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1 novembre 2000 3 01 /11 /novembre /2000 00:00

  Cet article est à compléter par l'article sur les mathématiques égyptiennes


EGYa1mural1

La civilisation égyptienne antique

EGYa1amural2

EGYa4mural3

La description de l'Egypte publiée en 1809 par les savants qui ont accompagné l'expédition en Egypte de Napoléon, fit connaître en Europe la civilisation égyptienne. De nombreux sites permettent de s'informer par exemple le site de l'association d'égyptologie ou l'encyclopédie wikipedia.  On peut aussi consulter les musées virtuels comme les collections en ligne du musée du Louvre.

Les écritures égyptiennes 

The Rosetta Stone
La pierre de Rosette découverte en 1799, exposée au British Museum, porte un même texte en trois écritures : hiéroglyphes, démotique, grec, et des cartouches avec des noms de rois et a fourni à Champollion en 1822 la clé des écritures égyptiennes. 

EGYa3cartouche

 

Ci contre deux cartouches utilisés par Champollion pour le déchiffrement des hiéroglyphes. 

 

EGYa7vase

Sa connaissance du copte qui dérive de la langue des anciens égyptiens lui a permis d'interpréter les deux cartouches de Cléopatre et de Ptolémée. .Le déchiffrement des écritures égyptiennes par Champollion grâce en particulier à la pierre de Rosette a ouvert la voie à la redécouverte de la  civilisation égyptienne antique. Champollion a découvert que l'écriture égyptienne n'était pas purement idéographique : l'écriture égyptienne hiéroglyphique, note tantôt des sons, tantôt des idées,
Vase avec des cartouches

 

Afin d'illustrer ce caractère complexe des hiéroglyphes, le texte ci-dessous note avec des couleurs différentes les signes phonétiques et les signes idéographiques.
EGYa5hiero-phon

 EGYa6egypt17Hiéroglyphes gravés : l'écriture hiéroglyphique était réservée à la gravure sur pierre. Les deux autres systèmes dérivés de celui-là, écriture hiératique et écriture démotique, étaient utilisés sur les papyrus ou les autres supports. La pierre de Rosette comporte trois écritures, grecque hiéroglyphe et démotique.

 

 

Les mathématiques en Égypte

EGYa8rhindLes mathématiques égyptiennes sont connues par quelques papyrus dont le plus célèbre est le papyrus Rhind.
 Les études des historiens des mathématiques bien que reposant sur peu de documents ont transformé la vision qu'on avait en occident sur l'origine des mathématiques et montré que les mathématiques grecques n'ont pas surgi du néant et qu'un millénaire avant les mathématiciens grecs, une mathématique très développée existait en Mésopotamie et en Égypte. Les fractions égyptiennes ont suscité beaucoup d'études.

Les Grecs considéraient que l'origine des mathématiques était égyptienne. Aristote l'attribuait à la caste des prêtres, tandis qu'Hérodote pensait que les crues périodiques du Nil avaient conduit les Égyptiens à inventer la géométrie.

EGYa9RhindpapLorsqu'on étudie les textes mathématiques égyptiens, on constate qu'il s'agit essentiellement de problèmes pratiques de répartition de nourriture, de salaires, de calcul de matériaux de construction, de problèmes de mesure de surface, de volume. L'essentiel de ces documents consiste donc en techniques sur des  exemples de calculs (multiplication, division et calculs avec des fractions), ainsi que des listes de problèmes.

 

 

Papyrus de Rhind
   

 
Les nombres en Egypte

Le système égyptien représente chaque puissance de 10, jusqu'à 107, par un hiéroglyphe. Un symbole est créé pour chacune des unités, des dizaines, des centaines, des milliers, à la manière de la numération grecque ultérieurement. Ce système d'écriture des nombreslink permet d'écrire un nombre comme 9999 avec 4 symboles seulement.

EGYb1N71755E3

Dans ce système, le nombre 71 755 875 est écrit par répétition de symboles.

Techniques de calcul

L'addition égyptienne est évidente avec le système de numération car il suffit de compter le nombre de symboles de chaque sorte.

La multiplication égyptienne Dans le Papyrus de Rhind, voici le calcul de 12 au carré. On additionne les lignes marquées du signe / et on obtient la somme 144. Le nombre 12 est donc obtenu comme somme 12 =8+4.  Il s'agit donc d'un série de doublements 

1     12      
2     24      
4     48     /
8     96     /


.Dans le Papyrus de Kahun voici le calcul du carré de 16. On obtient la somme 256. Ici on utilise une multiplication par 10, évidente si on pense qu'il s'agit simplement de "décaler" des symboles.

