intéresserons ici exclusivement à son commentaire des propositions 46, 47 et 48.


Commentaire de la proposition 46

Euclide avait éminemment besoin de ce problème pour organiser celui qui va suivre. Mais il semble toutefois avoir voulu nous transmettre la genèse des deux meilleures figures rectilignes : le triangle équilatéral et le carré en raison, sans doute, de leur emploi dans la structure des corps cosmiques et principalement de quatre d’entre eux dont ces figures sont la genèse et la résolution. En effet, l’icosaèdre, l’octaèdre et la pyramide se composent de triangles et le cube de carrés, et c’est, nous semble-t-il la raison pour laquelle il a d’abord constitué le triangle et décrit le carré. Il a, du reste, imaginé ces expressions comme convenant à ces figures : l’une ayant besoin d’une constitution en tant que réalisant un assemblage de plusieurs côtés, l’autre d’une description en tant qu’engendrée par un seul et même côté.

1et46Ce commentaire souligne l’importance des solides polyèdres réguliers et l’on a pu dire que la justification de leur construction était l’objectif du livre treize des Éléments d’Euclide.

La suite du commentaire de la proposition 46 du livre 1 insiste sur une distinction pour nous peu évidente entre le triangle équilatéral construit dans la proposition 1 du livre 1 et celle du carré décrit dans la proposition 46 (qui nécessite la théorie des parallèles).
D’ailleurs, nous obtenons le triangle, non pas de la même manière que le carré en multipliant par lui-même le nombre d’une droite donnée, mais en menant les droites de jonction d’un autre lieu sur les extrémités d’une droite, nous composons au moyen de ces droites un seul triangle équilatéral, et une description de cercles contribue à trouver le point d’où les droites de jonction doivent être menées sur les extrémités de la droite donnée.
Ensuite, Proclus ajoute deux démonstrations, l’une pour montrer que des carrés construits sur des droites égales sont égaux (en montrant l’égalité de triangles moitié des carrés) mais aussi pour justifier une réciproque, que si deux carrés sont égaux, ils sont construits sur des droites égales. Ce texte est important car la figure présentée par Proclus a été présentée comme une source possible du résultat de Pythagore dans le cas d’un triangle rectangle isocèle. Pour nous, il est difficilement compréhensible si on ne se souvient pas que la notion de carrés égaux ou de figures égales représente l’égalité des aires.

proclusSi des carrés sont égaux leurs côtés sont égaux.

 

 

 

 

 

 

 

Soient AZ, CH des carrés égaux et disposons les de manière que la droite AB soit dans la direction de la droite BC. Dès lors, les angles étant droits, la droite ZB est aussi dans la direction de la droite BH. Menons les droites de jonction ZC, AH. En conséquence, puisque le carré AZ est égal au carré CH, le triangle AZB est aussi égal au triangle CBH. Ajoutons de part et d’autre le triangle BZC ; il s’ensuit que le triangle entier ACZ est égal au triangle entier CZH; donc la droite AH est parallèle à la droite ZC. ...

Ici Proclus utilise le résultat de la proposition 37 qui dit que deux triangles égaux ayant la même base sont entre les mêmes parallèles.

Derechef, puisque l’angle compris sous les droites AZ, ZH est la moitié d’un angle droit ainsi que l’angle compris sous les droites CH, HB, la droite AZ est parallèle à la droite CH ; donc la droite AZ est égale à la droite CH, vu que ces droites sont les opposées d’un parallélogramme. Dès lors, puisque les droites AZ, CH étant parallèles, on a deux triangles ABZ, BCH ayant les angles opposés égaux et un côté AZ égal au côté CH, il s’ensuit que le côté AB est aussi égal au côté BH et le côté BZ au côté BH. Il est donc démontré que, si les carrés AZ, CH sont égaux, les côtés au moyen desquels ils sont construits sont égaux aussi.

Proclus et les propositions 47 et 48: Dans les triangles rectangles, le carré décrit au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux carrés décrits au moyen des côtés qui entourent l’angle droit. À entendre ceux qui prétendent nous rapporter des choses anciennes, on les trouve attribuer ce théorème à Pythagore et dire qu’il sacrifia un boeuf à l’occasion de sa découverte.

Le seul témoignage antérieur à notre ère qui nous soit parvenu sur Pythagore est un distique d’Appollodore de Cyzique, disciple de Démocrite vivant au quatrième siècle avant notre ère. Pythagore inventant la célèbre figure offrit une victime et rendit grâce aux dieux .

Il est cité par Plutarque, (premier siècle de notre ère), et Diogène Laërce, (troisième siècle). Vitruve quant à lui attribue la découverte du triplet (3, 4, 5) à Pythagore et en fait l’occasion du sacrifice.  Quand Pythagore eut fait cette découverte, il ne douta pas qu’elle ne lui eut été inspirée par les muses, et l’on dit qu’en action de grâces, il leur fit un sacrifice.
Proclus est sceptique, peut-être parce que ce sacrifice est en contradiction avec les moeurs végétariennes de la secte pythagoricienne. Mais pour ma part, j’admire ceux qui se sont appliqués les premiers à la vérité de ce théorème, et je loue encore plus l’Auteur des Éléments, non seulement pour nous avoir convaincus de ce théorème par la démonstration la plus claire, mais pour nous avoir persuadés d’un théorème plus général que celui-ci par les raisonnements irréfutables de la science dans son sixième livre.

C’est à peu près tout ce que dit Proclus sur le théorème 47. On voit donc qu’il attribue à l’auteur des Éléments la démonstration de la proposition. Ceci a alimenté deux types de discussions :

Quelles furent les découvertes de Pythagore ?

• Quelle a été la démonstration fournie par Pythagore pour le résultat connu sous son nom ?

• Quelles sont les méthodes de démonstration antérieures à celles d’Euclide ?
Les généralisations du théorème de Pythagore ?


La généralisation d’Euclide

Quel est donc le résultat, généralisation de la proposition 47 du livre 1, admiré par Proclus ?

pentagoneLa proposition 31 du livre 6 des Éléments
Dans les triangles rectangles, la figure sous-tendant l’angle droit est égale aux figures sur les côtés de l’angle droit, semblables et semblablement décrites.

 

 

 

 

 

 

Ce théorème repose sur le fait que les aires des figures semblables sont entre elles comme les carrés du rapport des cotés. Dans le livre 6, il porte sur des figures rectilignes, mais il se généralise à des figures semblables quelconques.

lunuleAvec ce théorème, on retrouve un résultat sur les lunules, les aires des demi-cercles étant proportionnelles aux carrés des diamètres. Un cas particulier de figures semblables est constitué de demi-disques. On en déduit que les lunules sont "égales" au triangle rectangle.


Le commentaire de Proclus

(L’Auteur des Éléments) démontre dans ce théorème-là, que dans les triangles rectangles, la figure décrite au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés placés autour de l’angle droit. En effet, tout carré est semblable à un carré, tandis que toutes les figures semblables entre elles ne sont pas des carrés ; car il y a de la similitude dans les triangles et dans d’autres polygones. C’est pourquoi le raisonnement qui démontre que la figure carrée ou telle autre qu’on voudra, décrite au moyen du côté qui sous-tend l’angle droit, équivaut aux figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés situés autour de l’angle droit, fait voir quelque chose de plus général et de plus savant que le raisonnement qui prouve que le carré seul équivaut aux carrés. C’est en effet là que, du fait même de la démonstration générale, il devient manifeste que la rectitude de l’angle confère à la figure décrite au moyen du côté qui sous-tend cet angle l’équivalence à toutes les figures semblables et semblablement décrites au moyen des côtés qui entourent cet angle, de même que l’état obtus de cet angle confère un excédent et son état aigu un défaut.

Proclus continue par une remarque sur l’usage des similitudes pour démontrer le théorème dit de Pythagore en soulignant que ce type de démonstration n’était pas possible à la fin du livre 1. Par contre, on verra que certains historiens pensent que telle était une des démonstrations possibles donnée par Pythagore.

semblable On utilise la similitude des triangles ABC, BHC et AHB pour écrire AH/AB = AB/AC et HC/BC = BC/AC; ensuite on utilise AC = AH + HC pour déduire (AH + HC)*AC = AB*AB + BC*BC et le résultat cherché.

 

 

 

 

C’est donc là que se manifestera la manière dont se démontre le théorème qui se trouve dans le sixième livre et nous remarquerons comment se justifie ici le présent théorème si nous ajoutons que le théorème général n’avait pas à être démontré par qui n’avait encore rien enseigné sur la similitude des figures ni absolument rien démontré sur les proportions ; car c’est par cette voie que beaucoup de choses qui nous sont démontrées ici d’une manière particulière se démontrent de manière plus générale. L’auteur des Éléments démontre donc actuellement ce qui est mis en question en partant de la considération vulgaire des parallélogrammes...


DSC00311

Ces deux belles figures de décompositions

ont été présentées au colloque ICMI 2000 de Kokyo.

 

 

 

 

 

 

DSC00312

Il faut cependant remarquer que ni la première décomposition ni la second ne sont générales. Elles sont valables pour un cas particulier de triangle rectangle.

 

 

 

 

 

La généralisation faite par Pappus

Dans sa Collection mathématique livre IV proposition 1 propose la généralisation suivante.

Si dans un triangle ABC, on décrit sur les côtés AB, BC des parallélogrammes quelconques ABDE et BCFG; si les droites DE et FG se coupent en H et qu’on mène la droite HB; les parallélogrammes ABDE, BCFG deviennent équivalents à celui qui est entouré par les droites AC, HB dans un angle égal à la somme des angles compris sous les droites BA, AC et sous les droites DH, HB.

papus
La généralisation de Clairaut

clairautClairaut a proposé une variante du théorème de Pappus. La condition donnée sur les angles est remplacée par une égalité de longueur.  Clairaut utilise à peu près le même point de départ que Papus. Toutefois le parallélogramme contruit sur AC est porté à l’extérieur du triangle ABC et est défini par un report de longueur.

Cas particulier du triangle rectangle
papusrect
La configuration de Pappus fournit une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore avec la configuration suivante.


Proclus sur Pythagore

La suite du commentaire de Proclus sur le théorème de Pythagore est intéressante, car elle montre les idées associées par Proclus au nom de Pythagore.

Proclus sur le triangle rectangle (3, 4, 5)

Or les triangles rectangles étant de deux genres, les isocèles et les scalènes, on ne trouvera jamais des nombres qui s’ajustent aux côtés dans les triangles isocèles; car il n’y a pas de nombre carré double d’un nombre carré, à moins qu’on ne parle d’un nombre approché, et en effet, le carré du nombre 7 est le double du carré de 5 à moins d’une unité. D’autre part, il est possible de trouver dans des triangles scalènes des nombres qui nous montrent d’une manière évidente que le carré du côté qui sous-tend l’angle droit équivaut aux carrés des côtés situés autour de cet angle droit. C’est ainsi que le triangle se comporte dans la La République 11 où les nombres 3 et 4 comprennent l’angle droit et où le nombre 5 le sous-tend. Le carré de 5 y est donc équivalent aux carrés de ces nombres, car ce carré est 25 et les carrés des autres nombres sont 9 celui de 3 et 16 celui de 4.

Proclus sur les triplets pythagoriciens

Il s’agit de caractériser les entiers a, b, c tels que a² + b² = c². Si on revient à la représentation des nombres carrés figurés, cette situation se produit quand le gnomon est lui même un nombre carré.

Ce que nous venons de dire est donc évident dans les nombres. Or certaines méthodes pour découvrir de tels triangles nous ont été transmises, et l’on fait remonter l’une à Platon, l’autre à Pythagore. La méthode pythagoricienne part des nombres impairs, pose le nombre impair donné comme étant le plus petit des côtés situés autour de l’angle droit et, après avoir pris le carré de ce nombre et en avoir retranché une unité, pose la moitié du nombre restant comme étant le plus grand des côtés situés autour de l’angle droit, et forme enfin le côté restant, qui sous-tend, après avoir ajouté aussi une unité à ce nombre. Ainsi, par exemple, si après avoir pris 3, l’avoir carré et en avoir retranché une unité, l’on prend 4, moitié de 8 et si on lui ajoute de nouveau une unité, on forme 5 et l’on trouve la triangle rectangle ayant un côté de 3 unités, un autre de 4 unités et un autre de 5 unités.

Proclus attribue à Pythagore la formule : si N donné est un nombre impair, alors les nombres suivants forment un triplet pythagoricien :

                                        N, (N² − 1)/2, (N² + 1)/2

D’autre part, la méthode platonicienne procède en partant de nombres pairs. En effet, prenant le nombre donné pair, elle le pose comme étant un des côtés de l’angle droit, le divise en deux parties égales, carre la moitié, puis forme le côté qui sous-tend l’angle en ajoutant une unité à ce carré et forme l’autre côté situé autour de l’angle droit en retranchant une unité de ce carré. Ainsi, par exemple, ayant pris le nombre 4, ayant carré sa moitié 2 et formé 4, si l’on retranche une unité, on forme 3, et, en ajoutant une unité, on forme 5 et obtient le même triangle produit par l’autre méthode; car le carré de ce dernier nombre est égal à la somme des carrés de 3 et 4.

Proclus attribue à Platon la formule : si N un nombre pair donné, alors les nombres suivants forment un triplet pythagoricien :

                                  N, (N/2)² − 1, (N/2)² + 1

 

Usage du gnomon


nbrecarre
On peut établir ces formules à l’aide des représentations figurées. Le gnomon qui permet de passer d’un carré de côté n au suivant de côté n + 1 vaut 2n + 1. En imposant qu’il soit un carré N², on obtient la première formule. Le gnomon qui fait passer de n² à (n + 2)² vaut 2n + 1 + 2n + 3, donc 4n+4. En imposant qu’il soit un carré N², on obtient la deuxième formule. L’hypothèse avancée par les historiens est plutôt qu’on part d’un carré, qu’on ajoute et qu’on retranche une unité au côté.


Bilan sur les triplets

Les connaissances grecques sur les triplets pythagoriciens étaient moins avancées que celles des babyloniens, qui savaient trouver d’autres triplets que ceux-là.
 
Recherches historiques

Le commentaire de Proclus associe au théorème dit de Pythagore une discussion sur les triangles rectangles en nombres entiers et une mention des questions d’irrationalité. Tous les auteurs de l’antiquité attribuent la découverte de la question de l’irrationalité aux pythagoriciens.

L’irrationalité

Les pythagoriciens voyaient dans le nombre entier le principe de base de l’univers. La découverte dans cette école de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, (l’irrationalité de racine de 2), a provoqué une crise philosophique. La légende dit que son auteur probable (sans doute vers −500), Hippasus de Métapont se serait noyé ou aurait été jeté par dessus bord d’un navire en punition de la rupture du secret. On ne dispose d’aucune trace précise de la découverte de l’incommensurabilité de lignes. On a seulement des témoignages de commentateurs Pappus, Proclus et Iamblicus qui écrivent plus de sept siècles après les faits. Pappus la situe dans la secte pythagoricienne à propos de la diagonale du carré, et l’attribue à Hyppasius, Proclus l’attribue à Pythagore. Iamblicus situe cette découverte des irrationnelles non pas pour la diagonale du carré, mais pour le partage d’un segment en extrême et moyenne raison, c’est à dire à propos du nombre d’or. Les textes de Platon et d’Aristote plus proches des pythagoriciens la situent dans la secte pythagoricienne et parlent de la diagonale du carré.