1      16       /
10     160     /
5      80  /


La division
La division est ramenée par les Égyptiens à la multiplication. Ainsi, trouver le quotient de 1 120 par 80 était formulé : Ajoute en commençant à 80 jusqu'à ce que tu obtiennes 1 120. La solution de ce problème se présente de la façon suivante :

1       80
10      800     /
2      160 
4      320   /
Pour nous le résultat est 14. Pour les Égyptiens, c'est 1 120 qui est explicitement indiqué comme résultat.


Les fractions égyptiennes
Lorsque le calcul de la division ne tombe pas juste, les Égyptiens avaient recours aux parts, c'est-à-dire des fractions 1/n, avec n étant un entier. Ces fractions égyptiennes ont suscité beaucoup de travaux de mathématiciens intéressés par l'histoire de leur discipline.

Relations classiques qui apparaissent dans le papyrus de Rhind :

 1/3 +     1/6     =     1/2     
  1/2 +     1/3 +     1/6     =     1     
  2/3     =     1/2 +     1/6
   2/3 +     1/6     =     1/2 +     1/3
   1/2 +     2/3     =     1 +     1/6

Le début du papyrus de Rhind est consacré à l'établissement de tables pour de décomposer le double des parts 2/n en fractions unitaires. Voici par exemple les doublements successifs de la fraction 1/9
1          1/9
2          1/6 + 1/18
4          1/3 + 1/9
8          2/3 + 1/18

 
Voici un exemple de division du papyrus de Rhind, le calcul du quotient de 19 par 8.

Il s'agit d'opérer des doublements et des divisions par 2 à partir de 8 pour obtenir 19 ; le quotient est 2 + 1/4 + 1/8

1        8 
2         16    /
1/2      4
1/4      2     /
1/8      1    /   

On renvoie à l'article sur les mathématiques égyptiennes pour d'autres exemples de calcul. La fraction 2/3 joue un rôle privilégié chez les anciens égyptiens où on les voit passer d'abord par 2/3 pour obtenir 1/3. Cela indique que 1/3 est vu principalement comme la moitié de 2/3.

Problèmes 3 à 6 du papyrus de Rhind

Partager 6, 7, 8, 9 pains entre 10 hommes.

Réponses
6 pains entre 10 hommes : 1/2 + 1/10 chacun ;
7 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/30 chacun ;
8 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/10 + 1/30 chacun ;
9 pains entre 10 hommes : 2/3 + 1/5 + 1/30 chacun.

La table des fractions 2/n

Au début du papyrus de Rhind, se trouve une liste de décompositions de fractions 2/n. Cette table contient toutes les fractions 2/n de n=3 à n=101, pour n impair. Beaucoup de chercheurs ont travaillé sur cette table pour découvrir les règles qui avaient présidé à son élaboration.
Multiplicité des décompositions en parts
Un chercheur, Dr Gillings avec son ordinateur a listé 1 967 décompositions possibles de 2/45 en somme d'au plus quatre fractions égyptiennes ; 1 826 avec quatre fractions; 134 décompositions avec trois fractions; 7 décompositions avec deux fractions :

1/24 + 1/360,
1/25 + 1/225,
1/27 + 1/135,
1/30 + 1/90,
1/35 + 1/63,
1/36 + 1/60
1/45 + 1/45.
Cela explique l'impasse dans laquelle se sont trouvés les anciens égyptiens : comment reconnaître que deux nombres sont égaux quand ils ont une telle multiplicité d'expressions, alors qu'ils ne disposaient pas de l'équivalent de notre mise au même dénominateur puisque seules les parts avaient du sens.