Aristote dit que si la diagonale était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. On suppose que la diagonale et le côté sont commensurables, et que l’unité de longueur est contenue m fois dans la diagonale et n fois dans le côté, les entiers m et n n’étant pas tous les deux pairs car sinon on utiliserait une unité double. D’après le théorème de Pythagore, on a m² = 2n², ce qui montre que m² est pair et donc que m est pair. En posant m = 2m' et en reportant dans l’égalité, on obtient en simplifiant par 2 l’égalité 2m'² = n² qui montre que n est pair et ceci est en contradiction avec l’hypothèse que m et n ne sont pas tous les deux pairs. Cette démonstration n’utilise que des connaissances arithmétiques des pythagoriciens.

Doubler le carré

Platon a joué un grand rôle pour les mathématiques grecques en systématisant les règles de démonstration et en insistant sur les preuves et les démonstrations comme caractéristiques de l’activité mathématique. Le dialogue de Platon «Le Ménon» entre Socrate et Ménon montre que le doublement du carré était familier et bien connu à son époque. Socrate, pour prouver à Ménon ses conceptions sur la connaissance, (on n’apprend rien, on redécouvre des connaissances antérieures,) fait réaliser le doublement d’un carré par un jeune esclave. Cette figure où Socrate fait découvrir le rôle d’un diagonale du carré initial comme côté fournit un cas particulier du théorème de Pythagore.

Sur la démonstration faite par Pythagore

Si les historiens des mathématiques ne sont d’accord, ni sur la découverte de Pythagore, ni sur sa méthode de démonstration, tous s’accordent pour reconnaître à Euclide la paternité de la démonstration du livre 1 des Éléments. Pour la découverte faite par Pythagore, la plupart des historiens pensent que sur la base du cas particulier du triangle rectangle isocèle et du triangle rectangle (3, 4, 5), le résultat général a été énoncé. Mais on sait aussi maintenant que mille ans avant Pythagore ce résultat était utilisé dans des problèmes babyloniens. Par ailleurs, les auteurs divergent sur la nature de la démonstration faite par Pythagore. Il y a essentiellement deux hypothèses.

bretschneiderUne démonstration par découpage ou puzzles du même type que les démonstrations faites par les indiens. La propositions la plus connue est celle de Bretschneider.

• Une démonstration utilisant des similitudes de triangles rectangles entre un triangle et les triangles rectangles définis par la hauteur relative à l’hypoténuse.
Si ABC est un triangle rectangle en A et AH la hauteur relative à l’hypoténuse BC la similitude des triangles ABC, HAC et HAB permet de déduire le théorème de Pythagore en écrivant  BA² = BH.BC ; AC² = CH.BC ; BC = BH + HC

Toutefois, l’hypothèse avancée par les historiens dans ce deuxième cas est celle d’une démonstration incomplète avec uniquement des rapports d’entiers. Les pythagoriciens faisaient initialement l’hypothèse que deux lignes quelconques étaient commensurables et après la découverte de l’irrationalité, ils n’étaient pas en possession d’une théorie générale des rapports de grandeurs.


Le théorème dit de Pythagore dans d’autres civilisations


Dans les mathématiques babyloniennes

Certaines tablettes prouvent que le résultat que nous connaissons sous ce nom était connu des Babyloniens un millier d’années avant Pythagore. Dans une tablette datée d’environ −1700 figure le problème suivant : une poutre de longueur 0; 30 est placée contre un mur, de même hauteur (d). Son extrémité supérieure glisse et descend de 0; 6 soit (d − h). À quelle distance du mur (b) se trouve maintenant son extrémité inférieure ? Le calcul de b est fait en calculant d² − h². Le même problème, sous des formes variées se retrouve jusqu’à nos jours, et était un problème classique dans les textes arabes.


BABb8plimpton
Une autre tablette (Plimpton 322) tout à fait remarquable présente des listes de nombres entiers appelés triplets pythagoriciens, c’est à dire de triplets d’entiers solutions de l’équation x² + y² = z². Cette tablette est le plus ancien document connu de théorie des nombres. Elle fut écrite entre −1900 et −1600. Les nombres qui figurent sur cette tablette excluent une découverte par hasard. Voici par exemple les nombres (ici écrits en base 10) qui figurent sur les quatre premières lignes :

119       120        169

3367     3456      4825

4601     4800      6649

12709   13500    18541

Il n’a pas été possible de retrouver la formule générale qui a servi à établir cette tablette ; différentes hypothèses ont été avancées sans qu’il soit possible de trancher avec certitude. On sait que les Grecs très tardivement et les Arabes connaissaient une telle formule : x = 2pq, y = p² − q², z = p² + q² avec p et q entiers, pour des nombres x, y, z premiers entre eux.

Les Babyloniens disposaient plus de mille ans avant d’un algorithme assez général pour trouver de nombreux triplets pythagoriciens. Par contre, Pythagore n’a disposé que de deux formules donnant des cas particuliers de triplets. Neugebauer suppose, en raison de la présence d’une colonne qui écrit des rapports du type z/x variant de façon régulière, que les Babyloniens connaissaient la formule générale précédente et l’utilisaient de la façon suivante :

z/x =(p² + q²)/2pq = 1/2(p ×q' + q × p') en désignant par p' l’inverse de p.

Ils auraient alors choisi des valeurs de p et q dont ils pouvaient connaître l’inverse en sexagésimal. Cependant cette interprétation est contestée par d’autres spécialistes et les Babyloniens n’ont laissé aucune trace de la formule ou de la méthode qu’ils ont employée pour établir cette table.
Calcul de racine de 2

BABb6root2dUne tablette (YBC 7289) donne une valeur approchée très précise de racine de 2. Sur un carré sont dessinées les deux diagonales. Sur un côté figure le nombre 30. Au dessus de la diagonale le nombre 1; 24, 51, 10 ; au dessous de la diagonale figure le nombre 42; 25, 35.  Si nous calculons les valeurs décimale de ces nombres nous obtenons que  1; 24, 51, 10 vaut 1, 414 212 9, or racine de 2 vaut 1, 414 213 5 et  30 × (1; 24, 51, 10) = 42; 25, 35 Cette valeur de d’une précision tout à fait étonnante pour l’Antiquité, n’était pas toujours utilisée dans les tablettes babyloniennes. Souvent la valeur approchée 1; 25 était utilisée. De ces exemples, nous pouvons conclure que le résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore était connu plus d’un millier d’années avant Pythagore et que les Babyloniens possédaient une méthode efficace de calcul des racines que nous allons présenter maintenant.
Méthode de calcul de racines

Soit à calculer √A. Si l’on utilise une valeur approchée a plus grande que √A la valeur A/a sera plus petite que √A et si l’on utilise une valeur approchée a plus petite que √A la valeur A/a sera plus grande que √A. En prenant la valeur moyenne des deux ½ (a + A/a), on peut espérer obtenir une meilleure approximation que a. En itérant le procédé, on obtient des valeurs de plus en plus précises. Ce procédé est essentiellement le même que celui qui sera employé plus tard par les Grecs et les Arabes, et connu sous le nom d’algorithme de Babylone ou de Héron (mathématicien grec).

Nous utilisons encore cet algorithme, dont on peut montrer qu’il converge vers la racine cherchée rapidement, en moyenne quadratique, c’est-à-dire que le nombre de chiffres décimaux exacts double à chaque pas d’itération. Sans fournir une démonstration, les Babyloniens connaissaient cette convergence et l’utilisaient pour le calcul de racines. Si on fait le calcul de √2 par cette méthode à partir de a = 1, on obtient la valeur inscrite sur la tablette à la quatrième approximation.


Dans les mathématiques égyptiennes

Si l’on pense que l’usage du triangle 3, 4, 5 était connu des égyptiens, on n’a pas de preuve de la connaissance du théorème sur l’hypoténuse du triangle rectangle.

Dans les mathématiques indiennes

Heath discute longuement du calcul de la diagonale du rectangle. Des études récentes montrent que le résultat de Pythagore figure dans des traités de science de construction des autels connue sous le nom de Sulba-Sastra et qui signifie mesurer (Sulba=cordeau) et en même temps tracer une ligne droite. Le premier savant indien connu qui ait laissé son nom associé au théorème de l’hypoténuse
est Baudhayana, auteur d’un célèbre traité Sulba-Sutra qui date de -800. Les justifications associées à cette figure sont des puzzles.

bhaskara


 
Dans les mathématiques chinoises

Le théorème dit de Pythagore est toujours désigné par théorème de Gougu dans les mathématiques chinoises. Dans le premier livre connu des mathématiques chinoises "Zhoubi suanjing" datant du deuxième siècle avant notre ère, est énoncé le cas particulier du triangle (3, 4, 5), puis l’énoncé général et de nombreuses applications avec la remarque que l’empereur légendaire Yu pouvait mesurer le pays grâce à ce résultat.

Sa preuve

Le théorème de Gougu figure aussi dans le plus grand traité antique de mathématiques chinoises, le traité "JiuZhang SuanShu" et dans un commentaire sur ce traité, le mathématicien Liu Hui explique comment prouver que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de la "base" et de la "perpendicule " par la phrase dont la traduction est la suivante.

Base automultipliée fait le carré rouge ; perpendicule automultipliée fait le carré azur. Appliquons-leur (la technique qui consiste à) "enlever et mettre de manière à procéder à un rapiéçage mutuel en respectant les catégories qui sont les leurs. Profitons du fait que le reste ne bouge pas, formons la surface de l’hypoténuse.

chine
Le théorème de Gougu La figure géométrique nécessaire à la compréhension de ce texte est perdue, mais il est clair qu’il s’agit d’une technique de puzzle. On peut utiliser le puzzle de Liu Hui qui éclaire bien l’énoncé.


Les calculs utilisant cette figure :  La figure de l’équerre se retrouve dans les textes de Liu Hui et désigne la même chose que le gnomon des mathématiques grecques. Elle désigne ici la différence de deux carrés. Et permet à partir de la formule a²+b² = c², d’obtenir la propriété a² = c²−b². La figure de l’hypoténuse permet d’obtenir l’équivalent de nos deux identités algébriques :
(a + b)² = (b − a)² + 4ab et c² = (b − a)² + 4ab/2

 
Différentes démonstrations du théorème de Pythagore dans l’histoire

Ce théorème se retrouve, soit à propos du calcul de la diagonale du rectangle, soit introduit par la problématique : Comment faire un seul carré avec deux carrés donnés. Nous distinguons essentiellement trois types de démonstrations.

des démonstrations par similitudes de triangles telles que celle parfois attribuée à Pythagore

• des démonstrations utilisant les aires, dans la lignée des Éléments d’Euclide, ou des calculs d’aires à l’aide de formules.

• des puzzles. Certains de ces puzzles, bien que très visuels ne sont pas évidents à justifier.

Beaucoup de démonstrations différentes sont présentées dans le livre de Curiosités géométriques de Fourrey. Nous allons ici donner quelques exemples accompagnées d’animations. Pour la plupart, nous laissons au lecteur le soin des justifications.

 
Les démonstrations par les aires

arabe
Une démonstration arabe

La démontration de Namir El Din utilise la même configuration que celle d’Euclide avec des parallélogrammes de même base entre les mêmes parallèles. Le point crucial de cette démonstration est un résultat démontré par Héron sur la concourance de trois droites, la hauteur AJ du triangle rectangle relative à l’hypoténuse et les droites supportant les côtés des carrés parallèles aux côtés du triangle rectangle, HI et GF.

 

Les puzzles


La problématique de Clairaut

Celui-ci pose le problème de la manière suivante : Comme avec deux carrés en faire un seul?  Il propose un découpage de ces carrés et des rotations de pièces. La justification de ce puzzle de Clairaut est assez aisée.
puzzle1
 
De beaux puzzles

Un puzzle facile à justifier

 puzzle2

Un autre puzzle très visuel
PYTc3puzzle3
 


Un puzzle très intéressant, difficile à justifier

puzzle4

Ce puzzle est construit en prenant par le centre du carré ABFG des parallèles aux côtés du carré CBED. Pour justifier que les pièces déplacées par des translations dans le carré CBED s’emboîtent exactement, le parallélogramme CBXY joue un rôle crucial. La démonstration est laissée au lecteur.  On trouvera dans le film d'Apostol sur le théorème de Pythagore une belle animation.

 

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Published by Eliane Cousquer - dans histoire des mathématiques
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5 décembre 2010 7 05 /12 /décembre /2010 18:43

L'infini traverse toute l'histoire de l'humanité aussi bien dans le domaine philosophique que mathématique. Cet article retrace quelques jalons historique avant de se consacrer pour l'essentiel au traitement mathématique de l'infini au dix neuvième siècle avec, en particulier, les travaux de Cantor.

 

Mathématiques grecques et paradoxes sur l’infini

Quand on pense à l'infini, on se heurte très vite à des paradoxes. Par exemple l'expérience de la division en deux « à l'infini » d'une ligne est-elle possible ou se heurte-on à une limite de lignes « insécables »? Quelle est la nature du mouvement ? Y-t-il un ou plusieurs infinis ?

Pour les Pythagoriciens « tout est nombre ». Nous avons vu que pour les Grecs nombre = nombre entier. Il s’agit toujours du dénombrement d’une collection discrète. Les rapports commensurables (les fractions), sont des relations entre des collections discrètes. Or les pythagoriciens ont découvert que des rapports de longueurs ne sont pas toujours exprimables par un rapport de deux nombres. A cette occasion apparaissent des processus sans fin. Comment en rendre compte ? La découverte des grandeurs irrationnelles par les pythagoriciens met en lumière une difficulté qui va préoccuper les Grecs ; il s’agit du rapport entre le discret et le continu. Une autre école de pensée, les atomistes, défendent le point de vue que la matière est composée d'une infinité d'indivisibles.

 

L’école des Éléates

L'école fondée par Parménides s'oppose aux conceptions des atomistes. A cette époque, deux conceptions sur l’espace et le temps s’affrontent. Il s’agit de savoir si la droite est divisible à l’infini, ou s’il existe des longueurs insécables. Même chose pour les intervalles de temps. Pour les uns, espace et temps sont indéfiniment divisibles. Pour les autres, espace et temps sont constitués d’intervalles indivisibles.

L'un des philosophes de cette école, Zénon avança des paradoxes dont quatre seulement nous sont connus par un texte d’Aristote ; deux sont dirigés contre la première hypothèse, deux contre la deuxième. Il s’agit du paradoxe de la dichotomie, de celui d’Achille et la tortue, du paradoxe de la flèche et de celui du stade et des rangées mobiles.

La dichotomie.

Le mouvement de A à B est impossible, car pour arriver au but B, il faut d’abord arriver au milieu C. Pour arriver à C, il faut d’abord parvenir au milieu D de AC, etc. La réfutation d’Aristote dit qu’il y a deux façons d’être infini, en étendue et en divisibilité. Il est possible de parcourir la longueur AB en un temps fini car le temps est lui aussi divisible de la même façon.

 

Achille et la tortue.

Achille ne rattrapera jamais la tortue car lorsqu’il arrive à l’endroit où elle était précédemment, la tortue a avancé. Achille doit passer par tous les points où est passée la tortue ; il ne peut la rattraper si passer d’un point à un autre prend une unité de temps.

 

La flèche.

Si le temps est fait d’instants, à chaque instant la flèche est en un point, donc au repos. Le mouvement est donc impossible.

 

Les rangées mobiles.

On suppose trois rangées de points A, B et C. La rangée A est fixe, les rangées B et C bougent d’une unité en sens contraire pendant un instant indivisible. Alors le déplacement relatif de B par rapport à C est de deux unités. On peut donc repérer un temps inférieur pendant lequel le déplacement relatif est d’une unité, ce qui s’oppose à l’hypothèse d’un instant indivisible.

 

Une nouvelle crise philosophique se développa. Elle fut ouverte par les paradoxes de Zénon. Elle pose le problème de la validité de résultats obtenus à l’aide de processus infinis que les Grecs utilisaient déjà. La réponse de la mathématique grecque fut d’éviter tout recours explicite à des processus infinis. Les écoles philosophiques grecques se divisent sur la nature du continu et débattent sur la nature de l’infini. Les réponses à ces questions adoptées par la mathématique grecque classique et par le philosophe Aristote détermineront les mathématiques jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle. On connaît le rôle très important au Moyen Âge de la logique d’Aristote (−384, −322).

 

Aristote discute les définitions et les principes de base des mathématiques. Il distingue axiomes et postulats. Il élabore la distinction entre les notions d’infini actuel et infini potentiel, étendant à la notion d’infini la distinction qu’il établit entre les deux modalités de l’existence : l’existence en acte et l’existence en puissance. Qu’entend-on par existence en puissance ? Donnons l’exemple d’un bloc de pierre dont un sculpteur veut faire une statue. Avant sa réalisation la statue n’existe qu’en puissance, après, elle existe en acte.

 

L'infini potentiel: En mathématiques, on désigne par infini potentiel un infini qui est le résultat d’un processus. Par exemple si un grec dit qu’il y a une infinité d’entiers, cela veut dire que pour tout entier, on peut en trouver un plus grand. De même, si on dit qu’un segment de la droite est indéfiniment divisible, cela veut dire que si à chaque étape on prend la première moitié du segment précédent, ce processus ne s’arrête pas.

 

L'infini actuel : Donnons a contrario des exemples d’infini actuel. Quand on parle aujourd’hui de l’ensemble des entiers, on a un objet mathématique constitué d’une infinité d’entiers que l’on considère comme existants. C’est un infini actuel. De même lorsqu’on s’autorise à penser un segment comme l’ensemble de ses points, on utilise un infini actuel.

 

Le continu est-il indéfiniment divisible ?

L’infini est-il acceptable en mathématiques?

Quel usage peut-on en faire ?

 

Les réponses adoptées par le philosophe Aristote détermineront les mathématiques jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle :

  • le continu est indéfiniment divisible,

  • seul l’infini potentiel est acceptable,

  • l’infini actuel est rejeté.

Classiquement, on peut dire qu’un point appartient à une droite, mais il est impossible de dire que la droite est constituée de points. Ceci sert de garde-fou après les querelles provoquées par l’usage de l’infini.

Le rejet de l’infini actuel entraîne la nécessité de trouver une autre définition du rapport des grandeurs incommensurables que celle donnée par la suite infinie des quotients dans l’algorithme d’antiphérèse qui, selon certains historiens des mathématiques (comme Knorr), a été utilisée après la découverte de l’incommensurabilité de longueurs. On trouve cette nouvelle définition, attribuée à Eudoxe, dans le livre 5 des Éléments d’Euclide, consacré aux rapports de grandeurs.

De même, le traitement des quadratures et des cubatures sera faite par des raisonnements « par exhaustion », comportant des doubles réductions par l'absurde, en évitant le recours à des « passages à la limite ».

Dans les Éléments d'Euclide on trouve un axiome promis à une longue postérité en ce qui concerne l'infini : « le tout est plus grand que la partie » , ce qui sera une source de débats et de polémiques.

 

Les successeurs

La conception d'Aristote est reprise par les mathématiciens grecs puis arabes ultérieurs avec toutefois des inflexions. Certains le refusent catégoriquement, d'autres y voient un détour en vue « du fini ». Un mathématicien comme Thabit Ibn Qurra soutient qu'iil y a plusieurs ordres d'infinis: par exemple les entiers pairs et les entiers impairs montrent l'égalité de deux infinis, mais l'exemple des entiers et des entiers pairs montrent deux infinis différents.

 

Pendant le Moyen Âge, l'infini a fait l'objet d'une attention particulière. L’infini, maintenant lié aux attributs divins, reçoit une connotation positive. Bien que liée toujours à des débats théologiques, les «disputes» portent sur des sujets intéressants, par exemple l’infini, qui sont aussi intéressants du point de vue scientifique.

 

A la Renaissance, la perspective donne un exemple d'apparition d'une notion nouvelle liéé à l'infini. Des peintres Brunelleschi (1377–1446), Alberti (1404–1472), Piero delle Franscesca (1410– 1492) et Dürer (1471–1528) développent la perspective et introduisent une notion de « point à l'infini ». Alors que dans les Éléments d’Euclide tout objet était d’abord défini, son existence démontrée avant qu’une propriété soit établie à son sujet, les mathématiciens utilisent des objets impossibles, à savoir les points à l’infini, c’est-à-dire les points d’intersection de droites parallèles, qui, par définition, selon le canon euclidien, sont des droites coplanaires qui n’ont aucun point commun.

 

L’infini au dix-neuvième siècle

 

De tout temps, les mathématiciens ont fait usage de raisonnements élémentaires de théorie des ensembles de façon plus ou moins consciente. Le maniement des syllogismes, la question de l’appartenance d’un objet à une collection, l’inclusion d’un ensemble dans un autre relève de ce type de raisonnement.

La notion d’équipotence entre ensembles est dégagée petit à petit. Galilée remarque que la relation entre les entiers naturels et leurs carrés est bijective ; donc qu’une partie des entiers est en bijection avec les entiers. La relation «Le tout est plus grand que la partie», ne s’applique pas aux ensembles infinis. Ceci renforce la méfiance des mathématiciens vis à vis de l’usage de l’infini actuel mais pourtant les nécessités de l’analyse les confrontent à ce problème. Ainsi, on voit une évolution

chez un mathématicien comme Bolzano. En 1817, il montre l’existence de la borne inférieure d’un ensemble minoré de nombres réels par un raisonnement en compréhension. Trente ans plus tard, il utilise l’infini actuel en montrant que deux intervalles compacts de R sont équipotents. Il remarque qu’une différence caractéristique entre ensemble fini et ensemble infini est l’existence de sous-ensembles propres équipotents au tout. Cependant Bolzano n’arrive pas à dégager clairement la notion de puissance d’un ensemble et à la distinguer de la notion d’ordre de grandeur.

 

Les travaux de CANTOR

 

Cantor donne la «définition» suivante : Par ensemble, on entend un groupement en un tout, d’objets bien distincts de notre intuition liées à l’infini et à la notion de cardinal d’un ensemble, beaucoup plus difficiles. Cantor aborde ces questions à propos d’ensembles exceptionnels apparus dans l’étude des séries trigonométriques. En 1873 il montre que l’ensemble des rationnels est dénombrable et que l’ensemble des nombres réels ne l’est pas. En 1874, après avoir montré que les ensembles R et R²peuvent être mis en bijection, il écrit à Dedekind «Je le vois, je ne le crois pas», tant ce résultat est en contradiction avec l’intuition.

De 1878 à 1884, il publiera six mémoires sur la théorie des ensembles. Il dégage la notion d’équipotence de deux ensembles, de puissance d’un ensemble, d’ensemble totalement ordonné, étudie les propriétés topologiques de R et aborde les problèmes de mesure. Les travaux de Cantor sont très controversés, et s’il reçoit l’appui de Dedekind et de Weierstrass, il se heurte à une très grande hostilité de mathématiciens influents comme Schwarz et Kronecker. Dedekind prolonge les travaux de Cantor en dégageant la notion d’application quelconque d’un ensemble dans un autre, la notion d’ensemble ordonné et celle d’ensemble réticulé.

 

Les ensembles de nombres

 

Nous allons ici donner quelques indications sur les démonstrations de dénombrabilité ou non dénombrabilité d’ensembles de nombres.

 

Cardinal d’un ensemble

Nous utilisons dans les démonstrations les idées suivantes :

  1. à tout ensemble est attaché un cardinal et un seul ;

  2. si deux ensembles peuvent être mis en bijection, on dit qu’ils ont le même cardinal, ou la même puissance ;

  3. un cardinal est le cardinal d’au moins un ensemble ; si un ensemble est contenu dans un autre, le cardinal du premier est inférieur ou égal au cardinal du second ; plus généralement, le cardinal d’un ensemble E est dit inférieur au cardinal d’un ensemble F, s’il existe une injection de E dans F ;

  4. cette relation définit une relation d’ordre sur les cardinaux ; la transitivité de cette relation est immédiate, l’antisymétrie résulte du théorème de Cantor- Bernstein établi en 1897 : Quels que soient les ensembles E et F, s’il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors ces deux ensembles sont en bijection ;

  5. on admet que deux cardinaux sont toujours comparables ;

On désigne par χ0 le cardinal de l’ensemble des entiers.

L’ensemble des entiers relatifs.

Comment montrer que Z est dénombrable ? Z contient N comme sous-ensemble, donc sa puissance est au moins celle des entiers naturels. Z peut être construit en établissant une relation d’équivalence sur les couples d’entiers positifs :

(a, b) est équivalent au couple (c, d) si a+d = b+c.

Chaque classe d’équivalence admet un représentant du type (n, 0) ou (0, n). Or on

peut ranger ces éléments en une suite de la façon suivante : (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (0, 2), . . . , (n, 0), (0, n), . . . Cela montre que la puissance de Z est égale à celle de N.

 

L’ensemble des nombres rationnels

La démonstration de la dénombrabilité de Q fut faite par Cantor en 1874. Comme l’ensemble Qcontient l’ensemble des entiers, le cardinal de cet ensemble est au moins χ0.

L’ensemble Q peut être construit en établissant une relation d’équivalence sur l’ensemble des couples d’entiers relatifs

(a, b) avec a ϵ Z, b ϵ Z et b ≠ 0 : (a, b) (c, d) si et seulement si a · d = b · c.

Il est facile de voir d’après la démonstration précédente que si l’ensemble des nombres rationnels positifs Q+ est dénombrable, l’ensemble Q l’est aussi. Q+ est en bijection avec une partie de l’ensemble des couples, donc que son cardinal est inférieur ou égal à celui des couples d’entiers. On peut ranger ces couples d’entiers (a, b), pour a ϵ N et b ϵ N, en une suite de la façon suivante. On range dans la première ligne les couples de premier terme 1 suivant l’ordre croissant du

deuxième terme. Dans la deuxième ligne, les couples de premier terme 2, etc.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) . . .

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) . . .

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) . . .

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) . . .

Ensuite on range tous les couples en les numérotant suivant des diagonales de ce

tableau. Cela donne l’ordre :

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), . . .

L’ensemble des couples d’entiers positifs est donc dénombrable. Donc Q l’est

aussi.

 

L’ensemble des nombres algébriques

L’ensemble des nombres algébriques est l’ensemble des racines de polynômes à coefficients entiers. Pour un tel polynôme, P = a0+a1x+a2x²+· · ·+anxnnous définissons un entier positif appelé sa hauteur : h(P) = n−1+|a0|+|a1|+|a2|+ · · · + |an|. Il est facile de voir qu’il n’existe qu’un nombre fini de polynômes de hauteur h. Chacun de ces polynômes n’a qu’un nombre fini de racines. L’ensemble des nombres algébriques est donc contenu dans une réunion dénombrable d’ensembles finis, cela permet de montrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable.

 

L’ensemble des nombres réels

L’ensemble des nombres réels peut être mis en bijection avec un intervalle, par exemple en utilisant la fonction tangente, et deux intervalles quelconques de R peuvent être mis en bijection en utilisant une fonction affine.

Il nous suffit donc de montrer que l’ensemble des réels de l’intervalle [0, 1[ est non dénombrable. Chaque nombre réel compris entre 0 et 1 possède un développement décimal illimité ou deux. Les nombres non décimaux en ont un seul, les nombres décimaux possèdent deux développements : l’un comporte des 9 indéfiniment, on l’appelle développement impropre, l’autre, qu’on appelle développement propre, comporte seulement un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule. Nous convenons de n’utiliser que des développements propres. Chaque nombre réel est donc associé à un unique développement propre. Supposons que les nombres réels de l’intervalle [0, 1[ puisse être rangés en une suite A0,A1,A2, . . . Écrivons les développements décimaux propres de ces nombres, (les aij sont des chiffres) :

A0 = 0,a00a01a02a03a04 · · ·

A1 = 0,a10a11a12a13a14 · · ·

A2 = 0,a20a21a22a23a24 · · ·

A3 = 0,a30a31a32a33a34 · · ·

...

An = 0,an0an1an2an3an4 · · ·

...

Le principe de la démonstration est de montrer qu’au moins un nombre réel échappe à ce classement et donc que nous avons une contradiction.

Fabriquons un nombre réel B par un procédé appelé procédé diagonal en prenant B = 0,b0b1b2b3 · · · en imposant b0 ≠ a00, b1 ≠a11, b2 ≠a22, etc. et que de plus les bi ne soient pas égaux à des 9 indéfiniment. Comme nous ne travaillons qu’avec des développements propres, nous sommes sûrs que B ≠ A0 car le premier chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, B ≠A1 car le deuxième chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, B ≠ A2 car le troisième chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, etc. Le nombre B n’a pas été classé et nous avons obtenu une contradiction.

On ne peut donc pas ranger les nombres réels de l’intervalle [0, 1[ en une suite. Cet ensemble n’est pas dénombrable. Nous en déduisons immédiatement que l’ensemble des nombres réels R est non dénombrable.

 

L’ensemble des nombres transcendants

La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Comme l’ensemble des nombres réels est la réunion de l’ensemble des nombres algébriques et de l’ensemble des nombres transcendants, on peut conclure que l’ensemble des nombres transcendants n’est pas dénombrable, sinon l’ensembleR le serait aussi.

Dans l’enseignement au lycée, les étudiants rencontrent quelques nombres transcendants comme et e. Implicitement, ils peuvent en tirer l’idée que ces nombres sont peu nombreux et se limitent à quelques nombres exotiques. On voit combien le résultat mathématique est ici loin de l’intuition.

 

L’ensemble des nombres complexes

Comme on peut établir une bijection entre R et ]0, 1[, les ensembles R² et ]0, 1[² sont aussi en bijection. Cantor a montré qu’on pouvait établir une bijection entre les points de l’intervalle ]0, 1] et les points du carré ]0, 1]², ce qui permet d’affirmer l’existence d’une bijection entre les points de la droite et les points du plan.

Comment fabriquer une bijection entre les points de ]0, 1] et les points du carré ]0, 1]²? Nous considérons un point du carré de coordonnées x et y et nous écrivons le développement décimal illimité de ces deux nombres, en choisissant cette fois-ci le développement impropre (avec des 9 indéfiniment), si ce nombre est décimal.