Dans certains de ces calculs figurent des nombres écrits en rouge appelés auxiliaires rouges. Ces nombres seraient les numérateurs des fractions si elles avaient été réduites au même dénominateur. On renvoie de nouveau à l'article pour des exemples de problèmes égyptiens. Le "dénominateur commun" n'est pas toujours un entier mais peut être un nombre avec une partie fractionnaire. Les égyptiens n'avaient pas encore le concept de fraction, même si ces auxiliaires rouges pouvaient constituer un pas vers cette notion.
L'algèbre des anciens Égyptiens

Pour l'essentiel les calculs faits dans les problèmes du papyrus de Rhind se ramènent à des équations du premier degré. Voici par exemple le problème 24 :

    Une quantité et son 7ième vaut 19. Quelle est cette quantité ?
    Opérer avec 7, faire le 7ième, total 8
    Calculer avec 8 pour obtenir 19. Cela fait 2 + 1/4 + 1/8
    Multiplier 2 + 1/4 + 1/8 par 7.
    On obtient 16 + 1/2 + 1/8

Le principe de la méthode de résolution a été appelé plus tard la méthode de fausse position.Soit la résolution de l'équation : a.x = b. On part d'une valeur x0 telle que le calcul de a.x0 = b0 soit facile. Ici x0 = 7 et on ramène le calcul de x à x0. b/b0 (en termes modernes).
Analyse des problèmes du papyrus de Rhind : Beaucoup se présentent sous la forme : "une quantité et son ne vaut p. Quelle est cette quantité ?"  La technique de résolution est toujours en trois étapes :
Opérer avec n, faire le ne, obtenir le total n+1. Calculer avec n+1 pour obtenir p. On obtient q=p/(n+1). Multiplier q par n.

Bilan

Même si on trouve quelques extractions de racines pour des nombres bien choisis, les Égyptiens n'ont guère dépassé le stade des problèmes du premier degré, vu les obstacles très grands causés par des notations de nombres inadéquates. On peut remarquer que les calculs sur des équations du premier degré ne sont pas vraiment des problèmes concrets. Il y avait donc début de spéculation intellectuelle désintéressée.


Calcul de l'aire du disque

 
 EGYb2Pi

Les Égyptiens ont découvert une valeur approchée de pi plus précise que la valeur 3 en usage chez les Babyloniens. Le calcul de l'aire du cercle se faisait à l'aide de la formule (8/9 d)2, d étant le diamètre du cercle. Cela revient à donner à pi la valeur 4*((8/9 )2=3 1605... et représente une avancée remarquable.

Caractère dominant du calcul

Le système de calcul des Égyptiens est qu'il repose entièrement sur l'addition. La multiplication égyptienne est un calcul écrit qui ne peut précéder la notation écrite des nombres. L'inverse de la multiplication, la division nécessite le développement des calculs avec les fractions et l'établissement de tables de relations entre fractions. Cela a occupé une grande partie du temps.

Notations inadaptées 

On voit apparaître, avec la nécessité de reconnaître si deux sommes de fractions unitaires sont égales, un développement avec les auxiliaires rouges qui pouvait conduire à un élargissement vers la conception des nombres rationnels ; mais ce pas ne fut pas franchi. Cela permet de réfléchir au lien entre les notations et l'avancée dans les techniques de calcul. L'essentiel de l'énergie fut absorbée par des calculs et des techniques sans avenir réel. Cela montre bien que le développement des sciences n'est pas linéaire.

Mathématiques babyloniennes et égyptiennes
Certains sur la foi des Grecs, ont supposé une science égyptienne plus avancée dont nous aurions perdu les traces. Plus nous connaissons les sciences babylonienne et grecque, moins cette hypothèse semble plausible. Dans tous les domaines, la science babylonienne était plus avancée que celle des Égyptiens et les sources des mathématiques grecques étaient principalement chez ceux-ci.
 

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1 octobre 2000 7 01 /10 /octobre /2000 00:00

 

Dans la région actuelle de l'Irak, les Sumériens inventent (entre -3500 et -3000) une écriture idéographique appelée Ecriture cunéiforme

Puis les Akkadiens supplantent les Sumériens et adoptent l'écriture sumérienne pour transcrire leur langue. Ce système d'écriture fut adopté par la suite par de nombreux peuples du Moyen-Orient pour transcrire leurs propres langues.

BABa4darius1BABa3darius

 

Le déchiffrement du cunéiformes : Cette découverte est l'oeuvre de plusieurs savants dont Rawlingson vers 1850. Il a été permis par la découverte d'une inscription en trois langues sur le tombeau de Darius (ci dessus)

L'histoire de cette région

Elle est divisée en périodes suivant les dynasties et les empires qui se partagent le territoire. Au III ième siècle avant notre ère, la région est conquise par Alexandre c'est l'Époque Séleucide. Le dernier texte de cette civilisation date du premier siècle de notre ère qui marque la fin de la civilisation mésopotamienne.