Aucun des développements écrits n’a donc que des zéros à partir d’un certain rang. Nous partageons les chiffres de ces développements en blocs de zéros terminés par un chiffre non nul. Puis nous écrivons un développement décimal d’un nombre z en écrivant dans l’ordre le premier bloc de x suivi du premier bloc de y, le second bloc de x suivi du second bloc de y, etc. Donnons un exemple :

x = 0,301204007 · · ·

y = 0,00137008 · · ·

x = 0,3|01|2|04|007| · · ·

y = 0,001|3|7|008| · · ·

z = 0,3|001|01|3|2|7|04|008|007| . . .

z = 0,30010132704008007 · · ·

Il est aisé de voir que ce procédé permet d’établir une bijection entre les points du carré et les points du segment. Par conséquent l’ensemble des points de la droite et celui des points du plan ont le même cardinal, résultat qui avait paru si surprenant à Cantor quand il l’avait établi. Cela entraîne que l’ensemble des nombres complexes a le même cardinal que l’ensemble des nombres réels.

 

Les cardinaux infinis

 

L’axiome du choix

Un principe important dans les mathématiques issues des travaux de Cantor est ce qu’on appelle l’axiome du choix qui donne la possibilité de faire une infinité de choix simultanément. En voici l’énoncé :

Étant donné un ensemble E et l’ensemble F de ses parties non vides, on peut définir une application de F dans E qui à toute partie non vide de E, associe un élément de cette partie.

On peut essayer de définir une autre relation d’ordre sur les cardinaux en disant que le cardinal de E est plus grand que celui de G, si on peut définir une application surjective f de E sur G. L’axiome du choix permet de montrer qu’alors il existe une injection de G dans E. En effet, pour tout élément g de G, f ̵¹(g) est un sous-ensemble de E. À l’aide de l’axiome du choix, nous choisissons un élément (g) dans chacun de ces sous-ensembles f ̵¹(g) ; on vérifie que l’application de G dans E ainsi obtenue est une injection. Nous n’avons donc défini en fait qu’une seule relation d’ordre sur les cardinaux.

 

Le théorème de CANTOR

Cantor a établit le théorème suivant :

Pour tout ensemble E, le cardinal de l’ensemble P(E) des parties de E est strictement supérieur au cardinal de E.

On en fait une démonstration par l’absurde en supposant une application surjective f de E sur P(E), et on considère l’ensemble A des éléments x de E qui n'appartiennent pas à f(x). Cet ensemble A est l’image d’un élément a de E par l’application f. On constate alors que les deux assertions, a appartient à A et a n'appartient pas à A sont impossibles. On a donc une contradiction, ce qui démontre qu’il n’existe pas de surjection d’un ensemble sur l’ensemble de ses parties. Le théorème de Cantor nous montre l’existence d’une infinité de cardinaux, puisque pour tout cardinal E, on peut en trouver un strictement plus grand, celui de l’ensemble de ses parties que nous noterons 2ᴱ . Cette notation s’explique, car à tout sous ensemble F d’un ensemble E, on peut associer une application de E dans l’ensemble {0, 1} en prenant la fonction caractéristique de F. P(E) peut donc être mis en bijection avec l’ensemble des fonctions de E à valeur dans {0, 1}, ensemble noté {0, 1}ᴱ .

 

Comparaison des cardinaux de N et R

Nous désignons par c le cardinal de R et par χ0le cardinal de N. Nous avons vu que χ0< c puisque nous avons montré que R n’est pas dénombrable. Nous allons montrer la relation que c est égal au cardinal de l'ensemble P(N) montrant une double inégalité :

Si à tout nombre compris entre 0 et 1, on associe son développement dyadique (propre), on obtient une injection de [0, 1[ dans {0, 1}ᴺet donc c est inférieur au cardinal de {0, 1}ᴺ. Si à toute suite infinie d’éléments de {0, 1}, on associe un nombre entre 0 et 1 qui admet cette suite comme développement triadique, on obtient une injection de {0, 1}ᴺ dans [0, 1[ et donc c est supérieur au cardinal de {0, 1}ᴺ.

 

On peut se demander s’il existe des cardinaux compris entre χ0 et c. L’affirmation «Il n’existe pas de cardinal strictement compris entre χ0 et c s’appelle l’hypothèse du continu.

 

Références

BELNA. La notion de nombre chez DEDEKIND, CANTOR, FREGE. Vrin, 1996.

BENACERRAF et PUTMAN. Philosophy of mathematics, selected readings. Prentice Hall, 1964.

CALAIS. Cours de logique. UFR de mathématiques, USTL, 1980.

CAVAILLÈS. Philosophie mathématique. Hermann, 1962.

DUPIN, VALEIN. Initiation au raisonnement mathématique, logique et théorie des ensembles. Flash Armand Colin, 1993.

HILBERT. Sur l’infini. Dans LARGEAUT, Logique mathématique. Armand Colin, 1972.

KAMKE. Theory of sets. Dover, 1950.

KRIVINE. Théorie axiomatique des ensembles. PUF, 1969.

LARGEAUT. Logique mathématique. Armand Colin, 1972.

RIVENC et ROUILHAN. Logique et fondements de mathématiques, anthologie (1850-1914).

 

 

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4 décembre 2010 6 04 /12 /décembre /2010 14:20

 

Suite de l'article sur les irrationnelles : on analyse le cheminement qui conduit en Europe à partir de Stevin et Newton à abandonner progressivement le point de vue géométrique des grandeurs irrationnelles issu de la mathématique grecque et à passer à un point de vue numérique sur ces notions.

Newton et les fractions décimales

Les calculs d'approximations ont eu une très grande importance pour la pensée de Newton. Les fractions décimales lui ont servi de modèle pour le traitement des polynômes. Newton a traité des résolutions algébriques par une méthode appelée le polygone de Newton. Il s’agit pour lui «d’appliquer à l’algèbre la doctrine des fractions décimales». Les développements décimaux illimités s’introduisent naturellement dans ces calculs et parallèlement, en analyse les développements en série se sont aussi introduits simplement comme des polynômes à une infinité de places. On retrouve à propos de Newton les problématiques associées de calculs numériques de racines, d’usage des décimaux et de calculs sur les polynômes trouvées chez des mathématiciens arabes. La conception du nombre chez Newton est certainement basée là-dessus. Nous verrons à quel point elle est novatrice par rapport aux mathématiques euclidiennes traditionnelles.

La numérisation des raisons

Pendant toute cette période, l’usage des irrationnels en tant que nombres se développe; certains auteurs désignent ce développement comme le mouvement de «numérisation des raisons». Les rapports commensurables et incommensurables sont utilisés et pensés indépendamment de la géométrie, mais aussi sans fondement autre que l’évidence des calculs. À cette époque, se développe l’usage des fractions continues pour obtenir de telles approximations. Les progrès faits au XVIIIe siècle concernent la démonstration de l’irrationalité de certains nombres. Euler démontre en 1737 que eet e²sont irrationnels. Lambert (1728–1777), établit plusieurs résultats : exp x est irrationnel pour x entier ; ln x est irrationnel pour x rationnel distinct de 1 ; enfin, il établit en 1761 l’irrationalité de πà l’aide de propriétés des fractions continues.

Les nombres transcendants

La distinction entre nombre algébrique qui est solution d’une équation polynomiale à coefficients rationnels et nombre transcendant qui ne vérifie aucune équation de ce type est clairement établie au XVIIIe siècle. Mais aucun nombre transcendant n’est reconnu à cette époque. Les premières démonstrations de transcendance 7 de nombres sont faites par Liouville en 1844. Liouville montre que si un nombre irrationnel a est racine d’un polynôme irréductible de degré n , alors on peut trouver une constante c(a) telle que la valeur absolue de a – pq soit majorée par c(a) q puissance -n pour tous les entiers p et q non nuls. Il établit que cette constante n’existe pas pour les nombres aujourd’hui appelés nombres de Liouville, et donc que ces nombres sont transcendants. Ensuite, en 1873, Hermite montre que e est transcendant, tandis qu’en 1882, Lindemann montre la transcendance de (e et π ne sont pas des nombres de Liouville). On peut remarquer qu’à l’heure actuelle, on ne connaît toujours pas la nature de la constante d’Eulerγ. On ne sait même pas si elle est ou non rationnelle. Nous reviendrons plus tard sur les ensembles de nombres rationnels, algébriques et transcendants.

Un irrationnel est-il un nombre ?

À partir du XVIe siècle, le zéro est accepté comme nombre et les irrationnels sont utilisés librement. Toutefois leur statut est ambigu et diffère suivant les auteurs. Pour certains, tels Pascal, Barrow, les irrationnels ne peuvent être compris qu’en liaison avec la géométrie. Par contre d’autres auteurs tels que Stevin et Newton ont eu une conception beaucoup plus novatrice des nombres.

Certainement pour Stevin

Pour Stevin, les irrationnels sont des nombres et l’incommensurabilité des grandeurs doit être comprise comme l’incommensurabilité des nombres qui mesurent ces grandeurs. Les extraits du livre Traité des grandeurs incommensurables de Stevin (1585) sont très clairs :

Thèse 1 : que l’unité est nombre,

Thèse 2 : que nombres quelconques peuvent être nombres carrés, cubiques,

de quatre quantités, etc.,

Thèse 3 : qu’une racine quelconque est nombre,

Thèse 4 : qu’il n’y a aucuns nombres absurdes, irrationnels, irréguliers,

inexplicables ou sourds.

Stevin escamote toute justification par une pirouette : «si vous voulez que je vous dise pourquoi racine de 2 est un nombre, expliquez-moi d’abord pourquoi 3/4 en est un...»

Pour beaucoup de mathématiciens, son point de vue n’est pas acceptable. Voici la diatribe de Arnaud et Nicole contre ce point de vue : La logique ou l’art de penser (1662), consacre le chapitre 5 à la réfutation de Stevin.

Le même Stevin est plein de semblables disputes sur les définitions des mots comme quand il s’échauffe pour prouver que le nombre n’est point une quantité discrète ; que la proportion des nombres est toujours arithmétique et non géométrique ; que toute racine, de quelque nombre que ce soit, est un nombre. Ce qui fait voir qu’il n’a point compris proprement ce qu’était une définition de mot et qu’il a pris les définitions des mots, qui ne peuvent être contestées, pour les définitions des choses que l’on peut souvent contester avec raison.

Ces mathématiciens restent dans la logique euclidienne en opposant le nombre quantité discrète et le continu géométrique. En bref Stevin ne comprend rien aux bonnes définitions. Souvenons-nous à cette occasion du refus de leur ami Pascal de considérer le zéro comme un nombre. La position de Pascal est ambivalente sur beaucoup de questions. Il développe des mathématiques nouvelles et  créatrices et pour les fonder, il évoque la possibilité de les démontrer, (par exemple par réduction à l’absurde) «à la manière des anciens». Cela veut dire aussi qu’à cette époque, les questions de fondements ne sont pas premières, et on peut affirmer la pertinence du cadre euclidien sans y regarder de trop près.

Certainement pour Newton

Par contre Newton défend un tout autre point de vue ans l’arithmétique universelle (1707) :

On entend par nombre, moins une collection de plusieurs unités, qu’un rapport abstrait d’un quantité quelconque à une autre de même espèce, qu’on regarde comme l’unité. Le nombre est de trois espèces, l’entier, le fractionnaire et le sourd. L’entier est mesuré par l’unité ; le fractionnaire par un sous-multiple de l’unité ; le sourd est incommensurable avec l’unité.

La conception de Newton du nombre est très proche de la notre. Ce nombre est un rapport abstrait et n’est pas défini par référence à l’existence d’une mesure commune. Cependant la suite se limite à dire que tous les rapports sont des nombres et distinguant les entiers, les rationnels et les irrationnels.

Stevin, Newton, deux auteurs qui ont le positions les plus nettes dans cette période pour affirmer que tous les rapports sont des nombres, ont été délibérément rapprochés. Leur travail sur les décimaux et les calculs d’approximations par les décimaux de n’importe que irrationnel est, de mon point de vue, certainement à l’origine de ces prises de positions. J’y vois une nouvelle confirmation de l’importance des décimaux sur la conception du champ numérique. Notons que la définition de Newton est citée en référence cinquante ans plus tard par D’Alembert, comme l’un des points de vue possible sur les nombres.

Réponse ambiguë de Descartes

Dans sa Géométrie de 1637. Descartes abandonne la loi de l’homogénéité, et représente toutes les grandeurs (les rapports géométriques, les produits, les aires, les volumes, les racines) par des longueurs, après choix d’une unité. C’est un premier pas très important vers la numérisation des rapports de grandeurs. Cependant nulle part dans son livre, il n’affirme que tous les rapports sont des nombres. Ils sont représentés par des longueurs. Jacob Klein qualifie le travail de Descartes comme une algèbre des longueurs.

Réponse ambiguë de D'alembert

Ce point de vue est à rapprocher du point de Wolff, cité dans l’Encyclopédie Diderot D’Alembert, où on retrouve ce thème de la représentation des nombres par des lignes droites.

Nombre : se dit vulgairement dans l’arithmétique, d’une collection ou assemblage d’unités ou de choses de même espèce. M. Newton définit plus précisément le nombre, non pas une multiplicité d’unités, comme Euclide mais le rapport abstrait d’une quantité à une autre de même espèce, que l’on prend pour l’unité... Wolf définit le nombre, ce qui a le même rapport avec l’unité qu’une ligne droite avec une autre ligne droite : ainsi, en prenant une ligne droite pour une unité, tout nombre peut être appréhendé par quelqu’autre ligne droite ; ce qui revient à la définition de M. Newton.

 Les cinq pages suivantes sont consacrées aux entiers et un peu aux rationnels. L’auteur des articles de mathématiques de l’encyclopédie est D’Alembert. Le structure de cet article montre que pour lui les seuls nombres sont les rationnels. Il l’affirme d’ailleurs nettement dans un autre article de l’encyclopédie.

 

Commensurable: les quantités commensurables en mathématiques sont celles qui ont quelque partie aliquote commune, ou qui peuvent être mesurées par quelque mesure commune, sans laisser aucun reste, ni dans l’une ni dans l’autre. . . Les nombres commensurables sont ceux qui ont quelque autre nombre qui les mesure, ou qui les divise sans aucun reste. . . Les nombres commensurables sont proprement les seuls et vrais nombres. En effet, tout nombre renferme l’idée d’un rapport... et tout rapport réel entre deux quantités suppose une partie aliquote qui leur soit commune...    

Racine de 2 n’est point un nombre proprement dit, c’est une quantité qui n’existe point, et qu’il est impossible de trouver. Les fractions même ne sont des nombres commensurables, que parce que ces fractions représentent proprement des entiers. . .[en prenant les parts pour véritable unité. . .]. De là, on peut conclure que non seulement les nombres commensurables sont proprement les seuls et vrais nombres, mais que les nombres entiers sont proprement les seuls et vrais nombres, puisque tous les nombres sont proprement des nombres entiers.

Incommensurable : se dit de deux quantités qui n’ont point de mesure commune, quelque petite qu’elle soit, pour mesurer l’une et l’autre. Le côté d’un carré est incommensurable avec la diagonale. . . Il y a cette différence entre les incommensurables et les imaginaires, que les incommensurables peuvent se représenter par des lignes (comme la diagonale du carré), quoiqu’ils ne puissent s’exprimer exactement par des nombres, au lieu que les imaginaires ne peuvent ni se représenter, ni s’exprimer. Qu’on approche des incommensurables autant qu’on veut par le calcul, ce qu’on ne peut faire avec des imaginaires.

Ce texte est particulièrement intéressant par l’opposition entre s’exprimer et se représenter qui recouvre l’opposition numérique géométrique. Il confirme aussi ce qui a été dit plus haut à propos de Descartes. L’autre intérêt de ce texte réside dans le rapprochement que fait D’Alembert entre irrationnels qui peuvent se représenter et nombres complexes qui ne le peuvent pas. Souvenons nous que la représentation géométrique des nombres complexes est beaucoup plus tardive. Dans un autre livre 9, en 1759, D’Alembert explique c’est par abus de langage qu’on parle de nombres irrationnels

On dit par exemple que la diagonale du carré est à son côté comme la racine carrée de 2 est à 1 ; pour avoir une idée bien nette de la vérité que cette proposition exprime, il faut d’abord remarquer qu’il n’y a point de racine carrée du nombre 2, ni par conséquent de rapport proprement dit entre cette racine et l’unité, ni par conséquent de rapport proprement dit entre la diagonale et le côté du carré, ni par conséquent enfin, d’égalité entre ces rapports puisqu’il n’y a point proprement d’égalité entre des rapports qui n’existent pas. Mais il faut remarquer en même temps que si on ne peut trouver un nombre qui multiplié par lui-même produise 2, on peut trouver des nombres qui multipliés par eux-même produisent un nombre aussi approchant de 2 qu’on voudra, soit en dessus, soit au dessous. . . Cette facilité qu’on a de représenter les rapports incommensurables non par des nombres exacts, mais par des nombres qui en approchent aussi près qu’on voudra sans jamais exprimer rigoureusement ces rapports, est cause que les mathématiciens aient étendu la dénomination de nombres aux rapports incommensurables, quoiqu’elle ne leur appartienne qu’improprement, puisque les mots nombre et nombrer supposent une dénomination exacte et précise dont ces sortes de rapports ne sont pas susceptibles. Aussi n’y a-t-il à proprement parler que deux sortes de nombres, les nombres entiers et les nombres rompus ou fractions. . . De là il est aisé de voir que si les rapports incommensurables sont regardés comme des nombres, c’est par la raison que s’ils ne sont pas des nombres, il ne s’en faut de rien pour ainsi dire, qu’ils n’en soient réellement, puisque la différence d’un rapport  incommensurable à un nombre proprement dit, peut être aussi petite que l’on voudra.

 

Ce texte est très clair car d’Alembert s’efforce d’expliciter ses conceptions sur les nombres pour un large public. Il contient à la fois des aspects scolastiques avec l’égalité impossible de rapports qui n’existent pas, mais aussi des idées novatrices qui prendront une importance dans la suite, en particulier que si ce ne sont pas des nombres, en fait, on peut les approcher autant qu’on veut par des nombres. Cette idée est affirmée et exploitée beaucoup plus nettement par Kästner.

Tentative claire de justification

Kästner est un précurseur. En 1758 il se propose de définir les nombres réels indépendamment de la théorie des proportions, de façon purement arithmétique.

Tous les concepts de l’arithmétique sont, à mon avis fondés sur les nombres entiers ; les fractions sont des nombres entiers dont l’unité est une partie du tout pris au début pour l’unité, et les nombres irrationnels sont des fractions dans lesquels cette unité est une partie variable, de plus en plus petite du tout... On peut considérer le nombre irrationnel comme étant composé de deux parties : l’une, le commencement, est rationnelle et peut être prolongée à volonté de telle sorte que l’autre partie, la fin, qui reste en toute rigueur toujours inconnue, devienne plus petite que toute grandeur donnée. . .

Si x est un nombre irrationnel, A son commencement rationnel, a sa fin inconnue, alors ce qui est vrai d’un nombre rationnel tel que A doit aussi être vrai de x étant donné que cet A peut constituer une partie aussi considérable de x qu’on le désire, par rapport à laquelle a devient de plus en plus petit et peut donc, pour ainsi dire disparaître. . . Lorsqu’on divise le 1 sans fin en parties de plus en plus petites et qu’on prend des ensembles de plus en plus grands de ces petites parties, on approche de plus en plus le nombre irrationnel sans jamais l’atteindre complètement. On peut donc le considérer comme un ensemble innombrable de parties infiniment petites. . .Celui qui lui dénierait pour cela le nom de nombre devrait faire de même avec les fractions. . .(eine unzählige Menge unendlich kleiner Theile).

Pourquoi les lois algébriques sont-elles valables pour les nombres irrationnels ? Cela vient de ce qu’elles sont valables pour le commencement rationnel qui peut approcher de manière aussi précise qu’on veut cet irrationnel de sorte que sa fin, sa deuxième partie inconnue, ne peut rien contenir qui rendrait ces théorèmes faux. Car on peut pour ainsi dire entrer dans cette deuxième partie aussi loin qu’on le désire et y diminuer le reste inconnu autant qu’on le désire. De plus, comme nous l’avons enseigné, on peut enfermer un nombre irrationnel entre deux rationnels qui peuvent se rapprocher l’un de l’autre d’aussi près qu’on le désire . . .Ce qui est vrai de ces limites qu’on peut rétrécir à volonté, doit également être vrai du nombre qui est compris entre elles. (Anfansgsgründe. . .)

L’idée exprimée ci-dessus est celle de ce qu’on appelle la densité des rationnels dans les réels. Cette idée est exploitée en analyse en particulier depuis Euler dans des démonstrations concernant les fonctions mathématiques. Si des propriétés sont définies pour les valeurs rationnelles de la variable, moyennant des conditions de régularités suffisantes, elles sont valables pour tous les nombres à l'aide d'un argument de continuité.

 

Les relations entre numérique et géométrique

Les relations entre numérique et géométrique ont été très complexes au cours de l’histoire. Les conceptions des mathématiques dans les différentes civilisations antiques étaient très variées. Pour les Égyptiens et les Babyloniens, le numérique était premier, la géométrie limitée à des calculs d’aires et volumes est un simple domaine d’application de calculs.

Les Éléments d’Euclide font la synthèse des connaissances mathématiques de l’époque sous forme d’un exposé axiomatique qui restera un modèle pour deux mille ans. Dans cet exposé, l’ensemble de l’édifice est construit de façon rigoureuse sur des axiomes à base géométrique. En particulier, le problème de l’irrationalité relève entièrement de la géométrie sous la forme de la théorie des grandeurs incommensurables.

Chez les Arabes, puis dans l’Europe de la Renaissance, on assiste à la naissance et au développement de l’algèbre. Une prise de conscience de l’autonomie des calculs par rapport à la géométrie se fait. Cependant les Éléments d’Euclide restent le modèle de rigueur. On assiste donc à une indépendance progressive des justifications calculatoires, qui restent cependant longtemps accompagnées chez les Arabes ou les Européens de justifications géométriques à la manière d’Euclide. Ainsi, par exemple, Viète explique clairement que l’algèbre qu’il appelle «art analytique» ou «analyse», est une méthode de découverte mais pas de preuve. Par ailleurs, la géométrie connaît un renouvellement et les travaux sur la perspective introduisent une autre approche en géométrie.

 

Nombres et traités de géométrie

L’algèbre occupe la première place, la géométrie devient seconde au XVIIe siècle. À partir du livre d’Arnauld, les grands traités de géométrie sont précédés de chapitres de caractère algébrique, et les théorèmes sur les rapports de grandeurs sont énoncés comme des théorèmes sur les mesures (c’est-à-dire les nombres qui mesurent. . .) des grandeurs. Cela se reflète la complexité de la situation car les Éléments d’Euclide restent la référence concernant la rigueur. Dans les Élémens de géométrie (1794) Legendre développe le «vrai sens des proportions » au livre 3.

Si on a la proportion A : B :: C : D, on sait que le produit des extrêmes A.D est égal au produit des moyens B.C. Cette vérité est incontestable pour les nombres ; elle l’est aussi pour des grandeurs quelconques, pourvu qu’elles s’expriment, ou qu’on les imagine exprimées en nombres ; et c’est ce qu’on peut toujours supposer : par exemple, si A, B, C, D sont des lignes, on peut imaginer qu’une de ces quatre lignes ou une cinquième, serve à toutes de commune mesure et soit prise pour unité ; alors, A, B, C, D représentent chacune un certain nombre d’unités, entier ou rompu, commensurable ou incommensurable, et la proportion entre les lignes A, B, C, D devient une proportion de nombres.

L’argument n’a aucune valeur dans la mesure où le cas incommensurable est justement celui où il n’y a pas de mesure commune. Il suffit d’imaginer une telle mesure commune...

Confiance illimitée dans le symbolisme

Les calculs algébriques n’ont pas reçu d’exposés à la manière d’Euclide, qui fondent cette algèbre. On assiste, au point de vue de la rigueur de l’ensemble de l’édifice mathématique, à une période de flou, entre la référence formelle à l’exposé euclidien pour bâtir l’ensemble de l’édifice mathématique sur une base géométrique, et à une présentation des ouvrages de géométrie faisant appel dans leurs chapitres de début aux propriétés des nombres en particulier irrationnels. Cette période de flou est en elle même féconde et instructive.

Il faut noter que cette situation est aussi celle de l’enseignement en particulier secondaire, où il faut faire comprendre les propriétés des nombres réels et en faire acquérir une bonne intuition, alors qu’il est hors de question d’en faire un exposé rigoureux.

Le problème des fondements des nombres ne sera résolu qu’au cours du XIXe siècle. Cette période marque donc une transition en ce qui concerne le problème des fondements entre un système euclidien et un système permettant de fonder l’analyse sur une axiomatique de la droite réelle et la géométrie par un système d’axiomes. Il faut remarquer que cette période est extrêmement féconde, en dépit d’idées fausses qu’on peut avoir sur la rigueur en mathématiques.

Cette période est celle d’une confiance illimitée dans les possibilités du symbolisme. Les anciens interdits sur la manipulation de l’infini en  mathématiques sont levés avec le développement de l’analyse en particulier à la suite de Newton (1642–1727) et Leibniz (1646–1716). Des calculs faits pour les polynômes, par exemple la formule du binôme, sont étendus aux sommes infinies. Des résultats sont affirmés «suivant le principe de généralité de l’algèbre». Cette période est celle d’une explosion créatrice en analyse, où les problèmes de fondements sont laissés de côté. Le souci de rigueur des Grecs est même considéré par certains comme excessif.

La conception des mathématiques au dix-huitième siècle

Au niveau métaphysique, les mathématiques reflètent le plan de l’univers. Cependant, le rôle attribué à Dieu dans la pensée scientifique devient de moins en moins important.

Les motivations principales pour le développement des mathématiques sont la mécanique et la physique ; les succès de la mécanique céleste sont importants. C’est la raison pour laquelle en analyse, beaucoup de propriétés sont considérées comme allant de soi. En particulier les convergences de séries et d’intégrales, l’échange des signes de la dérivation et de l’intégration, l’existence des solutions d’équations différentielles, l’usage des dérivées d’ordre supérieur ne sont pas justifiés. La justification s’obtient a posteriori, par les résultats obtenus. Les mathématiques sont guidées par le sens physique, et c’est sans doute la raison pour laquelle la rigueur semble moins essentielle.

La géométrie est vue comme la physique de l’espace et pour les mathématiciens de ce siècle, la géométrie euclidienne est considérée comme une idéalisation correcte de l’espace physique. La seule voix discordante là dessus est celle d’un philosophe Hume (1739) qui critique ces conceptions.

Les géométries non-euclidiennes.

Quelques brèves remarques sur cette question. Dans l’édifice euclidien, un des postulats, le cinquième, dit axiome des parallèles, a toujours été source de difficultés. En voici l’énoncé :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Pourquoi ces difficultés ? Les postulats sont des demandes considérées comme évidentes. Or le cinquième postulat n’a aucun caractère d’évidence géométrique. Aussi, dès l’Antiquité grecque, les tentatives soit pour remplacer ce postulat par un autre plus évident, soit pour démontrer ce postulat à partir des autres ont fait l’objet de recherches. Les Arabes ont prolongé ces travaux qui aboutissaient toujours à d’autres demandes ou postulats équivalents au précédent. En Europe, Saccheri (1667–1733), Legendre (1752–1833) et Lambert (en 1766) se sont aussi intéressés à cette question. L’échec de toutes ces tentatives ont conduit à un renversement de perspective.

Quelques mathématiciens se persuadent que ce postulat est indémontrable et entreprennent de développer les conséquences de la négation de ce postulat. Gauss en 1813, développe des travaux dans ce sens et est convaincu de la cohérence de géométries non euclidiennes, mais il ne publie rien là-dessus. Lobatchewsky (1793–1856) en 1829, Bolyai (1802–1860) en 1832 publient indépendamment leurs travaux de géométrie non euclidienne.

Les implications de cette découverte en mathématiques sont considérables.

Pendant deux mille ans, la structure euclidienne de l’espace physique a été considérée comme une évidence, une vérité absolue, et les fondements des mathématiques assurés sur cette base. Avec la découverte de géométries logiquement cohérentes qui ne sont pas euclidiennes, le lien entre le monde réel et les mathématiques est remis en question. La géométrie euclidienne n’est pas nécessairement celle de l’espace physique. Les fondements des mathématiques qui étaient pensés sur la base de cette géométrie doivent être reconstruits autrement.

 

Références bibliographiques

APMEP. Quadrature du cercle, fractions continues et autres contes.

ARNAUD et NICOLE. La logique ou l’art de penser. Champs Flammarion, 1960.

COUSQUER. De la théorie des proportions à la théorie des nombres réels. Actes des journées de Cherbourg, La mémoire des nombres, 1994.

COLLECTIF IREM. Histoires d’algorithmes. Belin, 1993.

DAUMAS. Une approche de l’irrationalité : algorithme d’EUCLIDE et fractions continues, et De PYTHAGORE à THÉON de Smyrne. IREM de Toulouse, 1996.

DE KONNINCK et MERCIER. Introduction à la théorie des nombres. Modulo, 1994.

HARDY et WRIGHT. An introduction to number theory. Oxford university press, 1960.

JABOEUF. Les fractions continues. Revue Quadrature, 1989, 1990.

NEWTON. Lectures on algebra, 1673-1682. et Arithmétique universelle.

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4 décembre 2010 6 04 /12 /décembre /2010 09:38

Origine chez les pythagoriciens

La question de l'irrationalité s'est posée chez les grecs sous la forme de la découverte de l'incommensurabilité de segments.

Les irrationnelles

On ne dispose d'aucune trace précise de la découverte de l'incommensurabilité de lignes. On a seulement des témoignages de commentateurs Pappus, Proclus et Iamblicus qui écrivent plus de 7 siècles après les faits. Pappus la situe dans la secte pythagoricienne à propos de la diagonale du carré et l'attribue à Hyppasius, Proclus l'attribue à Pythagore. Iamblicus situe cette découverte des irrationnelles non pas pour la diagonale du carré, mais pour le partage d'un segment en extrême et moyenne raison, c'est à dire à propos du nombre d'or. Les textes du Platon et d'Aristote plus proches des pythagoriciens la situent dans la secte pythagoricienne et parlent de la diagonale du carré. Aristote dit que si la diagonale était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. C'est la démonstration que nous connaissons bien. On pense généralement qu'il s'agit là de la première démonstration d'incommensurabilité de deux segments. Toutefois certains historiens émettent l'hypothèse que cette découverte ait été faite à propos du pentagone régulier étoilé qui était l'un des symboles de la secte pythagoricienne.