L'évolution de l'écriture

Na3 tablet1 BABa9tablette4
BABa2tablette2
 pictogrammes  pictogrammes et nombres
 cunéiformes anciens

Elle est retracée par l'étude des tablettes des époques successives. Depuis le tracé des premiers pictogrammes aux idéogrammes cunéiformes (traits en forme de clous).

Les textes

BABa7princeBABa6hammurabiBABa5cuneiformeDe véritables bibliothèques de tablettes d'argile ont été découvertes et les textes conservés sont plus nombreux que ceux de l'Égypte antique. On a retrouvé des textes de comptabilité, des textes scientifiques, juridiques (code d'Hammurabi), des dictionnaires bilingues, et des inscriptions sur des stèles de pierre et des statues commémoratives. (Voir les collections du Musée de Louvre).

Le déluge

BABa8deluge

Cette tablette datant de l'époque paléo-babylonienne vers -1700 contient un récit du Déluge sumérien. De très grandes épopées et en particulierl'épopée de Gilgamesh sont les plus anciennes oeuvres littéraires de l'humanité.

Les débuts des mathématiques

Les mathématiques et l'écriture sont nées en même temps, et restent très liées. Une mathématique nécessite un support écrit, mais à l'inverse, le besoin de garder trace des transactions fut essentiel pour l'invention de l'écriture.

Na2 caillou

Les textes mathématiques découverts

Les tablettes mathématiques retrouvées datent de trois périodes

différentes.

  • la période protosumérienne des débuts de l'écriture

  • autour de -2000 

  • La période Séleucide de -300 à 100

 

Mystique des nombres et astrologie

À côté de textes mathématiques ou médicaux, figurent des textes astrologiques qui présentent la même structure. Difficile de séparer les sciences et l'astrologie chez les Babyloniens pour qui la  "science  des présages" était la discipline fondamentale. Mystique des nombres dont le sens nous échappe. Chaque nombre de 1 à 60 était associé à un dieu, une déesse ou un démon. (Il nous reste le caractère néfaste du 7 ...)


Les mathématiques babyloniennes

BABb1math1

Elles ont été découvertes beaucoup plus tardivement que les mathématiques égyptiennes et sont connues par l'oeuvre de Thureau Dangin, (Textes mathématiques babyloniens, 1938) et Neugebauer Sacks, (Mathematical cuneiform texts, 1945).Ces mathématiques babyloniennes sont très riches et ont fait l'objet de nombreux travaux historiques récemment.

Les textes mathématiques découverts sont essentiellement des travaux d'écoliers scribes, avec deux types de textes, des tables de calculs, des listes de problèmes avec des solutions. Ici une tablette appelée prisme mathématique datant du XVIII ième siècle avant J.C. qui contient une série de problèmes de calculs de surface.

Tables de calcul :

Ce sont des tables de multiplication, d'inverses, de carrés, de cubes, de racines carrées.

Tables de problèmes

Ces problèmes sont rangés suivant une complexité croissante. La procédure générale n'est jamais indiquée mais on a une suite de consignes données à l'apprenti scribe : « prends ce nombre, prends son carré... le résultat est... »

Les caractéristiques des mathématiques

Mathématiques numériques

Mathématiques rhétoriques

Mathématiques algorithmiques

 

Le système numérique babylonien

Le système d'écriture des nombres était à base 60, étendu aux fractions sexagésimales.

71,755,875 = 5 *60^4 + 32 * 60^3+ 12 * 60^2+ 11 *60 + 15

(où 60^4 désigne 60x60x60x60)

Soit 5, 32, 12, 11, 15 suite écrite en babylonien avec deux symboles : un clou BABb3cloupour l'unité et un chevron BABb4chevron pour la dizaine.

BABb2N532121

Système positionnel à base 60 étendu aux fractions, sans zéro, sans "virgule", sans notation d'ordre de grandeur ; la base 10 est utilisée de façon auxiliaire pour noter les nombres de 1 à 60 de façon additive. Au IIIème avant J.C., apparition d'un zéro comme place manquante au milieu des nombres.BABb1symbols

 

Thureau Dangin écrivait à propos du système sexagésimal babylonien :

«  L'incomparable instrument de calcul dont disposaient les mathématiciens babyloniens était de nature à leur aplanir la voie qui mène à la méthode algébrique. L'expression du nombre atteint dans le système savant un degré de simplicité, d'homogénéité et d'abstraction qui n'a jamais été dépassé. Comment les Babyloniens sont-ils venus à une conception aussiabstraite du nombre ? »

Les calculs

Nombres abstraits, nombres concrets

La base 60 et le système des différentes mesures de longueur, de volume, etc. étaient bien adaptés. Dans un problème, le scribe traduisait les données en un nombre abstrait, faisait les calculs et donnait ensuite les résultats sous forme de nombre concret.

Analyse de tablettes de calcul

Les Babyloniens n'avaient pas besoin de tables d'addition, car les additions avec des nombres écrits à l'aide de leur notation sont encore plus simples que nos additions. Nécessité de repérer l'ordre de grandeur des nombres à ajouter qui se comprend d'après le contexte.

Tables de multiplication

Elles étaient à faire pour tous les couples de nombres entre 1 et 59. A l'aide de ces tables, ils pouvaient multiplier deux nombres quelconques, entiers ou fractionnaires en sexagésimal. Facilité des multiplications et les divisions qui s'effectuent de la même façon sur les entiers et les fractions.

La division

Pour diviser un nombre a par un nombre b, on se ramene à une multiplication de a par l'inverse de b, cherché dans une table.

 60 a 12 diviseurs et les inverses de ces nombres 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, s'expriment très simplement. Tous les rationnels dont le dénominateur peut s'écrire sous forme réduite à l'aide de puissances de 2, 3 ou 5 possèdent un développement sexagésimal fini.

Tables d'inverses

BABb5division

Seuls figurent les nombres qui possèdent un inverse ayant un développement sexagésimal fini. Par exemple, pour l'inverse de 7, il est mentionné « n'existe pas ». Le calcul de 1/7 est intéressant car sa période apparaît très rapidement.

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17,... avec répétition indéfinie de 8,34,17 en sexagésimal

1/7 = 0,142 857 142 857... avec répétition indéfinie de 142 857 en décimal.

 

Résultats remarquables

Certaines tablettes prouvent que le résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore était connu des Babyloniens un millier d'années avant Pythagore.

Les racines carrées

BABb6root2dBABb7root2p

Une tablette donne une valeur approchée très précise de racine de 2.

1;24,51,10 en babylonien fait en décimal 1,4142129 ; or racine de 2 vaut 1,414 213 5... 0 multiplié par 1;24,51,10 égale 42;25,35 en base 60. L'algorithme utilisé est aujourd'hui encore appelé algorithme de Babylone

Les triplets pythagoriciens

Une autre tablette appelée Plimpton 322 présente des listes de nombres entiers appelés triplets pythagoriciens, c'est à dire de triplets d'entiers solutions de l'équation x^2+y^2=z^2.

BABb8plimpton

 

 

{\includegraphics[width=0.50\textwidth]{Plimpton_322.jpg}\hfill}}\hfill

 

 

Entiers sur ses 4 premières lignes

 

119

120

169

3367

3456

4825

4601

4800

6649

12709

13500

18541

 

Les Babyloniens disposaient plus de mille ans avant les grecs d'un algorithme assez général pour trouver de nombreux triplets pythagoriciens.

 

L'algèbre babylonienne

 

A part les tablettes de calcul, les textes babyloniens sont constitués de listes de problèmes avec leurs solutions. Lorsqu'on analyse ces problèmes, une grande partie se ramène à des équations simples. Les Babyloniens savaient résoudre beaucoup de problèmes du premier et du second degré. Beaucoup de problèmes utilisent une méthode standard pour trouver deux nombres dont ont connaît

la somme et le produit, ou la différence et le produit. Un certain nombre d'identités remarquables étaient connues ; elles peuvent être établies par simples décompositions de figures.

 

Un problème

Longueur, largeur.

J'ai multiplié longueur et largeur, j'ai obtenu l'aire.

J'ai ajouté à l'aire l'excès de la longueur sur la largeur : 3,3;

En outre, j'ai additionné longueur et largeur : 27

Demandés longueur, largeur et aire

 

On suit cette méthode :

ajouter 27; et 3,3; on trouve 3,30;

ajouter 2; et 27; on trouve 29;

prendre la moitié de 29; on trouve 14;30

prendre le carré de 14;30 on trouve 3,30;15

retrancher à 3,30;15 le nombre 3,30; on trouve 0;15

la racine carrée de 0;15 est 0;30

ajouter 14;30 et 0;30 longueur 15;

retrancher à 14;30 (le nombre) 0;30 largeur 14;

soustraire 2; qui a été ajouté à 27; de 14; (donc)12; est la largeur présente

(vérification)

multiplier 15; (longueur) par 12; (largeur) l'aire est 3,0;

retrancher à 15;\(le nombre)12; on obtient 3;

ajouter 3,0; et 3 on obtient 3,3;