Démonstration par le pair et l'impair

On suppose que le rapport de la diagonale au côté est un quotient de deux entiers m et n. On peut remarquer qu'il n'y a pas besoin de supposer les entiers m et n premiers entre eux, mais seulement qu'ils ne sont pas tous les deux pairs. Ce qui n'utilise que des connaissances arithmétiques des pythagoriciens. On doit faire deux démonstrations.
a) Démontrer que le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair.
b) Supposons deux entiers non tous les deux pairs, tels que p2 = 2 q2. Montrer que p et q sont pairs. Conclure à une impossibilité.

Platon et le Thééthète

Le "Thééthète" a donné lieu à beaucoup de spéculations. Dans ce texte, Platon présente un mathématicien, Thééthète, qui vient de mourir, au moment où, dans sa jeunesse, il était élève du mathématicien Théodore et alors que Socrates avait rendu visite à son maître.

Thééthète: "Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos des racines et nous avait montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point pour la longueur commensurables avec celles de un pied, et les prenant ainsi, l'une après l'autre, il était allé jusqu'à celle de dix sept pieds et il s'était, je ne sais pourquoi, arrêté là. Il nous vint alors à l'esprit en considérant que les racines sont en nombre infini de les rassembler sous un terme unique qui nous servirait à nommer toutes les racines."

Socrates: "et ce terme, l'avez vous trouvé ? "

Thééthète : "je le crois: juges en toi-même ...
Nous avons divisé tous les nombres en deux classes: les uns, les nombres qui peuvent être formés par la multiplication de facteurs égaux, nous les avons représentés sous la figure du carré et nous les avons appelés carrés et équilatères ...
Pour les nombres placés entre les premiers, comme le trois, le cinq et tous les nombres qui ne peuvent être formés en multipliant des facteurs égaux, mais seulement en multipliant un plus grand par un plus petit ou un plus petit par un plus grand et qui s'expriment toujours par une figure aux cotés inégaux, nous les avons représentés sous la figure du rectangle et nous les avons nommés rectangulaires ...
Toutes les lignes dont le carré forme un nombre plan équilatère, nous les avons définies longueurs, et toutes celles dont le carré forme un nombre aux facteurs inégaux, nous les avons définies racines, parce qu'elles ne sont point commensurables avec les autres pour la longueur, mais seulement pour les aires qu'elles ont le pouvoir de former. Et nous avons opéré de même pour les solides."

Point de vue numérique

On peut considérer que ce texte marque le passage d'un point de vue purement géométrique, à un point de vue numérique, au moins partiellement. Ceci est une façon pour Platon de présenter Thééthète comme celui qui a fait progresser la théorie des nombres. Le dialogue de Platon, Le Théétète montre que Théodore avait prouvé l'irrationalité des lignes que nous désignons par 3, 5, ..., 17 mais qu'il s'était arrêté là. Son élève, le jeune Théétète mis en scène par Platon "annonce ses découvertes futures", en montrant l'existence d'une infinité d'irrationnelles et en indiquant les moyens de les classer. La mise en scène de Platon montre que Théodore avait démontré rigoureusement l'irrationalité d'un certain nombre de lignes, sans doute par des méthodes géométriques, mais qu'il a rencontré une difficulté au niveau de 17.

Débats d'historiens

escargotCe texte a suscité beaucoup de recherches en histoire des mathématiques pour trouver l'explication du dix sept. En gros, il y a deux modes d'explications ; l'une est la construction de ce qui est appelé l'escargot de Pythagore constitué de triangles rectangles de coté 1 et 2 ... 17, car la figure boucle à cette étape. La deuxième mode d'explication est de voir jusqu'où la démonstration par le pair et l'impair est praticable.

C'est à partir de ces dialogues et des Éléments d'Euclide que les historiens des sciences essaient de reconstituer le cheminement des découvertes sur les irrationnelles. Théétète est crédité de démonstrations générales de type arithmétique sur les irrationnelles et de leur classement tel qu'il figure dans le livre 10 des Éléments. D'après le texte même du dialogue, les historiens supposent que Théodore avait établi une démonstration valide pour chacun des cas désignés par Théétète. Que ces démonstrations pouvaient s'appliquer à une infinité d'autres cas et qu'elles utilisaient des constructions géométriques. Ils supposent aussi que les méthodes arithmétiques mises au point par Théétète n'étaient pas disponibles pour Théodore.

La démonstration par le pair et l'impair

Des historiens comme Knorr ont essayé de reconstituer les démonstrations de Théodore en utilisant des arguments connus des pythagoriciens. Tout d'abord, il est facile de voir que la démonstration utilisée pour 2 vaut pour les entiers pairs qui ne sont pas des carrés, à savoir 6, 8, 10, 12, 14. Il reste à s'occuper de 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17. Nous allons grouper ces entiers en plusieurs familles.

Remarquons d'abord que si on a A2 = N B2, avec A et B non tous deux pairs, N étant impair, cela oblige que A et B soient impairs.

A = 2 a + 1 et B = 2 b + 1. Alors A2 = NB2 se traduit par:

4 a(a + 1)+ 1 = N [4 b(b + 1)+ 1]
N = 4 n + 3
Ceci recouvre les cas des entiers 7, 11, 15. L'égalité précédente se réécrit:
4 n[4 b(b + 1)+ 1] + 12 b(b + 1) + 3 = 4 a(a + 1) + 1
8 n b(b + 1) + 2 n + 6 b(b + 1) + 1 = 2 a(a + 1)
Un nombre pair est égal à un nombre impair: impossible.

N = 8 n + 5
Ceci recouvre les cas des entiers 5 et 13. Si on réécrit la même égalité, on obtient:
8 n + 8 n b(b + 1) + 20 b(b + 1) + 5 = 4 a(a + 1) + 1
2 n + 2 n b(b + 1) + 5 b(b + 1) + 1 = a(a + 1)
Un nombre pair égal à un nombre impair, ce qui est impossible.

8 n + 1
Ceci recouvre le cas 17.
17[4 b(b + 1) + 1] = 4 a(a + 1) + 1
17 b(b + 1) + 4 = a(a + 1)
Égalité de deux nombres pairs qui ne permet pas de conclure.

Justification actuelle

Bien sûr, les démonstrations actuelles utilisent la décomposition en facteurs premiers. Un nombre est le carré d'un entier si et seulement si tous les exposants des facteurs premiers qui figurent dans sa décomposition sont pairs. Tout nombre entier dont un des exposants des facteurs premiers qui figurent dans sa décomposition est impair est un nombre irrationnel. La démonstration de ce fait utilise le théorème de Gauss.

Soit p un facteur d'exposant a impair dans la décomposition de N. Si on suppose une fraction irréductible A/B égale à N, A2 = N b2, on montre que pa divise A2, et donc pa+1 aussi. L'égalité se simplifie par pa et permet de montrer ensuite que p divise B et d'obtenir une contradiction.

La méthode d'antiphérèse.

On connaît une autre démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale avec le côté du carré que celle par le pair et l'impair évoquée par Aristote. Elle repose sur la méthode d'antiphérèse (ou méthode de soustraction réciproque). On appelle ainsi l'algorithme de recherche d'une commune mesure entre deux lignes décrit dans le livre 10 des Éléments d'Euclide.

Soit un carré ABCD. On reporte sur la diagonale AC une longueur AE égale au côté AB et on mène la perpendiculaire à la diagonale en E qui coupe le côté BC en F. Il est facile de montrer que les triangles rectangles ABF et AEF qui ont leurs diagonales confondues et un côté AB égal au côté AE, sont égaux. Donc BF=EF. Le triangle EFC est un triangle rectangle qui a un angle de 45 degrés donc il est isocèle et EF=EC.

Appliquons maintenant l'algorithme de recherche d'une commune mesure. Une mesure commune à AC et AB est une commune mesure à AB et EC donc à AB et BF. Si on construit le carré EFGC, on est ramené à la recherche d'une commune mesure entre la diagonale FC et le côté EC. On recommence et on obtient un nouveau carré semblable au précédent. Cela montre que le processus ne se termine pas. Il n'y a donc pas de commune mesure.

Calcul de racines carrées

Un algorithme, qui est le plus efficace dans un sens que nous allons préciser ensuite, est obtenu à partir d'idées en apparence très différentes. C'est celui qui est programmé dans les calculettes et qu'on appelle suivant les livres algorithme de Babylone ou algorithme de Héron.

Algorithme de Babylone

BABb7root2pOn trouve sur une tablette (YBC 7289), le dessin d'un carré et de ses diagonales. Une longueur en sexagésimal est indiquée pour le coté et pour la diagonale. Sous la diagonale est indiqué un nombre sexagésimal 1, 24, 51, 10 qui évalué dans un système décimal fournit la valeur 1,414213 qui est une valeur approchée de 2 à 10-6 près.

Comment cette valeur a-t-elle pu être trouvée ? On peut seulement, en l'absence de textes écrits, supposer le raisonnement suivant, valable d'ailleurs pour A, A étant n'importe quel entier non carré.

Si a est une valeur approchée de cette racine, il est facile par un simple calcul d'encadrement constater que a et A/a sont deux valeurs qui encadrent la racine. En prenant la moyenne des deux valeurs, on a des chances d'améliorer la précision, remarque qui a pu être vérifiée empiriquement en élevant le nouveau nombre au carré.

Cela donne en terme de suite :

xn=
1

2
(xn-1 +
A

xn-1
)

 

Algorithme de Héron

Cette même méthode est exposée dans le texte suivant de Héron. Rappelons la formule de Héron qui permet d'obtenir l'aire S d'un triangle de cotés a, b, c et de périmètre p par la formule:

S = p(p - a)(p - b)(p - c)

La méthode exposée ci-après n'est pas la seule méthode employée par Héron. Nous y reviendrons plus tard. Voici l'exposé par Héron d'une méthode de calcul de 720

"Puisque 720 n'a pas de coté rationnel, nous extrairons le coté avec une très petite différence de la façon suivante. Comme le premier nombre carré plus grand que 720 est 729 qui a pour coté 27, divise 720 par 27, cela fait 26 et 2/3 ; ajoute 27, cela fait 532/3 ; prends-en la moitié : cela fait 26 5/6

En fait 26 5/6 multiplié par lui-même donne 720 1/36 ; de sorte que la différence est 1/36.

Si nous voulons rendre cette différence inférieure encore à 1/36, nous mettrons 720 1/36 trouvé tout à l'heure à la place de 729*, et en procédant de la même façon, nous trouverons que la différence est beaucoup plus petite que 1/36."

Les Métriques, livre 1 traduction de Mathématiques au fil des âges.

Algorithme de Descartes ou d'Euler

On peut aboutir au même algorithme à partir du point de vue suivant bien exprimé par Euler (extrait des Éléments d'Algèbre, ch. 785 et 786).

Le premier moyen dont nous parlerons suppose qu'on ait déjà déterminé assez exactement la valeur d'une racine ; qu'on sache, par exemple, qu'une telle valeur surpasse 4 et qu'elle est plus petite que 5. Dans ce cas, si l'on suppose cette valeur 4 + p, on est sûr que p exprime une fraction. Or si p est une fraction, et par conséquent moindre que l'unité, le carré de p, son cube, et en général toutes les puissances plus hautes de p, seront encore beaucoup plus petites que l'unité, et cela fait que, puisqu'il s'agit d'une approximation, on peut les omettre dans le calcul.

Partant d'une valeur approchée a de A, nous cherchons à l'améliorer en introduisant un terme correcteur h. On cherche (a + h)2 = A = a2 + 2 a h + h2. Négligeons h2. On prend h = A - a2/2 a. Alors la nouvelle valeur approchée est h = A + a2/2 a = 1/2(a + A/a)

Algorithme de Newton

On retrouve encore cet algorithme sous la forme de l'algorithme de Newton, qui expose sa méthode en 1669 sans donner d'interprétation géométrique ; celle-ci est l'oeuvre de Raphson puis la justification celle de Fourier. On considère la courbe y = x2 - A et on cherche la valeur de x pour laquelle y = 0. Partant d'une valeur proche a de la racine, on trace la tangente à la courbe au point (a, a2 - A). La tangente à la courbe a pour équation

y - (a2 - A) = 2 a(x - a)

Alors on obtient pour l'intersection de cette tangente avec l'axe des x la valeur x = A + a2/2 a, ce qui est la valeur donnée par les autres méthodes.

Justification de la convergence

Convergence de cet algorithme

Voici l'étude la la convergence de cet algorithme dans le cas de 2 sous forme de problème.
Dans le plan xoy, on porte sur ox une suite de points a1, ..., an... et sur Oy une suite de points b1, ..., bn,..., construites de la façon suivante :

1) a1 = 2 et b1 = 1

2) an = an-1+ bn-1/2

3) anbn = 2

Représenter cette suite de rectangles de cotés an et bn.

Démontrer les trois propriétés suivantes : " n, bn < an, la suite (an)n Î N est décroissante, la suite (bn)n Î N est croissante.

Calculer an - bn en fonction de an-1 - bn-1 et de an. Montrer que l'on a l'inégalité :

an - bn <
(an-1 - bn-1)2

4


Calculer les premiers termes de la suite (an)n Î N. Combien de décimales exactes a -t-on à chaque fois ? Utiliser l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes double à chaque fois.

Autre justification de la convergence

On peut aussi justifier la convergence de l'algorithme par les théorèmes sur les suites récurrentes. On trace le graphe de la fonction

f(x) =
1

2
(x +
A

a
)

et on justifie la convergence vers le point fixe solution de x = f(x)

Calcul par les fractions continues

Le procédé grec d'antiphérèse a fourni aux Grecs le moyens de trouver un algorithme d'approximation de 2 de la façon suivante.

On pose FC = d, EC = s, alors si on évalue le côté du carré ABCD et sa diagonale en fonction de d et de s, on obtient AB = d + s et AC = d + 2s. Définissons une double suite :

dn+1 = dn + 2 sn,     sn+1 = dn + sn.

On obtient facilement que

dn+12 - 2 sn+12 = 2 sn2 - dn2.

Il suffit alors de se donner pour point de départ des deux suites s0 = 1 et d0 = 1 pour obtenir +1 ou -1 pour la quantité dn2 - 2sn2. La suite des rapports dn /sn converge vers 2. Les premières valeurs sont 3 /2, 7 /5 utilisé par Aristaque, 17 /12 utilisé par Héron.

Cet algorithme revient, avec les notations qui sont les nôtres, à faire un développement en fraction continue :

a

b
=
q0 +
1

q1 +
1

q2 + ···

Si nous écrivons de cette façon le développement de 2, nous obtenons :

2 = 1 + (2 - 1)
2 =
1 +
1

2 + 1
2 =
1 +
1

2 +
1

2 + 1
2 =
1 +
1

2 +
1

2 +
1

2 +
1

2 + ···

On peut aussi noter 2 =á1,2,2,2,2, ...ñ.

On peut constater que cet algorithme fournit les mêmes approximations que l'algorithme du coté et de la diagonale. Si pn/qn est une approximation, la valeur suivante se calcule comme :

pn+1

qn+1
= 1 +
1

1 +
pn

qn
=
pn + 2qn

pn + qn

Les fractions continues ont joué un rôle fondamental dans l'histoire des approximations.

Approximations décimales

Les travaux d'approximation de rapports par des rationnels et amènent les mathématiciens à s'interroger sur le statut des rapports irrationnels. Sont-ce des nombres ou sont-ils associées à des nombres ?