Interprétation

Pour comprendre la suite des calculs, nous allons les retranscrire dans nos notations algébriques :

 

xy+x-y = 183

x+y = 27

 

La solution fait intervenir une inconnue auxiliaire y'=y+2 et se ramène au système :

 

x y' = 183 + 27

x+y' = 29

Ce problème, trouver deux nombres dont on connaît la somme x+y' et le produit P=xy' était un problème classique. Les Babyloniens utilisaient pour cela l'identité facile à obtenir à l'aide de découpages, que nous écrivons aujourd'hui :

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

La méthode revient à dire, en désignant par x le plus grand des deux nombres

et par E = (x-y)/2 leur demi-différence, cherchons :

x = S/2 + E

y' = S/2 – E

(S/2 + E) (S/2 -E) = (S/2)^2 – E^2

(S/2)^2 – E^2 = P

E = racine de (S/2)^2 -P

 

Bien entendu les calculs sont effectués en numération sexagésimale.

 

Voir l'article sur les mathématiques babyloniennes pour d'autres exemples de problèmes.

 

 

 

Avec cette méthode de trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit les Babyloniens pouvaient donc résoudre des problèmes du second degré.

 

Influence des mathématiques babyloniennes

Les mathématiques babyloniennes étaient beaucoup plus avancées que les mathématiques égyptiennes. Il y a eu diffusion de ces mathématiques vers l'Égypte, la Grèce et vers l'Inde.

En particulier, toutes les études historiques des mathématiques de l'antiquité montre que le développement des mathématiques en Grèce un millénaire plus tard s'est fait sur la base des mathématiques de l'antiquité babylonienne et égyptienne. Il y a eu continuité culturelle en mathématiques au Moyen Orient.

 

 

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1 juillet 1988 5 01 /07 /juillet /1988 00:00

Découverte à l'aide de sites internet, de l'histoire des numérations et de l'écriture des nombres entiers. Les sites sont des sites français ou anglais, des musées, des expositions, ou des sites d'histoire des mathématiques. On pourra consulter le site plus général et très complet de C. Houzel sur l'histoire des nombres. Ce texte est lié à l'article sur la notation des nombres de Médiamaths.

Préhistoire et traces de comptage

L'opération de compter est propre à l'espèce humaine. Elle s'étend sur des millénaires et on peut retrouver des traces matérielles : Outils, peintures murales, instruments, entailles sur des os ou des bâtons précédant les premiers vestiges d'écriture.

Na1 entaille

Bois de renne avec entailles de comptage (-15000)

Traces orales

Les noms de nombres sont parmi les mots les plus stables et sont utilisés par les linguistes pour étudier les parentés entre langues. Les linguistes ont montré que l'invention des nombres a été un processus très long qui s'est fait par paliers. Certains peuples étudiés par les ethnologues n'ont pas franchi le palier de la dizaine ; ils comptent ainsi : un, deux, beaucoup ou un, deux, trois, beaucoup ou encore un, deux, deux-un, deux-deux. Les trois cas grammaticaux de certaines langues, singulier - duel - pluriel sont peut-être un vestige de un-deux-beaucoup. Dans les langues indo-européennes, les linguistes ont montré que les mots désignant dix, et cent dérivent d'une même origine, mais pas mille. Les peuples qui parlaient la langue mère proto-indo-européenne n'avaient donc pas atteint le millier dans le comptage. Quatre-vingt ou octante ? Le système de numération orale à base dix dans les langues romanes est plus régulier qu'en français où on trouve des vestiges d'une numération antérieure à base vingt. Il s'agit de traces d'une langue celte, seule langue indo-européenne qui utilise la base 20, sans doute la trace des invasions normandes.

Traces de comptabilité

Comptabilité en Mésopotamie : cette boule d'argile contient des jetons. Le musée du Louvre présente plusieurs pièces de ce genre. Ci dessous une boule d'argile présentée dans l'exposition de la B.N.F. (Bibliothèque Nationale de France), sur l'Aventure des écritures disponible sur le web.

Na2 caillou 

Pièces de comptabilité archaïque (3300 avant J.C.)