Les décimaux

La découverte des décimaux chez les arabes et leur redécouverte en Europe poussent certains mathématiciens à des prises de position nettes sur cette question. Le contexte dans lequel est apparue la théorie des décimaux est important, lié à la fois à des calculs sur les polynômes, et à des calculs d'extractions de racines ne. Les traces de la diffusion de ce savoir vers l'Europe sont très parcellaires, mais attestées. Les décimaux semblent avoir fait l'objet d'une redécouverte en Europe au seizième siècle, par plusieurs auteurs dont le plus connu est Stévin. Les décimaux ont tout de suite été utilisés, par exemple par Viète pour la détermination d'approximations sous forme de fractions décimales des solutions positives d'équations algébriques, et pour l'établissement des tables de logarithmes. L'extension formelle des décimaux aux développements décimaux illimités attendra le développement de l'analyse (en 1742 dans un texte de John Marsch). Plus tard, certains voudront les utiliser pour considérer les irrationnels comme des nombres définis par un développement décimal illimité. Cependant leur usage posera les questions suivantes : le développement décimal illimité des fractions est périodique ; il y a une loi pour écrire les chiffres ; le développement décimal illimité des irrationnels n'a pas de loi ; n'est ce pas un objet vide ?

Décimaux et calcul de racines carrées

Pour le calcul de racines carrées, on a déjà vu un algorithme, sous le nom d'algorithme de Babylone et d'algorithme de Héron, où le nombre de chiffres décimaux exacts double à chaque pas d'itération. Voyons maintenant un algorithme qui détermine les chiffres décimaux successifs d'une racine carrée.

Newton a beaucoup travaillé sur les calculs d'approximations de racines d'ordre quelconque, à l'aide de décimaux. Voici un exemple de calcul d'une racine carrée par Newton,(Lectures on algebra p. 88.). Ce texte décrit une méthode qui a été enseignée en France jusqu'au développement des calculettes.

Il s'agit d'extraire la racine carrée de 99856. Cet algorithme détermine successivement les chiffres en partant de ceux d'ordre le plus élevé. Il repose entièrement sur l'identité algébrique (A + b)2 = A2 + 2 A b + b2. On suppose qu'à une étape on ait déjà déterminé A, qu'on ait retiré au nombre donné le carré de A et qu'on cherche le chiffre b suivant ce qui revient à appliquer l'identité avec (A × 10 +b)2. Il faut donc retirer 2 × (A × 10) × b + b2, ce qui explique que Newton double d'abord le nombre A avant de lui juxtaposer le chiffre b pour retirer (2 × (A × 10) + b) × b et donc avoir retiré le carré du nouveau nombre obtenu à cette nouvelle étape.

9 98 56 316
9      
0 98   6
  61    
  37 56 62
  37 56  
    0  


La première étape consiste à partager ce nombre en tranches de deux chiffres : 9.98.56. On cherche le plus grand nombre dont le carré soit 9. On obtient 3, premier chiffre de la racine cherchée et on retire son carré au premier bloc sur le gauche. Il reste 0. Le nombre cherché commence par un 3.

On abaisse la deuxième tranche 98, on double le premier chiffre 3 obtenu et on cherche le plus grand chiffre b tel que 6b × b soit inférieur à 98. Cela revient à chercher combien de fois 6 est contenu dans 9. On obtient b = 1 comme deuxième chiffre. On retire 61 à 98, on obtient 37. Le nombre cherché commence par 31.

On abaisse la troisième tranche et on travaille maintenant avec 3756. On double le nombre 31 obtenu comme début de notre racine. On obtient 62 et on cherche un troisième chiffre c tel que 62c × c soit le plus grand possible inférieur à 3756, ce qui revient à diviser 375 par 62. On obtient c=6. On retire à 3756 le nombre 626 × 6 = 3756, on obtient 0. Le nombre de départ est un carré 99856= 3162.

Pour extraire la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré, ou d'un nombre décimal la même méthode s'applique en partageant le nombre en tranches de deux chiffres de part et d'autre du point décimal. La suite du texte traite les extractions de racines cubiques etc.

Bibliographie : Les nombres irrationnels

 

Barbin
Saisir l'irrationnel : Dire, montrer, faire toucher, tenir, APMEP numéro 400 septembre 1995.
Cousquer
La fabuleuse histoire des nombres édition Diderot, 1998.
Daumas
Activités en classe sur l'irrationalité de Pythagore à Théon de Smyrne, Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques Besançon 1995.
Daumas
Une approche de l'irrationalité : algorithme d'Euclide et fractions continues Commission Inter Irem épistémologie et histoire des mathématiques, Histoire d'infini Landerneau 1992.
Houzel
Qu'est-ce qu'un nombre réel ? La Recherche Novembre 1995.
IREM
Histoires de problèmes, histoire des mathématiques, Faut-il toujours raison garder et En route vers l'infini Ellipses, 1993.
Jaboeuf
Les fractions continues, revue Quadrature numéros 1 à 6.
Thomas, Van Dieren, Rouche
Mesures, pavages et nombres irrationnels, GEM Louvain la Neuve.

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20 janvier 2010 3 20 /01 /janvier /2010 21:15
 

Les origines, la découverte du calcul vectoriel, sa diffusion du calcul vectoriel, le développement de l'analyse vectorielle moderne,avec une bibliographie.

LES ORIGINES

Le parallélogramme des forces

L'utilisation du parallélogramme des vitesses peut être trouvée chez les Grecs (Archimède, Héron d'Alexandrie) et celle du parallélogramme des forces apparaît souvent au seizième siècle et au dix-septième siècle. Ce parallélogramme est un diagramme qui permet de calculer les composantes d'une résultante, mais n'est pas vu comme définissant la somme de deux objets géométriques (les vecteurs).

La géométrie de situation de Leibniz

Une tentative de Leibniz (1646-1716) d'élaborer un calcul sur des entités géométriques reste isolée ; les idées de Leibniz sont développées dans une lettre à Huygens de 1679. Son système repose sur la notion de congruences de points, de figures. Il suggère une nouvelle algèbre où les symboles représentent des entités géométriques. Son "Essai sur la géométrie de situation" ne fut publié qu'en 1833, et un prix offert au mathématicien qui développerait les idées de Leibniz fut remporté par Grassmann.

La représentation des nombres complexes

Utilisés depuis Cardan en 1545 dans "Ars Magna", les nombres complexes étaient vus avec méfiance par un grand nombre de mathématiciens. La première tentative de représentation géométrique des nombres complexes fut faite par Wallis au dix-septième siècle. Un Norvégien, Wessel, publie en 1799 une interprétation des nombres complexes par des lignes du plan avec une tentative d'extension à l'espace. Son travail est resté longtemps inconnu ! D'autres mathématiciens travaillent et publient indépendamment : Buée en 1805 "Mémoire sur les quantités imaginaires", Argand en 1806 "Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométrique", Warren en 1828 "Traité sur la représentation géométrique des racines carrées des quantités négatives", Mourey en 1828 "La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendument imaginaires". Gauss publie en 1831 l'exposé qui fut le plus connu du fait de la célébrité de son auteur.

Les tentatives d'extension des vecteurs à l'espace

La plupart de ces mathématiciens essaient d'étendre leur calcul à l'espace mais échouent: la difficulté étant l'expression de rotations autour d'axes quelconques pour le produit. Ces mathématiciens ont travaillé indépendamment les uns des autres, ce qui montre l'importance de ce sujet à cette époque. C'est la découverte de la représentation géométrique des nombres complexes qui a convaincu beaucoup de mathématiciens de la légitimité du calcul avec les nombres complexes. Mais il est à remarquer que Gauss ne considérait pas l'interprétation géométrique des nombres complexes comme une justification probablement parce qu'il commençait à avoir des doutes sur la géométrie.

LA DÉCOUVERTE DU CALCUL VECTORIEL

Deux mathématiciens ont découvert l'extension à l'espace du calcul vectoriel : Hamilton (1843) et Grassmann (1844), mais d'autres cherchaient à la même époque des systèmes de caractère plus ou moins vectoriel : Möbius, Bellavitis, Barré (Comte de Saint Venant), Cauchy, M. 0. Brien. L'oeuvre de Hamilton connut une célébrité immédiate, celle de Grassmann fut redécouverte vers la fin du siècle.

Hamilton et les quaternions

Au siècle dernier, beaucoup, y compris Hamilton lui-même qui y a consacré vingt ans de sa vie, ont vu dans les quaternions l'avenir des mathématiques et l'équivalent pour l'algèbre des "Éléments" d'Euclide. Aujourd'hui, on y voit plutôt une étape vers le calcul vectoriel actuel.

Né en 1805, Hamilton fut un étudiant brillant à Dublin. Polyglotte, connaissant treize langues, il commence à publier à dix-sept ans un article d'optique. Il devient professeur à l'Université de Dublin. En 1832, il prévoit par la théorie un phénomène de diffraction en optique, ce qui est ensuite confirmé par l'expérience et lui vaut une grande célébrité. Hamilton fut un des savants les plus renommés de l'Angleterre, et membre de nombreuses académies scientifiques. Les conceptions philosophiques de Hamilton sont celles de Kant qu'il étudie durant ces années-là, et pour qui les mathématiques sont basées sur l'intuition de l'Espace et du Temps.

Les couples algébriques : En 1837, il publie "Théorie des fonctions conjuguées ou des couples algébriques". La première partie expose le but de Hamilton : fonder l'algèbre comme une science à l'image de la géométrie. Cette algèbre est fondée sur l'intuition de temps : les nombres négatifs sont des écarts de temps, les nombres complexes sont des couples de nombres réels. Hamilton conçoit une extension possible à des n-uples. Cet article de Hamilton reprit son importance après la découverte des géométries non euclidiennes car la justification des nombres complexes par la géométrie ne suffisait plus. Il marque le début des recherches de Hamilton sur les triplets.
Les triplets :En 1843, Hamilton fait dans un article l'inventaire de toutes les propriétés que doivent vérifier selon lui les triplets : associativité de l'addition et de la multiplication, commutativité de ces deux lois, distributivité du produit vis-à-vis de l'addition, existence d'un quotient, d'une loi de module qu'il écrit de la façon suivante : si (a1 + b1 i + c1 j) (a2 + b2 i + c2 j) = a3 + b3 i + c3 j , on doit avoir : (a1 + b1 + c1 ) (a2 + b2 + c2) = a32 + b32 + c32 et d'une interprétation dans l'espace à trois dimensions.
Les quaternions :En octobre 1843, Hamilton tient la solution de son problème avec la découverte des quaternions, où il utilise non pas des triplets mais des quadruplets. Un quaternion est un nombre w + x i + y j + z k, où x, y, z, w sont des réels ; les vecteurs i, j, k, formant un trièdre orthonormé direct ; le produit vérifie les lois habituelles des nombres sauf la commutativité. On a les relations

i2 = - 1 = j2 = k2      i j = k,  j k = i ,   k i = j ,      j i = -k,   k j = -i,    i k = -j

Cette découverte est fondamentale et fait sensation ; c'est le premier système de nombres non contradictoire qui ne vérifie pas toutes les lois de l'arithmétique. Hamilton distingue dans le quaternion le scalaire w du mot scale qui signifie "échelle de valeur" et le vecteur x i + y j + z k. Dans le produit de deux vecteurs

V . V' = (x i + y j + z k) (x' i + y' j + z' k)

V .
V' = - (x x' + y y' + z z') + (y z' - z y') i + (z x' - x z') j + (x y' - y x') k

 

Hamilton distingue S (V V'), partie scalaire de V V', l'opposé de notre produit scalaire V.V' et la partie vectorielle de V V', notre produit vectoriel actuel.

L'opérateur

En 1846, Hamilton introduit l'opérateur

Ñ = i

d


 

d x

+ j

d


 

d y

+ k

d


 

d z

dont il voit l'importance en physique.

La défense des quaternions

Hamilton découvre les quaternions en 1843 et se consacre ensuite à cette théorie. Hamilton publie de nombreux articles et fait des conférences ; en 1853, il publie un livre: "Lectures on quaternions". En 1856, il commence à rédiger les "Elements of quaternions" qui seront publiés un an après sa mort en 1866. Ce livre est très touffu et peu lisible ; il est basé sur une présentation géométrique des quaternions et vise à présenter les fondements de l'algèbre ; on y trouve toutes sortes d'opérations sur les quaternions, y compris logarithmes, puissances.

 

Développement d'autres systèmes vectoriels

D'autres mathématiciens commencent à publier des articles sur les quaternions vers 1860 : Cayley, Allégret, Bellavitis, Bolzano. Un disciple de Hamilton, Tait, professeur de physique publiera en 1867 un "Traité élémentaire sur les quaternions", où sont développés beaucoup d'applications physiques, et qui, moins touffu que les "Eléments" est le livre qui a fait connaître à un large public de mathématiciens et de physiciens le calcul des quaternions ; Maxwell, en particulier s'est servi de ce livre.

Le calcul barycentrique de Möbius

Möbius (1790-1868), professeur à l'université de Leipzig, à partir de 1815, n'a pas construit un calcul vectoriel, mais un calcul sur les points : il publie son calcul barycentrique en 1827. Il fut en correspondance avec Bellavitis et Grassmann. Son travail fut bien accueilli par les milieux mathématiques de son temps.

Le calcul sur les équipollences de Bellevitis

Bellavitis (1803-1880), professeur à l'université de Padoue en Italie, publie en 1835 son calcul sur les équipollences, où il désigne par lignes équipollentes nos vecteurs actuels. Il définit la somme dans l'espace, et dans le plan un produit. L'oeuvre de Bellavitis est importante pour toutes les applications qu'il a données de son calcul en mathématiques et en physique.

Grassmann et son calcul d'extension

Après des études de théologie et de philologie à Berlin, Grassmann (1809-1877) retourne dans sa ville de Stettin et étudie seul les mathématiques, la physique et les sciences naturelles. Il devient professeur dans une école technique, et en dépit de ses efforts il n'obtiendra jamais de poste universitaire.

Le calcul vectoriel de Grassman :En 1839, Grassmann écrit une thèse "Théorie des flots et des marées", où il utilise des méthodes vectorielles. Cette thèse ne fut jamais lue par son examinateur ; elle ne fut publiée qu'en 1911. Dans cette thèse, il définit la somme de deux vecteurs dans l'espace et leur produit: la surface orientée du parallélogramme qu'ils définissent ; deux telles surfaces sont égales si elles sont dans des plans parallèles et ont la même aire orientée. Le produit de trois vecteurs de l'espace est un solide orienté. Grassmann étudie les propriétés de ces opérations et fait un calcul différentiel sur les vecteurs. Il définit un produit linéaire de deux vecteurs (notre produit scalaire), montre ses propriétés et donne son expression en fonction des composantes des vecteurs. Le calcul vectoriel que Grassmann utilise est donc proche du notre. Il constate que son calcul lui permet de simplifier les calculs que Lagrange avait fait dans la "Mécanique analytique".

Le calcul d'extension de Grassmann :En 1814, Grassmann publie "Ausdehnungslehre". Ce livre est destiné à exposer complètement son système. C'est une géométrie à n dimensions. Selon les conceptions de Grassmann, la géométrie donnée par la nature n'est pas une branche des mathématiques. Grassmann cherche une théorie abstraite dont les lois sont semblables à celles de la géométrie. Le livre débute par une longue introduction historique et philosophique qui fut un obstacle majeur pour la plupart des mathématiciens de son temps.