Ecriture et nombres

L'introduction de l'écriture marque le passage à l'histoire. Les premières traces d'écriture sont associées à des nombres : tablettes de comptabilité, enregistrements de transactions... Les mots désignant des nombres figurent parmi les premières traces d'écriture à Sumer et en Égypte. Voici des tablettes (IV-millénaire av J.C.) exposées au Louvre avec mélange de pictogrammes et nombres.

 

Na4 tablette4

L'écriture des mots évolue ci-dessous vers le cunéiforme, celle des nombres reste archaïque.

Na3 tablet1

 Na5 tablette2

Les mathématiques et l'écriture

Elles sont nées en même temps, et sont très liées. Une mathématique nécessite un support écrit, mais à l'inverse, le besoin de garder trace des transactions fut essentiel pour l'invention de l'écriture. L'écriture fut inventée dans des états du Moyen Orient ou en Chine pour gérer des biens, calculer des impôts... Les numérations écrites marquent un progrès fondamental. Des calculs sur des nombres de plus en plus grands deviennent possibles.

La notation des nombres : à l'aide de traits rencontre très vite des limites. L'utilisation d'un groupement appelé base permet l'écriture des nombres. Les bases 2, 5, 6, 10, 12, 16, 20, 24, 60 ont été utilisées dans l'histoire.

Les instruments de calcul

Les baguettes, abaques, bouliers, tables de calcul, ont longtemps suppléé tout calcul écrit : seuls les résultats étaient retranscrits, les calculs se faisant à l'aide d'un instrument.

Na7 baguette

Na6 abaque

Ces images sont extraites du site de Nathalie Aymé sur le boulier, son histoire et son utilisation.

La notation des nombres

La notation des nombres à l'aide de traits rencontre très vite des limites. L'utilisation d'un groupement appelé base, permet l'écriture des nombres. Les bases 2, 5, 6, 10, 12, 16, 20, 24, 60 ont été utilisées dans l'histoire.

Nombres et civilisations

Systèmes de numération, pratiques calculatoires, pratiques de mesure, conceptions mystiques sur les nombres sont liés au cours de l'histoire.

Le partage des unités

Le partage des entiers pour la mesure des quantités plus petites que l'unité fut un problème très difficile dans l'histoire de l'humanité. Nos fractions résultent d'un processus historique très long. Les solutions adoptées furent différentes suivant les civilisations et pour chaque civilisation, nous reverrons cette question.

Notre système décimal

Pour illustrer les différents systèmes de numérations, nous avons choisi un nombre et nous regardons son écriture dans les différents systèmes. Ce nombre est 71 755 875.

Na8 nb

Cela signifie:

  • utilisation de la base 10 ;
  • usage des chiffres arabes, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;
  • écriture avec un système positionnel où le sens du chiffre dépend de sa place ;
  • usage du zéro pour noter une place manquante, à l'intérieur du nombre comme dans 2304 ou à droite 3000 ;
  • possibilité d'écrire des nombres aussi grands qu'on veut ;
  • extension du système d'écriture des entiers aux décimaux ;
  • usage d'une base auxiliaire 1000 à l'oral pour lire et exprimer les nombres, millier, million, milliard ;
  • usage d'une notation scientifique avec des puissances ;
  • extension aux nombres réels de cette écriture : 12,98345345345... ou aussi 0, 12345678910111213...

Ce système positionnel à base dix créé par les indiens a été développé par les arabes qui l'ont étendu aux nombres décimaux. Ceux-ci, après une période d'oubli ont été réinventés au 16-ième siècle en Europe.

Na9 arithm

Dame Arithmétique arbitre la querelle entre les algoristes, partisans du calcul écrit et les abacistes, adeptes du calcul sur abaque.

L'usage des chiffres indiens fut adopté par les arabes qui étendirent cette notation aux décimaux. Cette invention parvint après le premier millénaire en Europe. Les décimaux firent l'objet d'une réinvention par plusieurs mathématiciens dont Stevin « La Disme » à la fin du 16ième siècle.

Le système babylonien

Un système positionnel à base 60, étendu aux fractions, sans zéro, sans virgule, sans notation d'ordre de grandeur ; la base 10 est utilisée de façon auxiliaire pour noter les nombres de 1 à 60 de façon additive. Au III ème avant J.C. il y a eu apparition d'un zéro comme place manquante au milieu des nombres. Notre calcul du temps en heures, minutes, secondes et notre calcul des angles en degrés, minutes, secondes en sont des vestiges.

Nb1 BABsymbols

Ce tableau montre l'écriture des nombres de 1 à 59 en écriture cunéiforme. Il est extrait du site de Mac Saint Andrews, site de référence en histoire des mathématiques.

Notre nombre 71 755 875 s'écrit

Nb2a N532121

 

Soit, une suite 5, 32, 12, 11, 15, écrite en babylonien avec deux symboles, un clou pour l'unité et un chevron pour la dizaine.

Les systèmes décimaux non positionnels

Les  systèmes égyptien, grec attique et romain présentent des caractéristiques communes. Ils sont limités pour écrire des grands nombres et ne permettent pas d'écrire des parties fractionnaires.

Le système égyptien 

Nb5 rosetta

Le déchiffrement des écritures égyptiennes Champollion grâce en particulier à la pierre de Rosette a ouvert la voie à la redécouverte de cette civilisation.

Nb6 papyrus


Les mathématiques égyptiennes sont connues par quelques papyrus dont le plus célèbre est le papyrus Rhind. Chaque nombre est représenté chaque puissance de 10, jusqu'à la septième, par un hiéroglyphe. Dans ce système, notre nombre 71 755 875, est écrit par répétition de symboles.

Nb7 N71755E3

L'ancien système grec

L'ancien système grec attique antérieur à la période classique, même principe de notation des entiers avec toutefois un raccourci d'écriture avec des symboles pour 5, 50, 500. Le partage se fait suivant les myriades. Notre nombre 71 755 875 s'écrit :

Nb8 NG71755 

Ce système, via les étrusques a donné naissance à l'écriture romaine des nombres.

Le système romain

Le système romain dérive du système précédent. Un principe soustractif s'introduit très tardivement au Moyen Age comme raccourci d'écriture. Ainsi 9 s'écrit non pas VIIII mais IX, 40 s'écrit non pas XXXX mais XL.

Nb9 rome

Les systèmes alphanumériques

 

Le système grec alphanumérique avec 28 lettres permet de noter par trois lettres au plus de tous les nombres de 1 à 1000. Neuf lettres notent les chiffres de 1 à 9, neuf les dizaines de 10 à 90, neuf lettres les centaines de 100 à 900 ; une apostrophe précédant les lettres des unités indique les milliers. Le symbole M dénote 10 000 et peut être surmonté d'un nombre de 1 à 9 999 pour noter les nombres jusqu'à M fois M. Un nombre est surligné pour le distinguer d'un mot ordinaire. Cette notation des nombres est dite alphanumérique. Notre nombre 71 755 875 s'écrit M exposant 7 175 suivi de 5 875 :

Nc1 nbgrec

Ce système est limité pour l'écriture des grands nombres. Archimède dans un texte célèbre sur le calcul des grains de sable de l'univers, l'arénaire a imaginé un système d'écriture des grands nombres à l'aide M fois M soit 100 000 000.

Les systèmes chinois

En Chine archaïque un système de numération en base 60 a été utilisé. Une façon de noter des cycles de 60 années consécutives est un des vestiges de ce système.

Les baguettes de calcul

Le système décimal a très vite été en usage dans les calculs pratiques avec des baguettes disposées horizontalement et verticalement qui permettaient d'écrire les différents chiffres. Notre nombre 71 755 875 s'écrit : 

Nc2 Bg71755

Système positionnel de notation des nombres, non ambigu et très performant pour les calculs. Avec des baguettes de deux couleurs, rouge et noire, les chinois ont noté les nombres positifs et négatifs. Ce calcul avec les baguettes sur des damiers a joué un rôle considérable dans le développement de leurs mathématiques. 

La notation des nombres avec les caractères

La notation des nombres avec les caractères date du début de notre ère et est encore en usage aujourd'hui. Les nombres sont partagés suivant les myriades. Le symbole du zéro date du VIIIème siècle. Les textes scientifiques utilisent maintenant notre système décimal avec les chiffres arabes. C'est un principe multiplicatif de notation de nombres. En chinois notre nombre 71 755 875 s'écrit

Nc3 NC71755

 

Soit en suivant les caractères de gauche à droite

7 mille 1 cent 7 dix 5 myriade 5 mille 8 cent 7 dix 5

 

Les très grands nombres nécessitent l'invention de nouveaux caractères pour chaque puissance de dix. Divers systèmes sont apparus au cours des siècles. Le plus grand nombre apparu dans un traité Dix classiques de calcul est le nombre 1 644 866 437 500 découpé de la manière suivante

Nc4 MaxChinois
1 myriade 6448 myriade de myriade 6643 myriade 750

 

 

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