Le système de Grassmann :Son système porte sur des formes de différents ordres: nombres, points, vecteurs, aires orientées, ... Il définit des connections (addition et soustraction) entre formes du même ordre qui donnent une forme du même ordre. Il définit un produit entre formes du premier ordre qui est une forme du deuxième ordre. Les produits entre formes d'ordre deux et un donnent une forme du troisième ordre, etc. Grassmann étudie les propriétés de ces lois. Il montre comment ses idées peuvent être utilisées pour assurer les fondements de la géométrie, représenter les forces et les vitesses, étudier les centres de gravité. Il redécouvre le calcul barycentrique et le calcul des vecteurs (formes du premier ordre).

Méconnaissance de l'oeuvre de Grassmann :Il est à remarquer que les idées de Grassmann publiées en 1844 sont plus riches et générales que celles exposées par Hamilton. Pourtant il se passera plus de vingt ans avant qu'on ne lise et apprécie le livre de Grassmann. Grassmann réécrit l'Ausdehnungslehre en 1862 en diminuant la partie philosophique et en ajoutant des développements (solution du problème de Pfaff). Après 1862 Grassmann se consacre à des travaux de philologie et à l'étude du Sanscrit. Il meurt en septembre 1877.

Redécouverte tardive de son oeuvre :Les premiers mathématiciens à s'intéresser vraiment à l'oeuvre de Grassmann sont les Italiens : Cremona (1860), Bellavitis, Peano puis des compatriotes de Grassmann Hankel (1867) un élève de Riemann, Clebsch (1872), Victor Schlegel (1869), Klein. Schlegel diffuse l'oeuvre de Grassmann à ses élèves, écrit un livre pour exposer ses idées et une bibliographie de Grassmann. Gibbs (USA) et Klein collecteront ses oeuvres et les publieront de 1894 à 1911.

LA DIFFUSION DU CALCUL VECTORIEL

Tait

Professeur de physique, disciple de Hamilton et ami de Maxwell, Tait, 1831-1901 publie en 1867 "Le Traité élémentaire sur les quaternions", et écrit de nombreux articles pour défendre l'oeuvre de Hamilton. Il s'opposera au développement du calcul vectoriel moderne au nom de l'orthodoxie "quaternioniste".

Pierce

Dès 1848, Pierce fait un cours sur les quaternions à Harvard. Il publie peu sur ce sujet mais a beaucoup contribué à faire connaître la théorie des quaternions aux USA.

Maxwell

Maxwell (1831-1879) publie en 1860 son traité d'électricité et de magnétisme où tout est écrit en coordonnées. Lors d'une réédition en 1873 de ce traité, il introduit en parallèle à l'écriture en coordonnées une écriture en vecteurs: les vecteurs et l'opérateur V sont là comme une simplification d'écriture mais toutes les démonstrations sont faites en coordonnées. Il utilise le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans sa préface, il expose ses conceptions. Cette préface est remarquable et il est instructif de la relire aujourd'hui.

La préface du traité de Maxwell

"Relation entre les quantités physiques et les directions de l'espace
Pour distinguer les différentes espèces de quantités physiques, il est très important de connaître quelle est leur relation avec la direction des axes de coordonnées dont on se sert d'habitude pour définir la position des objets. L'introduction des axes de coordonnées en géométrie, due à Descartes, a été un des plus grands progrès faits dans les mathématiques, car elle a ramené les méthodes de la géométrie à des calculs portant sur des quantités numériques. On fait dépendre la position d'un point de la longueur de trois lignes toujours tracées dans des directions déterminées, et, de même, on considère la ligne qui joint deux points comme la résultante de trois autres lignes."

On reconnaît là la description d'un repère orthonormé, des coordonnées d'un point et des composantes d'une "ligne" joignant deux points.

"Mais souvent en physique, pour raisonner, et non plus pour calculer, il est désirable d'éviter l'introduction explicite des coordonnées cartésiennes, et il est avantageux de fixer son attention sur un point de l'espace pris en lui-même, et non plus sur ses trois coordonnées, sur la grandeur et la direction d'une force, non sur ses trois composantes. Cette manière d'envisager les quantités géométriques et physiques est plus naturelle que l'autre, et se présente d'abord à l'esprit ; néanmoins les idées qui en découlent ne reçurent pas leur entier développement, jusqu'au jour où Hamilton fit un deuxième grand pas dans l'étude de l'espace, par l'invention de son calcul des Quaternions."

L'opposition entre raisonner en physique et non plus calculer est d'une brûlante actualité dans l'enseignement où le refuge des étudiants est de se précipiter sur l'application de formules ! On pense aussi au texte de Galois, (reproduit dans le livre de N. Mahammed "sauter à pieds joints sur les calculs...")

"Comme aujourd'hui les méthodes de Descartes sont encore les plus familières à ceux qui étudient les sciences et qu'elles sont en réalité les plus avantageuses pour le calcul, nous exprimerons tous nos résultats sous la forme cartésienne ; mais je suis convaincu que l'introduction des idées de Hamilton, prises en dehors des opérations et des méthodes des quaternions, nous seront d'une grande utilité pour l'étude de toutes les parties de notre sujet, et en particulier de l'Électrodynamique, où nous avons à considérer un certain nombre de quantités physiques dont les relations peuvent s'exprimer bien plus simplement par quelques mots du langage de Hamilton que par les équations ordinaires."

Les idées de Hamilton prises en dehors des opérations et des méthodes des quaternions ! Formule remarquable que Maxwell explicite dans le paragraphe suivant. Quelles sont ces idées qui lui paraissent si importantes ?

"Un des traits les plus importants de la méthode de Hamilton est la division des quantités en scalaires et vecteurs.
Une quantité scalaire est susceptible d'être entièrement définie par une seule donnée numérique. Sa valeur numérique ne dépend en aucune façon de la direction attribuée aux axes de coordonnées.
Un vecteur ou quantité ayant une direction exige, pour être défini, trois coordonnées numériques, ce dont on peut se rendre compte le plus aisément en les considérant comme se rapportant à la direction des axes de coordonnées."

Importance du rôle de Maxwell

L'oeuvre de Maxwell fut essentielle pour le développement du calcul vectoriel : tous les physiciens devront désormais se familiariser avec ce calcul pour lire les articles d'électricité. C'est par Maxwell que Gibbs et Heaviside se sont intéressés à Hamilton et Tait.

Nombres ou vecteurs ?

Dans la préface de son traité, Maxwell présente l'ensemble des méthodes mathématiques de la physique. On comprend au travers de ce texte, l'échec de ce que Hamilton avait considéré comme la grande oeuvre de sa vie, écrire ces "Éléments" d'Algèbre qui joueraient pour la science au dix-neuvième siècle le rôle que les "Éléments" d'Euclide avaient joué depuis l'antiquité. Hamilton a milité activement pour l'usage des quaternions et en a montré les multiples applications en physique. Tait a poursuivi cette oeuvre. Les quaternions sont des nombres et on peut définir le travail de Hamilton comme une tentative pour algébriser la physique.

Clifford

Clifford (1845-1879), professeur de mathématiques appliquées et de mécanique à Londres, en 1871, fut l'un des premiers mathématiciens à connaître à la fois Grassmann et Hamilton. En 1878, il publie "Applications de l'algèbre de l'extension de Grassmann". En 1877, il donne une série de conférences sur les quaternions. Il commence à écrire "Éléments de dynamique" avant sa mort à trente quatre ans. Dans ces "Éléments" il utilise séparément le produit scalaire et le produit vectoriel et ouvre la voie à l'analyse vectorielle moderne.

L'école italienne

Peano écrit en 1887 "Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale" qui débute par un chapitre sur les opérations sur les vecteurs puis par la différenciation des vecteurs et l'application à la géométrie. En 1888, il publie "Calcolo geometrico secundo - l'Ausdelungslehre de H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva ". Ce sont ces livres et les cours de Peano qui ont diffusé le calcul vectoriel en Italie et de là en France. Ils donnent une interprétation géométrique concrète des formes et opérations de l'Ausdehnungslehre. Ses élèves Burali-Forti et Marcolongo diffusent ses idées en France et en Italie. En 1897, Burali-Forti écrit son livre "Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode H. Grassmann" qui fut publié à Paris.

DÉVELOPPEMENT DE L'ANALYSE VECTORIELLE MODERNE

Aux États Unis

Gibbs (1839-1903) ingénieur aux USA voyage en Europe trois ans entre 1866 et 1869. Il prend connaissance des oeuvres de Môbius, Grassmann et Hamilton avant son retour aux USA, à Yale où il devient professeur de physique à l'Université. En 1879, il fait un cours d'analyse vectorielle ; entre 1881 et 1884, il publie sous forme de polycopié ses "Éléments d'analyse vectorielle" et en envoie des copies aux savants les plus connus. Ce livre a une grande importance; il s'agit plutôt d'une formulation et de notations simplifiées que d'une théorie nouvelle. À partir de 1890, dans une polémique autour du calcul vectoriel il écrit de nombreux articles et analyse les oeuvres de Môbius, Grassmann, Saint- Venant, Cauchy, Cayley, Peirce, Hankel, Sylvester. Il utilise le calcul vectoriel pour sa théorie électromagnétique de la lumière ainsi que pour l'astronomie. Il aide le fils de Grassmann à publier les oeuvres complètes de son père. En 1901, Wilson publie le cours de Gibbs.

En Angleterre

Né à Londres en 1850 dans une famille pauvre, Heaviside (1850-1925) prend un emploi d'opérateur de télégraphe et en 1872 publie un premier article sur l'électricité. En 1874, il se consacre entièrement à l'étude et la recherche. Il publie de nombreux articles dans la revue "L'Électricien", où il introduit progressivement les notations et les opérateurs de notre calcul. Il sépare produits scalaire et vectoriel, le rotationnel et la divergence d'un vecteur. Il opte pour le signe + devant le carré scalaire d'un vecteur, plus en accord avec la physique. En 1892, ses articles sont rassemblés et publiés en deux volumes. En 1893,il publie le premier volume de "Théorie Électromagnétique" (le deuxième volume est publié en 1899 et le troisième en 1912) où il montre que son système, proche de celui de Gibbs, est plus avantageux que le calcul classique sur les composantes, qu'il présente des notations très simplifiées par rapport au calcul des quaternions et supprime l'inconvénient du signe - pour le carré scalaire d'un vecteur. Il juge les quaternions "un concept mathématique hautement abstrait" et inutile pour la physique. Heaviside meurt en 1925 dans la pauvreté de l'isolement. Pourtant son oeuvre commence à être connue et appréciée en Angleterre et en Allemagne où Fôppl diffuse les idées de Maxwell et Heaviside.

En France

Désintérêt pour le calcul vectoriel : on peut constater que la recherche et l'enseignement des mathématiques ont été absents de tout ce débat sur le calcul vectoriel ; l'adaptation à ce calcul s'est faite très tard, après 1920, à propos en travaux en mécanique.

Polémique sur le calcul vectoriel

Le débat entre savants et journaux de différents pays en 1890 a contribué à faire connaître le nouveau système de Gibbs, Heaviside. Il s'est déroulé entre les tenants des quaternions (Tait, Mac Aulay, Knott) et des savants comme Gibbs, Heaviside, Mac Farlane. Les articles de Gibbs, bien documentés sur l'histoire de ce calcul, sur les besoins des physiciens permettent de faire connaître et apprécier son système. Il s'agit du processus d'acceptation de ces idées vectorielles par la communauté scientifique, qui sera suivi par l'apparition à partir des années 1900 de traités didactiques sur les méthodes vectorielles aux USA, en Allemagne, en Italie, en Russie.

Le vectoriel et le linéaire

On voit bien dans ce processus à quel point les idées vectorielles et le linéaire ont été au départ séparées. Or ces idées sont aujourd'hui toujours associées dans les cours d'algèbre linéaire. Il est donc intéressant de constater que ces idées ont des origines distinctes. Le linéaire vient de l'oeuvre de Galois, Jordan, Cayley... le calcul sur les systèmes linéaires, les déterminants et les matrices ont une émergence historique commune. Le calcul sur les vecteurs et leurs généralisations en ont une autre que nous avons retracée ici.

Bibliographie

  • Cousquer.E. "Le calcul vectoriel", dans "La rigueur et le calcul". Cedic, 1982, 7 pages. Présentation résumée de l'histoire de la représentation géométrique des nombres complexes et du calcul vectoriel.
  • Crowe "A history of vector analysis", Notre dame 1967, réédition Dover, 1985. Ouvrage classique de référence sur l'histoire de la représentation géométrique des nombres complexes et du calcul vectoriel.
  • Dorier "Grassmann et la théorie des espaces vectoriels", 20 pages, dans "Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques", Besançon, 1995.
  • Dorier "Hermann Grassmann et la Théorie de l'extension", Revue Repères-IREM numéro 26, janvier 1997.
  •  Flament "Le nombre, une hydre à n visages, entre nombres et vecteurs", Éditions de la maison des sciences de l'homme, 1997, 299 pages. Cet ouvrage collectif rassemble plusieurs contributions à l'histoire des nombres complexes et des vecteurs. Chaque auteur- mathématicien ou physicien, historien ou philosophe des sciences, didacticien ou pédagogue- en aborde une étape ou un point de vue différents et cet ensemble rend la grande diversité et l'extrême richesse de cette question.
  • Doncel "Maxwell et la traduction intuitive du calcul vectoriel", 14 pages, dans "Flament...". Les débuts de l'utilisation du calcul vectoriel en physique.
  • Legrand "Vecteurs, translations et homothéties", 13 pages dans "Les maths en collège et en lycée", Hachette, 1997.
  • Loyau "Vecteurs : 151 ans de déloyaux services", 40 pages, dans "Flament...". Polysémie du mot vecteur dans l'histoire de l'enseignement.
  • Mahammed "Résolution des équations algébriques" édition Diderot 1998.
  • Schubring "L'interaction entre les débats sur le statut des nombres négatifs et imaginaires et l'émergence de la notion de segment orienté", 15 pages, dans "Flament...".
  • Sinègre "Quelques essais pour multiplier des vecteurs au dix-neuviè;me siècle", 19 pages, dans "Flament...". Les débuts des opérations sur les vecteurs. Zerner "L'installation de la variable complexe dans l'enseignement", 12 pages, dans "Flament...". Article sur l'histoire de l'enseignement des nombres complexes.

 

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22 février 2000 2 22 /02 /février /2000 15:43

Contribution au livre « History in Mathematics Education »

The ICMI study edited by John Fauvel and Jan van Maanen

paru en 2000 aux éditions « Kluwer Academic Publishers.

Ce livre a pour ambition de faire le point sur le rôle de l'histoire des mathématiques dans l'enseignement au niveau international. John Fauvel et Jan van Maanen étaient les pilotes du congrès ICMI satellite du congrès de Tokyo en août 2000 à Taipeh. Ils ont élaboré un document de discussion et lancé un appel à contributions. Une conférence a eu lieu du 20 au 25 avril 1998 au cirm à Luminy pour répartir le travail de rédaction du livre.

Personnellement, j'ai participé à deux chapitres : « l'histoire des mathématiques pour la formation des maîtres » (chapitre 4) et le chapitre 11 « bibliographie pour approfondir le travail ultérieurement »

Les participants se sont retrouvés au colloque satellite ICMI à Taipeh en août 2000.

J'ai animé un atelier où j'ai fait une présentation.

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